Topologia
Transkrypt
Topologia
Topologia Wykład 2 Zbieżność w przetstrzeniach metrycznych oraz zbiory otwarte i domknięte. 1. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych Definicja 1. Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0. Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x. Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 zachodzi xn ∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać. Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Dowód. Wystarczy wziąć kulę K(x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu (xn ), znaleźć n0 , począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K(x, 1), a nastepnie zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K(x, r), gdzie r = max{1, d(x, x1 ), ..., d(x, xn0 )}. Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną granicę. Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r = 21 d(x, y) kule K(x, r), K(y, r) nie mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli xn → x i xn → y, to 0 ¬ d(x, y) ¬ d(x, xn ) + d(xn , y) . | {z } | {z } −→ 0 −→ 0 n→∞ n→∞ Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny. Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x. Dowody oczywiste. Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu (xn ) zawiera podciąg zbieżny do x, to xn → x. Dowód. Przypuśćmy niewprost, że (xn ) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie. Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu (xn ) nie należy do K(x, r). Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x. Przykłady 1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe. 2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny do zera. 3. W metryce „węzeł kolejowy” ciąg punktów (0, n1 ) jest zbieżny do (0, 0), ale (1, n1 ) nie jest zbieżny do (1, 0), ani ( n1 , 1) nie jest zbieżny do (0, 1). Oczywiście, wszystkie są zbieżne w metrykach: taksówkowej, euklidesowej i maksimum. Jak jest z „rzeką”, gdy wyróznioną prostą jest 0X? 1 4. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn (x) = przestrzeni C([0, 1])? 1 n x, gn (x) = nx, hn (x) = xn w Definicja 2. Ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy), gdy dla każdego > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n0 zachodzi d(xm , xn ) < . Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego. Dowód. Ustalmy > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n0 dla 21 (zamiast ). Dla m, n > n0 mamy d(xm , xn ) ¬ d(xm , x) + d(x, xn ) < + = . 2 2 Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności warunku Cauchy’ego i zbieżności w R (nawet w Rn ). Przykład: xn = − n1 w metryce „mur”. 2. Punkty skupienia. Na analizie definiowano punkt skupienia ciągu jako granicę zbieżnego podciągu. Przy tym pozwalano, by punktami skupienia były ±∞ mimo, że nie są to elementy przestrzeni R. My wprowadzimy ogólniejszą definicję. Definicja 3. Punkt x jest punktem skupienia zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, d), gdy dla każdego > 0 zachodzi A ∩ K(x, ) \ {x} 6= φ. Twierdzenie 7. x jest punktem skupienia zbioru A ⇐⇒ A zawiera ciąg (xn ) taki, że xn 6= x dla każdego n oraz limn xn = x. Dowód. (⇒) Dla kolejnych n wybieramy xn z przekrojów A ∩ K(x, n1 ) \ {x} . (⇐) Dla > 0 znajdujemy n0 z definicji zbieżności. Dla n > n0 mamy xn ∈ K(x, ), a z własności tego ciągu xn 6= x i xn ∈ A. Definicja 4. Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A i oznaczamy Ad . Przykłady W naturalnych metrykach mamy: 1. Nd = φ 2. Qd = R 3. Rd = R Ale jeśli rozpatrzymy w N ∪ {0} metrykę ρ, to pochodną będzie {0}. Fakt bycia punktem skupienia i pochodna zależą od przyjętej metryki!!! 3. Zbiory otwarte i domknięte. Wygodnie jest poklasyfikować zbiory na różne sposoby, by wiedzieć, których zbiorów można użyć do jakich celów. Np. czasem chcemy, by zbiór zawierał swoje wszystkie punkty skupienia (to będą domknięte). A czasem, by zawierał tylko swoje punkty skupienia (ale niekoniecznie wszystkie – to będa otwarte). To zrobimy poniżej. 2 Definicja 5. Zbiór A jest otwarty (w przestrzeni metrycznej (X, d)), gdy dla każdego x ∈ A istnieje > 0 taki, że K(x, ) ⊂ A. Zbiór A jest domknięty, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Zobaczmy, że druga z definicji faktycznie realizuje obietnicę zawierania wszystkich punktów skupienia. Twierdzenie 8. Zbiór A jest domknięty ⇐⇒ A zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, tzn Ad ⊂ A. Dowód. (⇒) Jeśli x 6∈ A, to z otwartości X \ A istnieje kula K(x, ) zawarta w X \ A, czyli rozłączna z A. Zatem x nie jest punktem skupienia A. Stąd Ad ⊂ A. (⇐) Weźmy dowolny x ∈ X \ A. Wtedy z założenia x nie jest punktem skupienia A, czyli dla pewnego > 0 mamy A ∩ K(x, ) \ {x} = φ. Stąd K(x, ) ⊂ X \ A, co oznacza, że x zawiera się w X \A wraz z pewną kulą. Zatem X \A jest otwarty, czyli A jest domknięty. Na następnym wykładzie: pojęcia wnętrza, domknięcia, brzegu i klasyfikacja punktów, własności rodzin zbiorów otwartych i domkniętych, topologia, wspomnienie o ogólnym wprowadzaniu topologii (bez metryki - wspomnienie o zbieżności punktowej funkcji), równoważność i lipschitzowska równoważność metryk, może też zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste. 3