Momenty statystyczne. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 5
2 . 1 . M om e n t y S t at y s t y c zn e
Rozdział 2
METODY STATYSTYCZNE
2.1. MOMENTY STATYSTYCZNE
wartość oczekiwana wyrażenia Q
zmienna o charakterze ciągłym Q(t)
Q ∈ 〈t0 ; t0 + T 〉
1
Q ≡ E [Q (t )] ≡ lim
T →∞ T
∫
t 0 +T
(2.1a)
Q (t ) dt
(2.2a)
t0
zmienna o charakterze dyskretnym Qi
Qi = {Q1 ,Q2 ,...,QN }
(2.1b)
1 i= N
Q ≡ E [Qi ] ≡ ∑ Qi
N i =1
(2.2b)
moment rzędu k zmiennej losowej Q
[
mk = E (Q − c) k
k - liczba naturalna
c - punkt odniesienia
]
(2.3)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 6
2 . 1 . M om e n t y S t at y s t y c zn e
m→c=0
moment zwykły
moment centralny µ → c = E [Q ] = Q
wartość średnia (moment zwykły rzędu 1-go)
1 t +T
Q = m1 = E [Q(t )] =
Q(t ) dt
∫
T t
Q = m1 = E [Qi ] =
1
∑ Qi
N i
(2.4a)
(2.4b)
wartość średniokwadratowa (moment zwykły rzędu 2-go)
[
Q 2 = m2 = E Q 2 (t )
]
(2.5)
wartość skuteczna (RMS – root mean square)
QRMS = Q 2
(2.6)
wariancja (moment centralny rzędu 2-go)
[
] [ ]
V (Q) = µ 2 = E (Q − Q ) = E q 2
2
(2.7)
odchylenie standardowe
σ ( Q ) = V ( Q ) = q'
(2.8)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 7
2 . 1 . M om e n t y S t at y s t y c zn e
Q = 0 ⇒ Q 2 = V (Q )
⇓
QRMS = σ ( Q )
współczynnik skośności
[
]
[ ]
µ3 E (Q − Q )3
E q3
S = 1.5 =
=
1.5
µ2
V (Q )
V (Q )1.5
(2.9)
współczynnik spłaszczenia
[ ]
µ4 E q4
F= 2=
µ 2 V (Q )2
(2.10)
wartości ekstremalne
max(Qmax)
min(Qmin)
momenty statystyczne wielu zmiennych
[
µ kl = E (Q − Q) k ⋅ ( R − R )l
np.:
]
µ11 - kowariancja zmiennych losowych Q, R
(2.11)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 8
2 . 1 . M om e n t y S t at y s t y c zn e
współczynnik korelacji
ρQR =
µ 20 µ 02
µ 20 ≡ σ ( Q ) ;
ρ QR =
µ11
(2.12)
µ 02 ≡ σ ( R )
µ 11
σ ( Q )σ ( R )
ρ∈<-1;1>
ρQR = 0 ⇒ zmienne losowe Q i R są nieskorelowane
ρQR = ±1 ⇒ istnieje ścisła liniowa zależność (korelacja)
pomiędzy zmiennymi
(2.13)
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
1 9
2 . 2 . P r aw dop odob ie ń s t w o
2.2. PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Prawdopodobieństwo – miara statystyczna zajścia losowego
zdarzenia (przyjęcia przez zmienną losową pewnej,
określonej wartości)
Jak określić prawdopodobieństwo ?
P=
liczba zdarzen " sprzyjajacych"
liczba wszystkich zdarzen
P ∈ 〈0;1〉
(2.14)
P ∈ 〈0%;100%〉
Dystrybuanta (funkcja rozkładu prawdopodobieństwa) –
prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa nie
przekroczy pewnego, określonego poziomu
D( x N ) = P( x ≤ x N ) =
∫ P( x ) dx
xN
−∞
(2.15)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 0
2 . 2 . P r aw dop odob ie ń s t w o
dla zmiennej o charakterze dyskretnym
D( x N ) = P( x ≤ x N ) =
∑
i=N
i =1
Pi ( x = xi )
(2.16)
w nieskończonościach
D(-∞) = 0
oraz
D(∞) =1
(2.17)
przykład
Ze zbioru czterech kart
{2, 2, 4, 6}
wybieramy losowo jedną. Określmy prawdopodobieństwo P
oraz dystrybuantę D takiego zdarzenia.
możliwe zdarzenia elementarne
{xi} = {x1 = 2, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 6}
prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego
P(x = xi) = 1/4
P(x = 2) = 2/4; P(x = 4) = 1/4; P(x = 6) = 1/4
dystrybuanta
D(x < 2) = 0; D(x = 2) = 2/4; D(x = 4) = 3/4; D(x = 6) = 4/4
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 1
2 . 2 . P r aw dop odob ie ń s t w o
jeśli zmienna losowa (sygnał) ma charakter analogowy
⇓
może przyjąć nieskończoną liczbę wartości
⇓
prawdopodobieństwo zawsze jest równe zeru
P( x = x0 ) =
n
=0
∞
⇓
zastosowanie funkcji gęstości prawdopodobieństwa
(znormalizowane prawdopodobieństwo)
(2.18)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 3 . F u n k c j a g ę s t oś c i
p r aw dop odob ie ń s t w a
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 2
2.3. FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA
(probability density function - p.d.f.)
p.d.f. – prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową
wartości z przedziału
P( x0 < x ≤ x0 + ∆x )
p( x0 ) = lim
(2.19)
∆x→0
∆x
licznik powyższej definicji można wyrazić jako
P( x0
co daje
<
x ≤ x0 + ∆x ) = P( x ≤ x0 + ∆x ) − P( x ≤ x0 ) =
= D( x0 + ∆x ) − D( x0 )
D( x0 + ∆x ) − D( x0 )
∆x→0
∆x
(2.20)
dD( x0 )
dx
(2.21)
p( x0 ) = lim
p( x0 ) =
Jednostka p.d.f.
[ p ] = [P] = 1
[x ] [x ]
(2.22)
Wykorzystując definicję dystrybuanty
x0
D( x0 ) = ∫ p( x ) dx
−∞
(2.23)
⇓
∫ p( x ) dx = D( +∞ ) ≡
+∞
−∞
1
(2.24)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 3 . F u n k c j a g ę s t oś c i
p r aw dop odob ie ń s t w a
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 3
związki pomiędzy funkcją p.d.f. a momentami statystycznymi
momenty zwykłe
+∞ k
mk = ∫ x p( x ) dx
−∞
(2.25)
momenty centralne
+∞
µ k = ∫ ( x − m1 )k p( x ) dx
−∞
m1 – wartość średnia
wpływ szerokości przedziału ∆x na rozkład funkcji p.d.f.
∑ Pi = 1
i
⇒
∑ ( pi ⋅ ∆xi ) = 1
i
(2.26)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 4 . p . d. f . s y g n ału
m on oh ar m on ic zn e g o
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 4
2.4. FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PRZEBIEGU MONOHARMONICZNEGO
x( t ) = A sin( ωt + ϕ )
gdzie:
A - amplituda
ω - częstość kołowa
ϕ - kąt fazowy
p( x ) =
prawdopodobieństwo
P
dx
2 dt
T
jeśli x(t) = A sin(ωt + ϕ) to wówczas
P=
tak więc
dx = A ω cos( ωt + ϕ ) dt
dt =
dx
A ω cos( ωt + ϕ )
(2.27)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 4 . p . d. f . s y g n ału
m on oh ar m on ic zn e g o
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 5
podstawiając
uzyskuje się
dt =
cos( ωt + ϕ ) = 1 − sin 2 ( ωt + ϕ )
dx
A ω 1 − sin 2 ( ωt + ϕ )
=
dx
A ω 1 − x 2 / A2
prawdopodobieństwo
P=
2 dt
2 dx
=
T
A T ω 1 − x 2 / A2
→0
zatem funkcja p.d.f. (podstawiając T=2π/ω) dana jest zależnością
p( x ) =
1
π
2
A −x
2
≠ f (ω ) ≠ f (ϕ )
(2.28)
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2 6
2 . 5 . Rozk ład n or m al n y
2.5. ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)
 1  x − x 2 
1
p( x ) =
exp − 
 
