Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Rozdzial 3. Elementy algebry uniwersalnej
§1. Podalgebry, homomorfizmy
Definicja. Niech ∅ 6= B ⊆ A oraz o bȩdzie n-argumentowa̧ operacja̧ na
zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla dowolnych
a1 , . . . , an ∈ B, o(a1 , . . . , an ) ∈ B, czyli gdy obciȩcie o|B n operacji o do zbioru
B n jest operacja̧ n-argumentowa̧ na zbiorze B (oczywiście B jest zamkniȩty na
0-argumentowa̧ operacjȩ o na zbiorze A, gdy o ∈ B).
Gdy A = (A, o1 , . . . , om ) jest algebra̧ oraz zbiór ∅ 6= B ⊆ A jest zamkniȩty
na każda̧ operacjȩ oi , i = 1, . . . , m, to cia̧g (B, o1 , . . . , om ), gdzie każda funkcja
oi , i = 1, . . . , m jest postrzegana jako obciȩta do zbioru B τ (oi ) , jest naturalnie
algebra̧ (tego samego typu co A), zwana̧ podalgebra̧ algebry A.
Oczywiście algebra A jest podalgebra̧ samej siebie.
Twierdzenie 3.1:
T Dla dowolnej klasy {(Bj , o1 , . . . , om ) : j ∈ J} podalgebr
algebry A zbiór {Bj : j ∈ J}, T
o ile jest niepusty, jest zamkniȩty na każda̧
operacjȩ oi , i = 1, . . . , m, tzn. ( {Bj : j ∈ J}, o1 , . . . , om ) jest podalgebra̧
algebry A.
Dowód: oczywisty. 2
Definicja. Wobec Tw.3.1, dla dowolnej algebry A = (A, o1 , . . . , om ), dla
dowolnego niepustego zbioru B ⊆ A, istnieje najmniejszy (wzglȩdem inkluzji)
ze wszystkich podzbiorów zbioru A zawieraja̧cych zbiórT B i zamkniȩtych na
każda̧ operacjȩ oi , i = 1, . . . , m. Jest nim zbiór C = {X ⊆ A : B ⊆ X i
∀i ∈ {1, . . . , m}, X jest zamkniȩty na oi }. Podalgebra (C, o1 , . . . , om ) algebry A
jest nazywana podalgebra̧ generowana̧ przez zbiór B, zaś B – nazywamy zbiorem
generatorów tej podalgebry. Innymi slowy, podalgebra algebry A generowana
przez zbiór ∅ =
6 B ⊆ A jest najmniejsza̧ spośród wszystkich podalgebr algebry
A zawieraja̧cych B.
Mówimy, że algebra A jest generowana przez zbiór niepusty B ⊆ A, gdy jej
podalgebra̧ generowana̧ przez B jest ona sama.
Definicja. Niech A = (A, o1 , . . . , om ), B = (B, o01 , . . . , o0m ) bȩda̧ algebrami
podobnymi. Dowolna̧ funkcjȩ h : A −→ B taka̧, że dla każdego i ∈ {1, . . . , m}
oraz dowolnych a1 , . . . , aτ (oi ) ∈ A, gdy τ (oi ) ≥ 1:
h(oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )) = o0i (h(a1 ), . . . , h(aτ (oi ) )),
oraz gdy τ (oi ) = 0, h(oi ) = o0i ,
nazywamy homomorfizmem przeksztalcaja̧cym algebrȩ A w algebrȩ B.
Symbolem Hom(A, B) bȩdziemy oznaczać klasȩ wszystkich homomorfizmów
przeksztalcaja̧cych algebrȩ A w B.
§1. Podalgebry, homomorfizmy
2
Gdy C = (C, o1 , . . . , om ) jest podalgebra̧ algebry A oraz h ∈ Hom(A, B), to
oczywiście obciȩcie: h|C jest elementem Hom(C, B).
Definicja. Gdy h ∈ Hom(A, B) jest funkcja̧ przeksztalcaja̧ca̧ zbiór A na zbiór
B, to h nazywany jest epimorfizmem.
Gdy ponadto homomorfizm h jest funkcja̧ różnowartościowa̧, to nazywany
jest izomorfizmem algebr A, B.
Algebry, dla których istnieje izomorfizm przeksztalcaja̧cy jedna̧ na druga̧
(wszystko jedno która̧ na która̧, bo funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem), nazywamy izomorficznymi.
Dowolny homomorfizm h ∈ Hom(A, A) nazywamy endomorfizmem algebry
A.
Algebry izomorficzne sa̧ nieodróżnialne pod wzglȩdem wlasności “algebraicznych” (odpowiadaja̧ce sobie w obu algebrach operacje “dzialaja̧” identycznie
na odpowiadaja̧cych sobie wedlug izomorfizmu elementach).
Twierdzenie 3.2: Funkcja h : A −→ A0 przeksztalcaja̧ca zbiór A na zbiór
A0 jest izomorfizmem krat (A, ∧, ∨), (A0 , ∧0 , ∨0 ) wtw ∀a, b ∈ A (a ≤ b wtw
h(a) ≤0 h(b)).
Dowód: Niech h bȩdzie funkcja̧ przeksztalcaja̧ca̧ A na A0 .
(⇒): Zalóżmy, że h jest izomorfizmem krat (A, ∧, ∨), (A0 , ∧0 , ∨0 ). Niech
ponadto dla a, b ∈ A bȩdzie: a ≤ b. Wówczas a ∧ b = a, zatem h(a ∧ b) = h(a),
tzn. z zalożenia: h(a) ∧0 h(b) = h(a), co implikuje: h(a) ≤0 h(b). W druga̧
stronȩ, niech h(a) ≤0 h(b). Sta̧d h(a) ∧0 h(b) = h(a), czyli h(a ∧ b) = h(a),
co wobec faktu, że h jest funkcja̧ różnowartościowa̧, pocia̧ga: a ∧ b = a, zatem
a ≤ b.
(⇐): Zalóżmy, że ∀a, b ∈ A (a ≤ b wtw h(a) ≤0 h(b)). Wówczas h jest
różnowartościowa. Niech bowiem h(a) = h(b), dla jakichś a, b ∈ A. Wtedy
h(a) ≤0 h(b) oraz h(b) ≤0 h(a). Dlatego z zalożenia: a ≤ b oraz b ≤ a, zatem
a = b. Niech teraz a, b ∈ A. Ponieważ a ≤ a ∨ b oraz b ≤ a ∨ b, wiȩc z zalożenia:
h(a) ≤0 h(a∨b), h(b) ≤0 h(a∨b). Sta̧d, h(a)∨0 h(b) ≤0 h(a∨b). Z drugiej strony,
ponieważ h jest funkcja̧ “na”, wiȩc h(a)∨0 h(b) = h(c) dla pewnego c ∈ A. Zatem
h(a) ≤0 h(c) oraz h(b) ≤0 h(c). Dlatego na mocy zalożenia: a ≤ c i b ≤ c, czyli
a∨b ≤ c, a sta̧d i znowu z zalożenia otrzymujemy: h(a∨b) ≤0 h(c) = h(a)∨0 h(b).
Ostatecznie, h(a ∨ b) = h(a) ∨0 h(b). Analogicznie dla operacji kresu dolnego.
2
Twierdzenie 3.3: Niech h : A −→ A0 bȩdzie izomorfizmem krat (A, ∧, ∨),
(A0 , ∧0 , ∨0 ) oraz odpowiednio ≤, ≤0 – ich kratowymi porza̧dkami. Jeżeli < A, ≤>
jest krata̧ zupelna̧, to < A0 , ≤0 > jest również krata̧ zupelna̧ oraz dla dowolnego
→
→
X ⊆ A : h(inf X) = inf 0 h (X), h(supX) = sup0 h (X).
