TeX: Worhacz Dawid

1.1. Twierdzenie o zwarto±ci.
6
Niech teraz 0 = fa : S (ffagg) 2 Hg. Poka»emy, »e 0 speªnia A.
(i) Niech e = fa1; : : :; a g b¦dzie kraw¦dzi¡ oraz przypu±¢my, »e e 0 . Oczywi±cie, ze wzgl¦du na zwarto±¢ rozwa»anego hipergrafu, zaªo»enie sko«czono±ci kraw¦dzi e nie ogranicza rozwa»a«. Wówczas
S (ffa1gg); : : :; S (ffa gg) 2 H, a st¡d zbiór S (ffa1 gg) \ : : : \S (ffa gg) jest niepusty. Niech 2 S (ffa1gg) \
: : : \ S (ffa gg). Wtedy a1 ; : : :; a 2 , tj. e , co jest niemo»liwe, bowiem speªniaj¡c mi¦dzy innymi
ffa1gg nie mo»e zawiera¢ »adnej kraw¦dzi.
n
n
n
n
n
(ii) Niech 2 A; = fa1; : : :; a g. Rozwa»my zbiory
n
S = f V : \ fa g = 0 \ fa gg \ S (fg); dla j = 1; : : :; n:
j
j
j
Poka»emy, »e S 2 H, dla j = 1; : : :; n.
Zaªó»my najpierw, »e a 2 0. Wówczas
j
j
S = f V : speªnia ffa gg g \ S (fg) = S (ffa gg) \ S (fg) 2 H:
j
j
j
W przypadku, gdy a 62 0 , mamy S (ffa gg 62 H. St¡d zbiór
j
j
P (V ) n S (ffaj gg) =
f V : zawiera kraw¦d¹ lub a 62 g 2 H:
j
Wówczas skoro 2 A, to S (fg) 2 H, a zatem tak»e S = P (V ) n S (ffa gg) \ S (fg) 2 H.
j
j
Wobec tego S 2 H dla dowolnego j = 1; : : :; n.
j
Niech teraz 2 S 1 \ : : : \ S . Skoro 2 S (fg), mamy
n
; 6= \ =
n
[
j =1
\ faj g =
n
[
j =1
0 \ faj g = 0 \ :
Twierdzenie o zwarto±ci wykazane zostaªo zatem dla wszystkich hipergrafów zwartych. Poni»szy przykªad
pokazuje, »e zaªo»enie zwarto±ci hipergrafu G jest istotne.
Niech G b¦dzie hipergrafem, w którym V = fa0 ; a1; : : :g oraz E = fVg i niech
A = ffa0g; fa1g; : : :g. Wówczas rodzina A nie jest speªnialna, bowiem zbiór speªniaj¡cy A musiaªby zawiera¢
kraw¦d¹ V . Natomiast ka»da sko«czona podrodzina A0 = ffa0 g; : : :; fangg jest speªniona przez fa0; : : :; ang.
Przykªad 1.5.
Okazuje si¦, »e klasa hipergrafów zwartych jest klas¡ wszystkich hipergrafów, dla których twierdzenie
o zwarto±ci zachodzi w peªnej ogólno±ci. Mówi o tym nast¦pne twierdzenie.
1.1. Twierdzenie o zwarto±ci.
Twierdzenie 1.6.
G jest zwarty.
7
Dla hipergrafu G zachodzi twierdzenie o zwarto±ci wtedy i tylko wtedy, gdy hipergraf
Dowód.
W jedn¡ stron¦ twierdzenie to wynika z CTH. Niech zatem e b¦dzie kraw¦dzi¡ hipergrafu G i niech
A = ffag : a 2 eg. Oczywi±cie A jest niespeªnialna. Istnieje wówczas niespeªnialna i sko«czona podrodzina
ffa1g; : : :; fa gg rodziny A. Poniewa» zbiór fa1; : : :; a g ma niepusty przekrój z ka»dym z fa g, i = 1; : : :; n,
istnieje kraw¦d¹ e0 fa1 ; : : :; a g. Oczywi±cie e0 jest sko«czone i zawiera si¦ w e.
n
n
i
n
Zauwa»my, »e w dowodzie twierdzenia CTH u»yte zostaªo BPI { the Boolean Prime Ideal theorem (a ±ci±lej
jego równowa»nik { twierdzenie o istnieniu ultraltru w dowolnej algebrze Boole'a). Okazuje si¦, »e oba te
twierdzenia s¡ sobie efektywnie równowa»ne.
Twierdzenie 1.7.
W teorii mnogo±ci Zermelo-Fraenkla bez pewnika wyboru, CTH i BPI s¡ równowa»ne.
Oczywi±cie dowodu wymaga jedynie fakt, »e BPI wynika z CTH. Niech zatem B b¦dzie algebr¡
Boole'a i niech G b¦dzie hipergrafem, którego wierzchoªkami s¡ elementy algebry B, za± kraw¦dziami zbiory
postaci fa; ag dla a 2 B . Zauwa»my, »e G jest w istocie grafem. Niech dalej rodzina A b¦dzie rodzin¡
wszystkich zbiorów postaci fa; b; cg, gdzie a; b i c s¡ dowolnymi niekoniecznie ró»nymi elementami algebry
B takimi, »e abc = 0. Poka»emy, »e ka»da sko«czona podrodzina rodziny A jest speªnialna wzgl¦dem G .
Istotnie, niech A0 b¦dzie sko«czon¡ podrodzin¡ rodziny A. Bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e A0 =
ffa; b; cg : abc = 0; a; b; c 2 B 0g dla pewnej sko«czonej podalgebry Boole'a B 0 algebry B . Poniewa» B 0 jest
sko«czona, istnieje ideaª pierwszy I 0 zawarty w B0 . Zauwa»my, »e wówczas I 0 speªnia A0 . Istotnie, poniewa»
I 0 jest wªa±ciwym podzbiorem B 0, jeden spo±ród a; a nie nale»y do I 0 . Ponadto, skoro I 0 jest pierwszy,
to jeden z a; b i c nale»y do I 0, o ile abc = 0, dla a; b; c 2 B 0 .
Dowód.
Poniewa» zarówno elementy A jak i wszystkie kraw¦dzie hipergrafu G s¡ sko«czone, na mocy twierdzenia
o zwarto±ci dla hipergrafów, rodzina A jest speªnialna. Niech zatem I speªnia rodzin¦ A. Poka»emy, »e I jest
ideaªem pierwszym w B. Przede wszystkim wyka»emy, »e ; =
6 I =6 B . Na podstawie niesprzeczno±ci zbioru
I , albo 0, albo 1 nie nale»y do I . Dalej, poniewa» I speªnia A, albo 0, albo 1 nale»y do I , bo f0; 1g 2 A.
Widzimy wi¦c, »e I jest niepustym i wªa±ciwym podzbiorem algebry B.