Uzupełnienie do zadania, że wszystkie normy na Rn są

Uzupełnienie do zadania, że wszystkie normy na Rn są równoważne.
Niech k·k będzie dowolną normą na Rn , a k·k normą supremum, tzn.
k(x1 , ..., xn )k∞ = max |xi |
1≤i≤n
n
Niech e1 , ...,
pokazaliśmy, że istnieje stała
Penn będzie bazą kanoniczną w R . Na ćwiczeniach
n
C (równa i=1 kei k), taka że dla wszystkich x ∈ R zachodzi kxk ≤ Ckxk∞ . Pokażemy
odwrotne oszacowanie.
Przypuśćmy, że kxk∞ ≤ Dkxk nie zachodzi ogólnie dla żadnej stałej D. Wtedy dla
każdego k ∈ N możemy znaleźć xk , dla którego kxk k∞ > kkxk k. Możemy przy tym założyć,
k
że kxk k∞ = 1 dla wszystkich k (gdyby nie to zastąpimy xk przez kxxk k∞ ). Wtedy
1 k
1
kx k∞ = lim
=0
k→∞ k
k→∞ k
lim kxk k ≤ lim
k→∞
Zatem xk dąży do zera w normie k·k.
Z drugiej strony, ciąg (xk ) ma podciąg (xmk ) zbieżny w normie k·k∞ do pewnego y
(później napiszemy jak wybrać taki podciąg). Zachodzą jednocześcnie warunki:
• kyk∞ = limk→∞ kxmk k∞ = 1,
• limk→∞ kxmk − yk ≤ limk→∞ Ckxmk − yk∞ = 0, czyli y = 0 z jedyności granicy.
Sprzeczność, bo norma zera nie może być równa 1.
Pozostaje opisać procedurę wyboru podciągu zbieżnego xmk z ciągu (xk )k∈N spełniającego kxk k∞ = 1. Warunek ten gwarantuje, że dla każdego i ciąg współrzędnych (xki )k∈N
k
jest zawarty w odcinku [−1,
1]. Najpierw z ciągu (x1 )k∈N (pierwszych współrzędnych)
m0
wybieramy podciąg zbieżny x1 k
o takich samych indeksach
m0k .
k∈N
. Z ciągu drugich współrzędnych wybieramy podciąg
Może on nie być zbieżny,
ale jest ograniczony (jako
podciąg
m00
m00
ciągu ograniczonego), zatem zawiera podciąg zbieżny x2 k
. Jednocześnie x1 k
k∈N
k∈N
00 mk
jest zbieżny. Następnie badamy podciąg x3
ciągu trzecich współrzędnych i wybierk∈N
amy zeń podciąg zbieżny. Kontynuując to postępowanie znajdziemy ostatecznie ciąg indeksów mk , dla którego wszystkie współrzędne jednocześnie zbiegają. Ponieważ przestrzeń
jest skończenie wymiarowa, zbieżność ta jest zbieżnością w normie k·k∞ .