Dowód: Niech h bȩdzie izomorfizmem krat (A, ∧, ∨), (A0 , ∧0 , ∨0 ) i < A, ≤>
bȩdzie krata̧ zupelna̧ oraz X ⊆ A. Ponieważ ∀x ∈ X : inf X ≤ x, wiȩc na
§1. Podalgebry, homomorfizmy
3
mocy Tw.3.2: ∀x ∈ X : h(inf X) ≤0 h(x), zatem h(inf X) jest ograniczeniem
→
dolnym zbioru h (X) w zbiorze cz. up. < A0 , ≤0 >. Niech teraz a ∈ A0 bȩdzie
taki, że ∀x ∈ X : a ≤0 h(x). Oczywiście a = h(b) dla pewnego b ∈ A. Zatem
∀x ∈ X : h(b) ≤0 h(x). Czyli, wedlug Tw.3.2: ∀x ∈ X : b ≤ x. Dlatego
b jest ograniczeniem dolnym zbioru X w kracie < A, ≤>, zatem b ≤ inf X.
Wobec Tw.3.2: h(b) ≤0 h(inf X), tzn. a ≤0 h(inf X), ostatecznie, h(inf X) =
→
→
inf 0 h (X). Analogicznie wykazuje siȩ, że h(supX) = sup0 h (X). Weźmy pod
→
uwagȩ dowolny Y ⊆ A0 . Wówczas istnieje X ⊆ A taki, że Y = h (X). Zatem
inf 0 Y = h(inf X) oraz sup0 Y = h(supX), tzn. zbiór cz. up. < A0 , ≤0 > jest
krata̧ zupelna̧. 2
Twierdzenie 3.4: Jeśli h ∈ Hom(A, B) oraz g ∈ Hom(B, C), to zlożenie
h ◦ g, czyli funkcja przeksztalcaja̧ca zbiór A w zbiór C taka, że dla dowolnego
a ∈ A, (h ◦ g)(a) = g(h(a)), jest homomorfizmem przeksztalcaja̧cym algebrȩ A
w algebrȩ C.
Dowód: Niech oA , oB , oC bȩda̧ odpowiadaja̧cymi sobie operacjami n-argumentowymi odpowiednio w algebrach A, B, C. Wówczas dla dowolnych a1 , . . . , an ∈
A : (h ◦ g)(oA (a1 , . . . , an )) = g(h(oA (a1 , . . . , an ))) = g(oB (h(a1 ), . . . , h(an ))) =
oC (g(h(a1 )), . . . , g(h(an ))) = oC ((h ◦ g)(a1 ), . . . , (h ◦ g)(an )). 2
Twierdzenie 3.5: Niech h bȩdzie homomorfizmem algebr A = (A, o1 , . . . , om ),
→
B = (B, o01 , . . . , o0m ). Wówczas obraz h (A) zbioru A wedlug homomorfizmu h
→
jest zamkniȩty na operacje o01 , . . . , o0m , tzn., ( h (A), o01 , . . . , o0m ) jest podalgebra̧
→
algebry B. Ponadto, jeśli A0 jest zbiorem generatorów algebry A, to h (A0 ) jest
→
zbiorem generatorów algebry ( h (A), o01 , . . . , o0m ).
Dowód: Wybierzmy i ∈ {1, . . . , m} i zalóżmy, że operacja o0i jest n-argumento→
wa. Wówczas dla dowolnych b1 , . . . , bn ∈ h (A) istnieja̧ a1 , . . . , an ∈ A takie, że
o0i (b1 , . . . , bn ) = o0i (h(a1 ), . . . , h(an )) = h(oi (a1 , . . . , an )), zatem o0i (b1 , . . . , bn ) ∈
→
h (A).
Twierdzenie 3.6: Dowolny homomorfizm h ∈ Hom(A, B) jest jednoznacznie
wyznaczony przez swoje wartości na zbiorze generatorów algebry A.
Dowód: Niech zbiór A0 ⊆ A bȩdzie zbiorem generatorów algebry A oraz niech
dla h, g ∈ Hom(A, B) zachodzi: h(a) = g(a), dla każdego a ∈ A0 . Zbiór {x ∈
A : h(x) = g(x)} jest zamkniȩty na każda̧ operacjȩ oi , i = 1, . . . , m, algebry A.
