egzamin maturalny z matematyki
Transkrypt
egzamin maturalny z matematyki
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĉCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkĊ MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1 – 12). Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin. 2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy przekreĞl. 6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie. 7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie. 8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL. Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla egzaminatora. Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ moĪna otrzymaü áącznie 50 punktów ĩyczymy powodzenia! Wypeánia zdający przed rozpoczĊciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 2 Zadanie 1. (4 pkt) Na poniĪszym rysunku przedstawiono áamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y f x . y D C 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 –2 –3 B A –4 Korzystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziaáu zbiór wartoĞci funkcji f , b) podaj wartoĞü funkcji f dla argumentu x 1 10 , c) wyznacz równanie prostej BC , d) oblicz dáugoĞü odcinka BC . a) Zbiór wartoĞci funkcji f odczytujĊ z wykresu. Jest nim przedziaá 4, 3 . b) ZauwaĪam, Īe 3 1 10 2 . Z wykresu odczytujĊ, Īe w przedziale 3, 2 funkcja f jest staáa i dla kaĪdego argumentu z tego przedziaáu przyjmuje wartoĞü 4 , zatem wartoĞcią funkcji f dla argumentu x 1 10 jest 4 , co moĪna zapisaü f 1 10 4 . c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C 2,3 : y 3 stąd y 4 3 x 2 2 2 7 1 x . 4 2 Obliczam dáugoĞü odcinka BC: BC 2 2 3 4 2 2 65 . 2, 4 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 3 Zadanie 2. (4 pkt) Liczba przekątnych wielokąta wypukáego, w którym jest n boków i n t 3 wyraĪa siĊ wzorem n n 3 P n . 2 Wykorzystując ten wzór: a) oblicz liczbĊ przekątnych w dwudziestokącie wypukáym. b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukáy, w którym liczba przekątnych jest piĊü razy wiĊksza od liczby boków. c) sprawdĨ, czy jest prawdziwe nastĊpujące stwierdzenie: KaĪdy wielokąt wypukáy o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbĊ przekątnych. OdpowiedĨ uzasadnij. a) Do podanego wzoru podstawiam n 20 i otrzymujĊ P 20 W dwudziestokącie wypukáym jest 170 przekątnych. b) ZapisujĊ równanie uwzglĊdniające treĞü tego podpunktu: 20 17 170 . 2 n n 3 2 5n . Jest ono równowaĪne równaniu kwadratowemu n 2 13n 0 , którego rozwiązaniem są liczby n 0 lub n 13 . Biorąc pod uwagĊ zaáoĪenie, Īe n t 3 formuáujĊ odpowiedĨ: Wielokątem wypukáym, który ma 5 razy wiĊcej przekątnych niĪ boków jest trzynastokąt. 9 przekątnych, czyli P 6 9 . c) PowyĪsze stwierdzenie nie jest prawdziwe, poniewaĪ szeĞciokąt wypukáy ma Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 4 RozwiąĪ równanie 423 x 329 x 164 44 . