Zadania
Transkrypt
Zadania
ZCPS1. Modele sygnałów deterministycznych. Parametry sygnałów Z1 Obliczyć parametry całkowe sygnału okresowego: x(t) = D + A1 cos(ω0 t+π/4)+A2 cos(2 ω0 t+π/3), jeśli D = 50V, A1 = 100V, A2 =50V, ω0 = 2π 50 radianów/s. Z2 Obliczyć parametry całkowe sygnałów: A 1(t) oraz A exp(-t/τ) 1(t), gdzie 1(t) – sygnał skoku jednostkowego, A = 10V, τ = 0.1s. Z3 Posługując się metryką, obliczyć odległość między sygnałami x1(t) = A sin t, x2(t) = A cos t, w przestrzeni L2(0,T). Obliczyć przy jakim t występuje maximum odległości miedzy tymi sygnałami w przestrzeni C(0, T). Odp. A(2π)½, 0,707 A przy ¾π. Z4 Obliczyć iloczyn skalarny i normy sygnałów: 1) A1 cos(ω0 t) i A2 cos(ω0 t+π/3), 2) A1 sin(ω0 t+π/4) i A2 cos(2 ω0 t+π/3). A1 = 100V, A2 =50V, ω0 = 2π 50 rad/s. Z5 Obliczyć iloczyn skalarny ( , ) i normy || ||, kąt pomiędzy sygnałami dla sygnałów x1, x2 typu A 1(t) exp(-t/τ), o jednakowym kształcie, ale przesuniętych o czas 2μs. Wzory szczegółowe: x1(t)= 10 exp(-105t), x2(t)= 10 exp(-105(t- 2 10-6)) 1(t - 2 10-6). Odp. φ= 35°. Z6 Rozważyć sposoby obliczania całkowych parametrów sygnałów dyskretnych zapisanych w macierzy typu wektor w wybranym środowisku programistycznym (instrukcje, procedury). Literatura: Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa Internet: strony dotyczące analizy funkcjonalnej, przestrzeni Hilberta, iloczynu skalarnego. ZCPS2. Szereg Fouriera. Transformata Fouriera. Z1 Znaleźć szereg Fouriera i transformatę Fouriera sygnału okresowego x(t) = A1 cos(ω0t+45º)+A2 cos(2ω0t ), jeśli A1 = A2 =100V, ω = 2π 50 rad/s. Sporządzić wykresy amplitudowe i fazowe. Wyjaśnić różnice w interpretacji. Z2 Obliczyć szereg Fouriera i transformatę Fouriera sygnału okresowego x(t) = A1 sin(ωt+45º)+A2 sin(2ω0t ), jeśli A1 = A2 =100V, ω = 2π 50 rad/s. Sporządzić wykresy amplitudowe i fazowe. Porównać z wynikami z Z1. Sformułować wnioski z zadań Z1 i Z2 uwzględniając podobieństwa i różnice. Z3 Wyznaczyć szereg Fouriera trójkątnego sygnału okresowego o okresie T, amplitudzie A. Sprawdzić równość Parsevala (T. Z., s. 66 - 69). Z4 Obliczyć transformaty Fouriera sygnałów: A 1(t), A exp(-|t|/τ), A (1-exp(-|t/|τ)), A exp(-t2/a2), gdzie 1(t) – sygnał skoku jednostkowego, A = 100V; τ = 0.1s. (T. Z., s. 79 - 87). Z5 Obliczyć transformatę Fouriera okresowego sygnału bramki g0(t) =A Π(t/τ) dla τ = 0,1 (powielony sygnał bramki). Z6 Obliczyć transformatę Fouriera sygnału x(t) = A sza(t/T) dla T = 0,1s. Z7 Obliczyć moc zawartą w 5 składowych widma sygnału okresowego i porównać z mocą w całym jego widmie dla przypadków: a) sygnał trójkątny, b) sygnał piłokształtny (T. Z., s. 67-70). Z8 Z jakim błędem (wartość średniokwadratowa błędu) 5 kolejnych wyrazów szeregu Fouriera przybliża okresowy sygnał prostokątny o współczynniku wypełnienia: a) 0,2, b) 0,01 (powielany sygnał bramki). Lit. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa ZCPS3. Dyskretne przekształcenie Fouriera Z1 Określić na podstawie twierdzenia K-S warunki prawidłowego próbkowania sygnału okresowego o postaci x(t) = A1sin(2π100t) + A2 cos(π3000t) (Wykł.). Z2 Zapisać w formie macierzowej zależność pomiędzy wektorem widma zespolonego X(n) a wektorem próbek sygnału x(k) korzystając ze wzoru definicyjnego na DFT dla N = 4 (DFT: T. Z., s. 71=73). Z3 Wyznaczyć macierz próbek, a następnie DFT sygnałów próbkowanych synchronicznie z N = 4 próbek w jednym okresie: x1(t) = 10 cos(20πt); x2(t) = 10 sin(2000πt). Określić TSYG, FMAX, FS . Obliczyć wartości DFT. Z4 Sprawdzić, jak zmieni się DFT sygnałów z Z3 próbkowanych synchronicznie z liczbą próbek N = 8 w dwóch okresach: x1(t) = 10 cos(20πt); x2(t) = 10 sin(2000πt). Określić TSYG, FMAX, FS. Obliczyć wartości DFT. Z5 Według danych z zadania Z3 i Z2 przypadek 1 sprawdzić, czy zachodzi równość Parsevala. ZCPS4. Inne przekształcenia. Korelacja. Widma energii. Z1 Zastosować przekształcenie Walsha-Fouriera obliczając pierwszych 5 współczynników rozwinięcia w szereg Walsha sygnału x(t) = A1 sin(ω0 t). Określić błąd aproksymacji. A1 =10 V, ω0 =2π (Sz. s.123). Z2 Zastosować przekształcenie Walsha-Fouriera obliczając pierwszych 5 współczynników