Zalóżmy bowiem, że wybrana operacja oi jest n-argumentowa. Wówczas dla
dowolnych x1 , . . . , xn ∈ A takich, że h(xj ) = g(xj ), j = 1, . . . , n, h(oi (x1 , . . . ,
xn )) = o0i (h(x1 ), . . . , h(xn )) = o0i (g(x1 ), . . . , g(xn )) = g(oi (x1 , . . . , xn )). Zatem
({x ∈ A : h(x) = g(x)}, o1 , . . . , om ) jest podalgebra̧ algebry A zawieraja̧ca̧
zbiór A0 , czyli, wobec zalożenia, iż A jest generowana przez A0 , otrzymujemy:
{x ∈ A : h(x) = g(x)} = A. Ostatecznie, h = g. 2
§2. Relacje kongruencji
4
Definicja. Niech K bȩdzie dowolna̧ klasa̧ algebr podobnych oraz A ∈ K.
Mówimy, że algebra A jest wolna w klasie K, gdy istnieje taki zbiór A0 jej
generatorów, że dla dowolnej algebry B = (B, o01 , . . . , o0m ) ∈ K oraz dowolnej
funkcji v : A0 −→ B, istnieje h ∈ Hom(A, B) taki, że h|A0 = v. Każdy element
z takiego zbioru generatorów A0 nazywany jest wolnym generatorem algebry A.
Gdy algebra A jest wolna w klasie wszystkich algebr do niej podobnych, to
nazywamy ja̧ absolutnie wolna̧.
Oczywiście, gdy A jest wolna w klasie K, to dla dowolnej B ∈ K, zgodnie z Tw.3.6, ów homomorfizm h ∈ Hom(A, B), o którym mowa w definicji,
bȩda̧c rozszerzeniem funkcji v określonej na zbiorze wolnych generatorów, jest
dokladnie jeden.
§2. Relacje kongruencji
Definicja. Dla danej algebry A = (A, o1 , . . . , om ) dowolna̧ relacjȩ równoważności ≈ na zbiorze A (tzn. binarna̧ relacjȩ ≈ ⊆ A × A spelniaja̧ca̧ warunki
zwrotności, symetrii i przechodniości, czyli odpowiednio, dla dowolnych a, b, c ∈
A, a ≈ a, a ≈ b ⇒ b ≈ a, (a ≈ b i b ≈ c) ⇒ a ≈ c) nazywamy relacja̧
kongruencji algebry A, gdy dla każdego i ∈ {1, . . . , m} takiego, że τ (oi ) ≥ 1
oraz dowolnych a1 , . . . , aτ (oi ) , b1 , . . . , bτ (oi ) ∈ A,
(∀j ∈ {1, . . . , τ (oi )}, aj ≈ bj ) ⇒ oi (a1 , . . . , aτ (oi ) ) ≈ oi (b1 , . . . , bτ (oi ) ).
Twierdzenie 3.7: Niech Cong(A) bȩdzie rodzina̧ wszystkich relacji kongruencji
algebry A. Zbiór cz. up. < Cong(A), ⊆> jest krata̧ zupelna̧.
Dowód: Rozważmy
dowolny niepusty C ⊆ T
Cong(A). Wówczas bardzo
T
T latwo
wykazać, że C ∈ Cong(A), co oznacza, że C = inf C (bo ∀θ ∈ C :
CT⊆ θ
oraz dla dowolnej relacji ≈ ∈ Cong(A), jeśli ∀θ ∈ C : ≈ ⊆ θ, to ≈ ⊆ C).
Ponadto, zbiór cz. up. < Cong(A), ⊆> posiada element najwiȩkszy: A × A.
