model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami

Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 3/2012 (96)
175
Marek Lis, Politechnika Częstochowska, Częstochowa
Oleksandr Makarchuk, Politechnika Lwowska, Lwów
MODEL MATEMATYCZNY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO
Z MAGNESAMI TRWAŁYMI O STEROWANIU SINUSOIDALNYM
ZASILANEGO ZE ŹRÓDŁA PRĄDOWEGO
MATHEMATICAL MODEL OF A SYNCHRONOUS MOTOR WITH
PERMANENT MAGNETS AND SINE WAVEFORM CONTROL SUPPLIED FROM
A CURRENT SOURCE
Abstract: In the paper the mathematical model of the drive system of a brushless motor with permanent magnet excitation PMSM is presented. The mathematical analysis of drive systems is a complex task. The mathematical model covers a brushless motor with permanent magnet excitation, supplied from a three-phase sine
waveform current source. The load is also included in the load. In the paper the time dependencies of motor
currents, electromagnetic moment and velocities are presented. These dependencies make it possible to analyze the dynamical processes occurring in the considered drive system. The results have been presented in the
form of charts.
1. Model matematyczny
W realnych układach sterowania silnikiem
bezstykowym o wzbudzeniu od magnesów
trwałych sinusoidalny prąd lub napięcie z fazowym automatycznym dostrajaniem częstotliwości wytwarzane są zwykle za pomocą elektronicznego regulatora ze sterowaniem o modulacji szerokości impulsu. W pracy rozpatrywano pewien wyidealizowany analog takiego
regulatora.
Model matematyczny silnika bezstykowego
o wzbudzeniu od magnesów trwałych, który
jest zasilany z wyidealizowanego trójfazowego
źródła prądu sinusoidalnego, którego fazy
początkowe i częstotliwość uzaleŜnione od kąta
wirnika, umoŜliwia jednoczesne rozwiązanie
kilku problemów:
Rys.1. Schemat SBMT w przypadku zasilania ze
źródła prądu
- obliczenia matematyczne przeprowadzone
z wykorzystaniem tego modelu, pozwolą sformułować wnioski co do wyboru współczynników skalowania, wielkości kroku całkowania,
wymaganych środków komputerowych, itp.
w obliczeniach symulacyjnych,
- wyniki symulacji matematycznych mogą być
analizowane analitycznie, co pozwoli wnioskować o poprawności i adekwatności modelu,
- model ten częściowo będzie rozwiązywać
ogólne problemy przedstawionego układu napędowego, to znaczy, Ŝe będzie uwzględniać
najwaŜniejsze czynniki, wpływające na przebieg procesów statycznych i dynamicznych
w układach elektromechanicznych, które zawierają silnik bezstykowy o wzbudzeniu od magnesów trwałych, połączony z obciąŜeniem za
pomocą elementów spręŜystych.
Model ten pozwala równieŜ przeprowadzać badania silnika w warunkach pracy prądnicowej,
bo przy znanych prądach, bierne obciąŜenie
dowolnego rodzaju moŜna łatwo uwzględnić
juŜ po obliczeniu pierwotnego procesu.
W przypadku zasilania ze źródła prądu, układ
równań opisujących procesy w silniku bezstykowym o wzbudzeniu od magnesów trwałych,
który pracuje w warunkach pracy silnikowej
i w razie konieczności w warunkach pracy
prądnicowej, nie zawiera równań elektrycznej
równowagi napięć. To znacznie zmniejsza liczbę równań i upraszcza model.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 3/2012 (96)
176
optymalizacji powstaje potrzeba ustalenia pozostałych niewiadomych, związanych z przedmiotem analizy. Mianowicie, w celu ustalenia
sprzęŜeń magnetycznych, a w razie potrzeby
równieŜ i SEM obwodów stojana, uŜyto
wyraŜenia:
ψ 1 = ψ (i1 , i2 , i3 , γ S )
ψ 2 = ψ (i1 , i2 , i3 , γ S )
ψ 3 = ψ (i1 , i2 , i3 , γ S )
Rys.2. Model analizowanego układu
Dla zapisania równań równowagi mechanicznej
wykorzystamy rys. 2
dω S
dγ
+ M − M sp = 0; ω S = S ;
dt
dt
dω L
dγ
− JL
+ M sp + M с = 0; ω L = L ;
dt
dt
M sp = S sp (γ S − γ L ),
− JS
(1)
gdzie: J S , J L , – momenty bezwładności wirnika silnika i jego obciąŜenia, odpowiednio;
M c – moment statycznego obciąŜenia;
M sp – moment, spowodowany elastycznością
drąŜka skrętnego, który łączy wirnik silnika
z obciąŜeniem;
ω S , ω L , γ S , γ L – prędkości kątowe i kąty wirnika i obciąŜenia.