σ 2π
2
σ

 

współczynnik skośności S=0
współczynnik spłaszczenia F=3
pole ograniczone rozkładem → prawdopodobieństwo P
∫ p(x) dx = 0.997
x +3σ
x −3σ
∫ p(x) dx = 0.954
x + 2σ
x −2σ
(2.29)
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 5 . Rozk ład n or m al n y
+∞
+∞
p
(
x
)
dx
=
∫ 1
∫ p2 (x) dx = 1
−∞
−∞
odchylenia od rozkładu Gaussa
"skośność"
"spłaszczenie"
2 7
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 . 5 . Rozk ład n or m al n y
p(x1) = p(x2)
zróżnicowanie przebiegów czasowych sygnałów nie musi
oznaczać różnych rozkładów funkcji p.d.f.
x1(t) ≠ x2(t) ⇒ p(x1) ≠ p(x2)
rozkład stały
1

p
(
x
)
=
if

xmax − xmin

 p( x ) = 0 if x < x

min
xmin ≤ x ≤ xmax
or
x > xmax
2 8
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 2 – M e t ody
S t at y s t y c zn e
2 9
2 . 5 . Rozk ład n or m al n y
rozkład dyskretny
xi = { x1, x2, ..., xN}
 p( x ) = ∞ if

 p( x ) = 0 if
x = xi
x ≠ xi
przykład: fala prostokątna (N=2)
sygnał mieszany: fala monoharmoniczna + szum "gaussowski"
Rozdział 2 – M e t ody
3 0
S t at y s t y c zn e
2 . 6 . J ak w y zn ac zy ć f u n k c j ę
p . d. f . ?
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
2.6. JAK WYZNACZYĆ FUNKCJĘ P.D.F. ?
metoda analogowa
warunki wysokiej dokładności: T→∞ oraz ∆x→0
P( x ∈ 〈 x0 ; x0 + ∆x〉) =
∑ ∆ti ;
T
metoda cyfrowa
N→∞ oraz ∆x→0 (???)
p ( x0 ) =
P n N
=
∆x ∆x
p ( x0 ) =
P
∆x