Zatem zgodnie z Tw.1.11(1): inf ∅ = A × A. Ostatecznie, na mocy Tw.1.14,
< Cong(A), ⊆> jest krata̧ zupelna̧. 2
S
W ogólności nie jest tak, że dla dowolnego
S C ⊆ Cong(A), supC = C. Już
w przypadku C = ∅, oczywiście supC =
6
C, bo sup∅ = idA 6= ∅, gdzie idA
jest relacja̧ identycznościowa̧ na zbiorze
A
(id
A jest elementem najmniejszym
S
w < Cong(A), ⊆>);
tymczasem
∅
=
∅.
Lecz
również w przypadku
C 6= ∅,
S
S
na ogól sup C 6= C, ponieważ
nie
dla
każdego
C
⊆
Cong(A),
C
jest
relacja̧
S
równoważności, skoro C na ogól nie jest relacja̧ przechodnia̧. Wykażemy,
że
S
supC, gdy C =
6 ∅, jest tranzytywnym domkniȩciem relacji binarnej C, tzn.
supC = ρ, gdzie relacja ρ jest określona nastȩpuja̧co:
dla dowolnych x, y ∈ A, < x, y > ∈ ρ wtw dla pewnego n ≥ 2 istnieja̧
z1 , z2 , . . . , zn ∈ A oraz θ1 , θ2 , , θn−1 ∈ C (niekoniecznie różne) takie, że x = z1 ,
<z1 , z2> ∈ θ1 , <z2 , z3> ∈ θ2 , . . . , <zn−1 , zn> ∈ θn−1 , zn = y.
§2. Relacje kongruencji
5
Wykazujemy najpierw, że relacja ρ jest kongruencja̧ algebry A. Naturalnie
dla dowolnego x ∈ A : < x, x > ∈ ρ, bo < x, x > ∈ θ (n = 2) dla jakiejkolwiek
θ ∈ C. Zatem ρ jest zwrotna. Aby wykazać jej symetriȩ zalóżmy, że < x, y > ∈ ρ,
tzn., < x, z2 > ∈ θ1 , < z2 , z3 > ∈ θ2 , . . . , < zn−1 , y > ∈ θn−1 dla pewnego
n ≥ 2, dla pewnych z2 , z3 , . . . , zn−1 ∈ A oraz θ1 , θ2 , . . . , θn−1 ∈ C. Wówczas
naturalnie, na podstawie symetrii każdej z relacji: θ1 , θ2 , . . . , θn−1 , zachodzi:
< y, zn−1 > ∈ θn−1 , . . . , < z3 , z2 > ∈ θ2 , < z2 , x > ∈ θ1 , zatem < y, x > ∈ ρ.
W celu wykazania przechodniości zalóżmy, że < x, y >, < y, z > ∈ ρ. Zatem
dla pewnych n ≥ 2, a2 , a3 , . . . , an−1 ∈ A oraz θ1 , θ2 , . . . , θn−1 ∈ C zachodzi:
< x, a2 > ∈ θ1 , < a2 , a3 > ∈ θ2 , . . . , < an−1 , y > ∈ θn−1 , oraz dla pewnych
m ≥ 2, b2 , b3 , . . . , bm−1 ∈ A, η1 , η2 , . . . , ηm−1 ∈ C zachodzi: < y, b2 > ∈ η1 ,
< b2 , b3 > ∈ η2 , . . . , < bm−1 , z > ∈ ηm−1 . Zatem < x, z > ∈ ρ. Niech teraz
o bȩdzie n-argumentowa̧ (n ≥ 1) operacja̧ algebry A. Aby wykazać, że relacja
równoważności ρ jest kongruencja̧ zalóżmy, że ∀i ∈ {1, . . . , n} : < xi , yi > ∈ ρ.