Sztywność skręcania drąŜka skrętnego oblicza
się wg wyraŜenia
S sp =
E sp
lt
Jt ,
(2)
gdzie: E sp – moduł pręŜności
J t – biegunowy moment bezwładności wału,
który przenosi moment obrotowy od wirnika
silnika do obciąŜenia
lt – długość wału.
ZaleŜności do ustalania chwilowych wartości
prądów zasilania, jako funkcji kąta obrotu wirnika mają postać:
i1 = I m sin( pγ S + ϕ1 );
i 2 = I m sin( pγ S + ϕ 2 );
(3)
i 3 = I m sin( pγ S + ϕ 3 ).
Do
analizy
potrzebne
jest
jeszcze
równanie charakterystyki elektromechanicznej
M = M (i1 , i2 , i3 , γ S ) . Dla potrzeb projektowania
silników elektrycznych z magnesami trwałymi,
do obliczania ich parametrów i cech charakterystycznych oraz do rozwiązywania problemów
(4)
W związku z tym, problem obliczenia elektromechanicznych stanów dynamicznych w silniku z magnesami trwałymi, zasilanym ze źródła prądu, wymaga numerycznego całkowania
układu równań róŜniczkowo-algebraicznych (1)
- (3), a następnie na podstawie znanych wartości prądów i1 , i2 , i3 i kąta wirnika γ S , obliczenia
wg (4) wartości spręŜeń magnetycznych
ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 .
Układ równań róŜniczkowo-algebraicznych (1)
- (3) składa się z 9-ciu równań skalarnych i zawiera tę samą liczbę skalarnych niewiadomych:
i1 , i2 , i3 , M , M sp , γ S , γ L , ω S , ω L . Uzupełniając ją
warunkiem
γS
początkowym
γ L t =t = γ L0 , ω S
0
t =t0
t =t0
= γ S0 ,
= ω S 0 , ω L t =t = ω L 0 , uzy0
skujemy sformułowanie problemu Cauchy'ego.
Aby przejść do postaci wektorowej, wprowadzono następujące oznaczenia:
i 
r 1 
i = i 2  – wektor kolumnowy prądów w obwoi 3 
dach elektrycznych stojana;
r γ 
γ =  S  – wektor kolumnowy kątów obrotu;
γ L 
r ω 
ω =  S  – wektor kolumnowy prędkości kątoω L 
wych obracania;
J T = diag (− J S , − J L ) – macierz momentów bez-
władności wirujących części układu;
− S sp
ST = 
 S sp
S sp 
− S sp 
–
macierz
sztywności
drąŜka skrętnego;
1
0
N L1 =   , N L 2 =   – macierze skalujące.
0
 
1 
Układ równań róŜniczkowo-algebraicznych (1)
- (3) moŜna zapisać w postaci wektorowej,
usuwając wcześniej nieznaną M sp
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 3/2012 (96)
r
r
r
r dγ
dω
JT
+ ST γ + N L1M + N L 2 M c = 0; ω =
;
dt
dt
r r r
r r
i = i (γ ); M = M (i , γ ).
(5)
Wektorowy układ równań róŜniczkowo-algebraicznych (5) zawiera cztery niewiadome
r
r r
i , M , γ , ω.
