C:\\swp55\\Docs\\Zestawy zadań\\t01

-1-
1. Znaleźć dziedzinę funkcji
1
a) f x, y
b) f x, y
x2 y2
x
y
x
d) f x, y
1
x2
y2
x2 y2
x2 y2
3
arcsin y
e) f x, y
x
y
c) f x, y
ln xy
f) f x, y
arcsin
y
1
x
2.
a) Obliczyć granice funkcji
a) lim
x 0
y 0
x2
x2
d) lim x 2
x 0
y 0
y2
y2
1
b) lim
9
x 0
y 0
1
y 2 sin 1x sin 1y
e) lim
2
2
x y
1
c) lim e 2
x 0 x
y2
y 0
y
x 2
y 1
1
2
sin xy
y 1
x
x 1 y 2
f) lim e
1 y
x 1 x
y 2
3. Pokazać, że nie istnieją granice funkcji oraz zbadać ich granice iterowane
2
2x 2 y 2
x2 y2
a) lim 2 x 2
b) lim 2
c) lim 2
2
x 0 x
y
x 0 x
y
x 0 x
xy y 2
y 0
y 0
y 0
4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
a) f x, y
y x 3 sin y 2xy 2 ,
b) f x, y
x y
c) f x, y
e) f x, y
3x 2 y 4 x 3 e 2y
xy 3
,
x2 y2
x cos 3y ,
f) f x, y
5. Wykazać, że funkcja u
ln e x
6. Wykazać, że funkcja u
x2
u
x
2
ey
u
y
xy 3
x
y ,
x2 y2
x y
arctg
.
1 xy
ln x
u
x
spełnia równanie
y2
7. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji
a) f x, y
x 3 3xy 2 6xy 1 ,
c) f x, y
x 3 8y 3 6xy 1 ,
1 ,
e) f x, y
4xy 1x
y
g) f x, y
d) f x, y
y
’
x
u
y
,
1.
z 2 spełnia równanie
2
u
z
2
b) f x, y
d) f x, y
f) f x, y
h) f x, y
1.
x 3 3xy 2 15x 12y ,
x 4 y 4 8x 2 2y 2 ,
x 2 xy y 2 4 ln x 10 ln y .
x2
4x
2y e y
1
2