Zatem dla każdego i ∈ {1, . . . , n} mamy: < xi , a2i > ∈ θi1 , < a2i , a3i > ∈ θi2 , . . . ,
i −1
i −1
< am
, yi > ∈ θimi −1 , dla pewnych a2i , a3i , . . . , am
∈ A oraz θi1 , θi2 , . . . , θimi −1
i
i
∈ C. W ten sposób cia̧g:
< o(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), o(a21 , x2 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ11 ,
< o(a21 , x2 , x3 , . . . , xn ), o(a31 , x2 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ12 , . . . ,
1 −1
< o(am
, x2 , x3 , . . . , xn ), o(y1 , x2 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ1m1 −1 ,
1
< o(y1 , x2 , x3 , . . . , xn ), o(y1 , a22 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ21 ,
< o(y1 , a22 , x3 , . . . , xn ), o(y1 , a32 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ22 , . . . ,
2 −1
< o(y1 , am
, x3 , . . . , xn ), o(y1 , y2 , x3 , . . . , xn ) > ∈ θ2m2 −1 , . . . ,
2
< o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , xn ), o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , a2n ) > ∈ θn1 ,
< o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , a2n ), o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , a3n ) > ∈ θn2 , . . . ,
< o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , anmn −1 ), o(y1 , y2 , . . . , yn−1 , yn ) > ∈ θnmn −1 ,
świadczy o tym, iż < o(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), o(y1 , y2 , y3 , . . . , yn ) > ∈ ρ, zatem
ρ ∈ Cong(A). Ponadto, kongruencja ρ jest ograniczeniem górnym zbioru C:
gdy dla x, y ∈ A jest: < x, y > ∈ θ, dla dowolnie wybranej θ ∈ C, to mamy:
n = 2, z1 = x, z2 = y, θ1 = θ takie, że < z1 , z2 > ∈ θ1 , zatem < x, y >
∈ ρ. Niech teraz ≈ ∈ Cong(A) bȩdzie ograniczeniem górnym zbioru C, tzn.,
∀θ ∈ C, θ ⊆ ≈. Zalóżmy, że < x, y >∈ ρ. Wówczas mamy cia̧g: < x, z2 > ∈
θ1 , < z2 , z3 > ∈ θ2 , . . . , < zn−1 , y > ∈ θn−1 dla pewnych z2 , z3 , . . . , zn−1 ∈ A oraz
θ1 , θ2 , . . . , θn−1 ∈ C. Dlatego: < x, z2 > ∈ ≈, < z2 , z3 > ∈ ≈, . . . , < zn−1 , y > ∈ ≈,
co na mocy przechodniości relacji ≈ implikuje: < x, y > ∈ ≈. Ostatecznie, ρ ⊆ ≈,
co dowodzi, że ρ = supC.
§2. Relacje kongruencji
6
W przypadku, gdy dana relacja równoważności ≈ na zbiorze A jest relacja̧
kongruencji algebry (A, o1 , . . . , om ), zbiór ilorazowy A/≈ = {[a]≈ : a ∈ A} (gdzie
dla dowolnego a ∈ A, klasa abstrakcji elementu a wzglȩdem ≈ jest postaci:
[a]≈ = {x ∈ A : a ≈ x}), wyposaża siȩ w nastȩpuja̧ce operacje o∗i , i = 1, . . . , m,
uzyskuja̧c algebrȩ podobna̧ do (A, o1 , . . . , om ): dla dowolnych a1 , . . . , aτ (oi ) ∈ A,
gdy τ (oi ) ≥ 1,
o∗i ([a1 ]≈ , . . . , [aτ (oi ) ]≈ ) = [oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )]≈ ,
oraz gdy τ (oi ) = 0, o∗i = [oi ]≈ .
Jeśli [aj ]≈ = [bj ]≈ dla j = 1, . . . , τ (oi ), to wówczas aj ≈ bj , j = 1, . . . , τ (oi ), zatem oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )
≈
oi (b1 , . . . , bτ (oi ) ), czyli [oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )]≈
= [oi (b1 , . . . , bτ (oi ) )]≈ , co oznacza, iż rzeczywiście powyżej zdefiniowano funkcjȩ
o∗i .
Definicja. Algebra A/ ≈ = (A/ ≈, o∗1 , . . . , o∗m ) jest zwana algebra̧ ilorazowa̧
algebry A wzglȩdem relacji kongruencji ≈.