NiezaleŜny układ równań algebraicznych (4)
równieŜ napiszemy w postaci wektorowej
r r r r
ψ = ψ (i , γ )
(6)
177
2. Analiza matematyczna
Obliczenia matematyczne przeprowadzono dla
silnika IPMSg 132 S4 PMSM. Analiza
obliczeniowa obejmowała rozruch silnika pod
obciąŜeniem oraz jego nawrót. ZaleŜności
zmiennych wartości od czasu pracy, dla badanych stanów są przedstawione poniŜej.
Rys. 3. Przebiegi czasowe momentu elektromagnetycznego M i prędkości obrotowej ω S , ω L podczas rozruchu i pracy nawrotnej
Rys.4. Przebiegi czasowe prądów fazowych podczas rozruchu i pracy nawrotnej
Rys. 5. Przebiegi czasowe kątów obrotu wirnika γ S i obciąŜenia γ L podczas rozruchu i pracy
nawrotnej
178
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 3/2012 (96)
3. Podsumowanie
W trybie pracy o stałym momencie elektromagnetycznym, ustalona wartość częstotliwości
obrotów zostanie osiągnięta wtedy, gdy średnia
wartość tego momentu elektromagnetycznego,
która równa się 30,8 Nm (rys. 3), zostanie
zrównowaŜona
momentem
obciąŜenia.
Czyli
ustalona
wartość
prędkości
ω Su = M cω n / M n ≈ 189,7 rad/s .
Oczywiście, Ŝe dana metoda sterowania w celach bezpieczeństwa pracy napędu w trybach
pracy bez obciąŜenia powinna wykorzystywać
sprzęŜenie zwrotne od prędkości obrotowej
wirnika. Pomimo idealizacji źródła zasilania,
moment elektromagnetyczny ma pulsacje, powodowane
ząbkowaniem
magnetycznego
przewodu stojana, co potwierdza jego wykres –
na rys. 3.
Stan nawrotu był modelowany, począwszy od
chwili czasu t = 0,35 s . Nieschodzenie się kątów
obrotu i prędkości wirnika silnika z obciąŜeniem ma miejsce w trakcie całego procesu, co
równieŜ tłumaczy się pulsacjami momentu
elektromagnetycznego. Obserwowano większe
przyspieszenie kątowe w fazie początkowej
rozruchu i nawrotu dla tego elementu układu
elektromechanicznego, który ma mniejszy moment bezwładności, w tym przypadku – dla
wirnika silnika.
Literatura
[1]. Azizur Rahman M., Mahinda Vilathgamuwa D.,
Nasir Uddin M., Tseng K.-J.: Nonlinear control of
interior permanent-magnet synchronous motor. IEEE
Trans. Ind. Applicat., vol. 39, no. 2, 2003, s. 408-415.
[2]. Gieras J.F., Wing M.: Permanent Magnet Motor
Technology. Design and Applications. Marcel
Dekker, NY, 2002, 581 p.
[3]. Lis M.: A comparison of magneto-mechanical
time dependencies of a brushlees motor with permanent magnet excitation in bldc and pmsm modes.
XXI Sympozjum Środowiskowe Zastosowania
elektromagnetyzmu w nowoczesnych technikach
i informatyce, Lubliniec 5-8.06.2011.
[4]. Petrović V., Ortega R., Stanković A.:
Interconnection and damping assignment approach
to control of PM synchronous motors. IEEE Trans.
Contr. Syst. Techn., vol. 9, no. 6, 2001, s. 811-820.
Autorzy
Marek LIS, dr inŜ., Zakład Maszyn i Napędów
Elektrycznych Instytutu Elektrotechniki Przemysłowej Wydziału Elektrycznego Politechniki
Częstochowskiej, Tel. +48 34 3250821, e-mail:
[email protected]
Oleksandr MAKARCHUK, dr inŜ., docent, Zakład Maszyn i Aparatów Elektrycznych Instytutu Energetyki i Systemów sterowania Politechniki Lwowskiej, Tel. +38 032 2582599,
e-mail: [email protected]