rozwinięcia w szereg Walsha sygnału o okresie T i amplitudzie A: a) trójkątnego, b) piłokształtnego. Określić błąd aproksymacji w obu przypadkach. Z4 Wyznaczyć funkcję autokorelacji sygnału A1 cos(ω0t+π/4), A1 =10V. Z5 Wyznaczyć funkcję korelacji wzajemnej pomiędzy dwoma sygnałami bramki o parametrach: A1=10V, A2 =1V, b1=0,1s, b2=0,5s. Wyznaczyć współczynnik korelacji. Z6 Wyznaczyć widma energii sygnału x(t) = A dla 10ms. Sporządzić wykres. Z7 Wyznaczyć widma mocy sygnałów: A exp(-|t|/τ), A (1-exp(-|t/|τ)), A exp(-t2/a2), A = 100V; τ = 0,1s. Z8 Wyznaczyć widmo mocy sygnału A1 cos(ω0t+π/3), A1 =10V. Sporządzić wykres. Z9 Wyznaczyć widmo mocy sygnału A1 sin(ω0t+π/3), A1 =10V. Sporządzić wykres. Porównać z wynikiem Z8. Sformułować wnioski. Lit. -T/2 < t < T/2, 0 dla pozostałych t, gdzie A = 10V, T = Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa ZTS5. Transformacja Laplace'a. Z1 Obliczyć z definicji transformaty Laplace'a sygnałów A δ(t), A 1(t), A t 1(t), A1 sin(ωt) 1(t), A exp(-t/τ) 1(t), A (1-exp(-t/τ)) 1(t). Na podstawie literatury obliczyć transformaty sygnałów A1 sin(ωt+π/4) 1(t), A1 cos(ωt+π/4) 1(t). Sprawdzić, czy F(jω)=F(s)|s= jω w każdym przypadku. 1(t) - funkcja skoku jednostkowego. Z2 Zastosować metodę operatorową do wyznaczenia transmitancji operatorowej i widmowej opisujących układ jak na rysunku. Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe układu: amplitudową i fazową. Jaka jest odpowiedź tego układu na E = A 1(t) (wyznaczyć równanie na Uc(t)). Założyć zerowe warunki początkowe. ZCPS6. Przekształcenie Z. Filtry cyfrowe. Z1 Obliczyć z definicji transformatę Z dyskretnego skoku jednostkowego 1(n) oraz szeregu potęgowego an 1(n), a = 0.5. Z2 Obliczyć transformatę Z dyskretnego zespolonego sygnału harmonicznego A exp(jω0n)1(n), a na tej podstawie transformaty szeregów A sin(ω0n)1(n) oraz A cos(ω0n)1(n), próbkowanych z odstępem TS. ω0stała. Z3 Znaleźć szereg czasowy mając jego X(z) = z(1- e-aT) / ((z-1)(z-e-aT)). Posłużyć się metodą rozkładu na ułamki proste. Z4 Wyznaczyć X(z) szeregu nieskończonego otrzymanego w wyniku próbkowania sygnału liniowo narastającego A t 1(t) z odstępem próbkowania TS. Z5 Zbadać właściwości filtru cyfrowego typu SOI o równaniu y(n)= x(n) – 1,618 x(n-1) +x(n-2). Wyznaczyć H(z) tego filtru, określić położenie zer i biegunów jego transmitancji. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki częstotliwościowe. Narysować jego schemat strukturalny (obliczenia można wykonać/sprawdzić za pomocą programu Matlab). Z6 Zbadać właściwości filtru cyfrowego typu NOI o równaniu H(z) = 1/(1 – 0,8z-1 +z-2). Określić położenie zer i biegunów jego transmitancji. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki częstotliwościowe. Narysować jego schemat strukturalny. (Obliczenia można sprawdzić za pomocą programu Matlab). Lit. Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, s.267-275. WKŁ, Warszawa ZCPS7 Sygnały losowe. Z1 Założyć, że generowany jest dyskretny sygnał losowy o rozkładzie gaussowskim o zerowej wartości średniej i wartości odchylenia średnokwadratowego a (instrukcja randn()). Należy sygnał ten scharakteryzować w systematyczny sposób posługując się pojęciami z dziedziny statystyki i z dziedziny CPS, zwracając uwagę na zbieżności w pojęciach. Wskazać użyteczne instrukcje Matlab oraz procedury, które można tu wykorzystać. Z2 Szum biały o wariancji a2 przechodzi przez idealny filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej fc i wzmocnieniu 10. Jaka jest postać funkcji autokorelacji szumu wyjściowego? Z3 Jaka jest funkcja autokorelacji sygnału o postaci Acos(ω1 t+π/6) z szumem białym o wariancji A2. Z4 Na podstawie literatury zbadać zagadnienie przechodzenia szumu białego przez układ inercyjny 1 rzędu (filtr dolnoprzepustowy rzeczywisty) o współczynniku wzmocnienia K i częstotliwości charakterystycznej fc. Należy określić funkcję autokorelacji szumu wyjściowego i jego GWM. Z5 Zbadać eksperymentalnie właściwości sygnału losowego skonstruowanego jako suma kilku niezależnych sygnałów w postaci szumu białego o różnych wariancjach. Lit. Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa