Elektronika AiR MATEMATYKA Transformata Z i jej zastosowania

Elektronika AiR
MATEMATYKA
Transformata Z i jej zastosowania.
Definicja. Niech y(n) będzie ciągiem określonym dla n ∈ N ∪ {0}. Transformatą Z ciągu y(n)
nazywamy funkcję zdefiniowaną wzorem
Y (z) =
∞
X
n
y(n)
n=0
1
z
,
(1)
gdzie z jest liczbą zespolną. Dziedziną funkcji Y (z) jest zbiór liczb zespolonych, dla których powyższy
szereg jest zbieżny. Funkcję Y (z) oznaczamy także przez Z{y(n)} i nazywamy obrazem oryginału
y(n).
Zauważmy, że szereg (1) jest (zespolonym) szeregiem potęgowym ze względu na z1 . Jest on zbieżny
dla |z| > R i rozbieżny dla |z| < R, gdzie
y(n + 1) R = lim n→∞
y(n) .
(2)
Liczbę R nazywamy promieniem zbieżności szeregu (1). W szczególności, jeśli R = 0, to szereg (1)
jest zbieżny dla z 6= 0 a gdy R = ∞, to szereg (1) jest wszędzie rozbieżny.
Standartowe operacje związane z szeregami potęgowymi pozwalają obliczyć transformatę Z w
przypadku elementarnych ciągów y(n) 1 .
Przykład 1. Znaleźć transformatę ciągu y(n) = an .
Rozwiązanie. Mamy
∞ n
X
a
n
Z{a } =
n=0
z
=
z
1
=
1 − (a/z)
z−a
dla |z| > |a| .
Przykład 2. Znaleźć transformatę ciągu y(n) = nan .
Rozwiązanie. Mamy
∞
X
z
an z −n =
dla |z| > |a| .
z−a
n=0
Z teorii zespolonych szeregów potęgowych wynika, że szereg w powyższej równości można różniczkować
wyraz po wyrazie wewnątrz obszaru zbieżności. Zatem, różniczkując obustronnie otrzymujemy
∞
X
(−n)an z −n−1 =
n=0
Ponieważ
Z{nan } =
∞
X
−a
(z − a)2
nan z −n == −z
n=0
więc
Z{nan } =
1
więcej - patrz tablice transformat Z
dla |z| > |a| .
∞
X
(−n)an z −n−1 ,
n=0
az
(z − a)2
dla |z| > |a| .
Własności transformaty Z.
1. Liniowość. Jeśli Y1 (z) = Z{y1 (n)} ma promień zbieżności R1 , Y2 (z) = Z{y2 (n)} ma promień
zbieżności R2 , to dla dowolnych α, β ∈ R
Z{αy1 (n) + βy2 (n)} = αY1 (z) + βY2 (z)
dla |z| > max(R1 , R2 ).
2. Przesunięcia w argumencie. Niech Y (z) = Z{y(n)} ma promień zbieżności R. Wówczas
(i) Przesunięcie w lewo. Jeśli y(−n) = 0 dla n = 1, 2, . . . , k, to
Z{y(n − k)} = z k Y (z)
dla |z| > R
,
(3)
(ii) Przesunięcie w prawo. Niech k ∈ N. Wówczas
Z{y(n + k)} = z k Y (z) −
k−1
X
y(r)z k−r
dla |z| > R
.
(4)
r=0
Najczęściej używanymi szczególnymi przypadkami wzoru (4) są
Z{y(n + 1)} = zY (z) − zy(0)
dla |z| > R
(5)
i
Z{y(n + 2)} = z 2 Y (z) − z 2 y(0) − zy(1)
dla |z| > R
.
(6)
3. Transformacja odwrotna. Jeśli Y (z) jest transformatą pewnego ciągu y(n), to proces znajdowania
ciągu y(n) odpowiadającego funkcji Y (z) możemy symbolicznie zapisać jako
Z −1 {Y (z)} = y(n) .
Z −1 nazywamy transformatą odwrotną do Z. Zachodzi następujący fakt wynikający z teorii szeregów
zespolonych.
(i) Jednoznaczność transformaty odwrotnej. Jeśli Z{y1 (n)} = Z{y2 (n)}, to y1 (n) ≡ y2 (n).
Wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie
y(n) ←→ Y (z)
pozwala stosować tablice transformat Z zarówno do znajdowania obrazów Y (z) jak i oryginałów y(n).
Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla równań różnicowych.
Przykład 3. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia
y(n + 2) + 3y(n + 1) + 2y(n) = 0,
y(0) = 1 , y(1) = −4 .
Rozwiązanie. Nakładając obustronnie transformatę Z na równanie i korzystając własności liniowości
transformaty oraz z wzorów (5) - (6) otrzymujemy po elementarnych przeksztalceniach algebraicznych
Y (z) =
z(z − 1)
.
(z + 1)(z + 2)
Ponieważ ułamek poprawej stronie jest funkcją wymierną niewłaściwą (a także z uwagi na zawartość
tablic transformat Z) wygodnie jest rozłożyć funkcję Y (z)/z na ułamki proste:
Y (z)
−2
3
=
+
.
z
z+1 z+2
Stąd
Y (z) =
−2z
3z
+
,
z+1 z+2
co pozwala odczytać z tablic rozwiązanie
y(n) = −2(−1)n + 3(−2)n .