nieosobliwa macierz

6. Zbieżność - kryteria zbieżności.
Układ liniowych równań algebraicznych:
AΦ = Q
(6.1)
Po n iteracjach rozwiązanie Φ n nie spełnia jeszcze równania
(6.1), lecz jego przybliżoną formę:
AΦ n = Q − ρ n
(6.2)
odejmując równanie (6.2) od (6.1) uzyskuje się relację pomiędzy
błędem aproksymacji zdefiniowanym jako:
εn = Φ − Φn
(6.3)
oraz resztą ρ n :
Aε n = ρ n
(6.4)
Proces iteracyjny może być zapisany następująco:
MΦ n+1 = NΦ n + B
(6.5)
w warunkach zbieżności:
Φ n+1 = Φ n = Φ
(6.6)
56
z podstawienia (6.6) do (6.5) wynika:
A = M−N
oraz
B= Q
(6.7)
lub bardziej ogólnie :
PA = M − N oraz
B = PQ
(6.8)
gdzie: P – nieosobliwa macierz typu pre-conditioning
Odejmując od obydwu stron równania (6.5) uzyskuje się:
(
)
M Φ n+1 − Φ n = B − ( M − N ) Φ n
(6.9)
lub
Mδ n = ρ n
(6.10)
gdzie:
δ n = Φ n+1 − Φ n
(6.11)
nazywa się korekcją lub „uaktualnieniem” i stanowi
aproksymację błędu zbieżności ε n
Zbieżne rozwiązanie Φ spełnia równanie (6.5):
MΦ = N Φ + B
(6.12)
57
Odejmując równanie (6.12) od (6.5) uzyskuje się:
Mε n+1 = Nε n
(6.13)
lub
ε n+1 = M −1Nε n
(6.14)
Metoda iteracyjna jest zbieżna jeżeli:
lim ε n = 0
n→∞
(6.15)
Wartości i wektory własne macierzy iteracji M −1N :
( M −1N − λ k I)u k = 0
gdzie:
λ k − wartość wlasna
u k − wektor wlasny
(6.16)
k = 1,K , K ,
K − liczba równań
Zakładając, że wektory własne stanowią układ liniowo
niezależnych wektorów tworzących K-wymiarową przestrzeń
wektorową, wektor błędu zbieżności wyrazić można w postaci:
ε0 =
K
∑ ak uk
(6.17)
k =1
58
Procedura iteracyjna (6.14) prowadzi do zależności:
1
−1
−1
0
ε = M Nε = M N
K
K
∑a u = ∑a λ
k
k
k
k =1
k uk
(6.18)
k =1
lub ogólniej:
n
ε =
K
∑ ak ( λ k ) n u k
(6.19)
k =1
Aby proces iteracyjny był zbieżny warunkiem koniecznym i
wystarczającym jest, aby wszystkie wartości własne macierzy
iteracji były co do modułu mniejsze od jedności. Dotyczy to
przede wszystkim największej co do modułu wartości własnej
macierzy iteracji zwanej promieniem spektralnym.
Po kilku iteracjach zależność (6.19) można aproksymować
następująco:
ε n ≈ a1 ( λ 1 ) u1
n
gdzie:
λ 1 − promień spektralny
(6.20)
59
Jeżeli przyjąć, że rozwiązanie zbieżne, to takie dla którego błąd
zbieżności spadł poniżej pewnej wartości δ, to zapisać można:
a1 ( λ 1 ) ≤ δ
n
(6.21)
logarytmując obie strony ostatniej zależności uzyskuje się:
δ
ln 
 a1 
n≈
ln λ 1
(6.22)
Przykład:
Równanie:
ax = b
metoda iteracyjna:
mx p+1 = nx p + b
błąd zbieżności:
ε p+1 =
n p
ε
m
Metoda jest szybkozbieżna, gdy n jest małe tzn. gdy:
m≈ a
60
Kryteria zbieżności
Na podstawie (6.3) , (6.11) i (6.20) zapisać można następującą
zależność:
δ n = Φ n+1 − Φ n ≈ ( λ 1 − 1)( λ 1 ) a1u1
n
(6.23)
Zależność (6.23) pozwala w praktyce oszacować wartość
promienia spektralnego:
λ1 ≈
δn
δ n−1
(6.24)
a w konsekwencji również błąd zbieżności:
δn
ε = Φ−Φ ≈
λ1 − 1
n
n
(6.25)
dobrym oszacowaniem błędu, które może być wyznaczone w
oparciu o dwie kolejne iteracje jest:
εn ≈
δn
λ1 − 1
(6.26)
61
62