Twierdzenie 3.8: Algebra ilorazowa danej algebry wzglȩdem relacji kongruencji ≈ jest homomorficznym obrazem owej danej algebry wedlug homomorfizmu
k≈ określonego nastȩpuja̧co: ∀a ∈ A, k≈ (a) = [a]≈ .
Dowód: Rzeczywiście tak określona funkcja k≈ : A −→ A/ ≈ jest homomorfizmem: k≈ (oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )) = [oi (a1 , . . . , aτ (oi ) )]≈ = o∗i ([a1 ]≈ , . . . , [aτ (oi ) ]≈ ) =
→
o∗i (k≈ (a1 ), . . . , k≈ (aτ (oi ) )). Jest oczywiste, że A/≈ = h (A). 2
Homomorfizm, o którym mowa w Tw.3.8 nazywa siȩ zwykle kanonicznym
lub naturalnym.
W ogólności, każda algebra bȩda̧ca homomorficznym obrazem algebry A,
może być utożsamiona z pewna̧ algebra̧ ilorazowa̧ algebry A jako, że jest z nia̧
izomorficzna, jak glosi:
Twierdzenie o homomorfiźmie. Niech h ∈ Hom(A, B) bȩdzie epimorfizmem. Wówczas relacja równoważności ≈ określona na zbiorze A przez homomorfizm h : a ≈ b wtw h(a) = h(b), jest relacja̧ kongruencji algebry A oraz funkcja Φ : A/ ≈ −→ B określona nastȩpuja̧co: dla dowolnego
a ∈ A, Φ([a]≈ ) = h(a), jest izomorfizmem algebr A/≈, B. Ponadto, k≈ ◦ Φ = h.
Dowód: Jest oczywiste, że relacja ≈ zdefiniowana w twierdzeniu, jest równoważnościowa. Aby wykazać, że jest ona kongruencja̧ algebry A, zalóżmy, że
o, o0 sa̧ odpowiadaja̧cymi sobie n-argumentowymi operacjami odpowiednio w
algebrach A, B oraz ai ≈ bi , ai , bi ∈ A, i = 1, . . . , n. Zatem, h(ai ) = h(bi ), i =
1, . . . , n, czyli h(o(a1 , . . . , an )) = o0 (h(a1 ), . . . , h(an )) = o0 (h(b1 ), . . . , h(bn )) =
h(o(b1 , . . . , bn )), co oznacza, że o(a1 , . . . , an ) ≈ o(b1 , . . . , bn ).
Wykażmy teraz, że Φ jest rzeczywiście funkcja̧: jeśli dla jakichś a, b ∈
A, [a]≈ = [b]≈ , to a ≈ b, zatem h(a) = h(b), czyli Φ([a]≈ ) = Φ([b]≈ ).
Φ jest różnowartościowa: gdy Φ([a]≈ ) = Φ([b]≈ ), to z określenia funkcji Φ
§2. Relacje kongruencji
7
mamy: h(a) = h(b), zatem a ≈ b, czyli [a]≈ = [b]≈ . Naturalnie Φ przeksztalca
zbiór A/≈ na zbiór B: dla b ∈ B istnieje a ∈ A taki, że b = h(a), bo z zalożenia
h jest epimorfizmem; zatem b = Φ([a]≈ ).
Wreszcie, Φ zachowuje operacje algebry ilorazowej: niech o∗ bȩdzie n-argumentowa̧ operacja̧ w A/≈ odpowiadaja̧ca̧ operacji o w algebrze A oraz operacji
o0 w B. Wówczas dla dowolnych a1 , . . . , an ∈ A : Φ(o∗ ([a1 ]≈ , . . . , [an ]≈ )) =
Φ([o(a1 , . . . , an )]≈ ) = h(o(a1 , . . . , an )) = o0 (h(a1 ), . . . , h(an )) = o0 (Φ([a1 ]≈ ), . . . ,
Φ([an ]≈ )).
Równość: k≈ ◦ Φ = h jest oczywista. 2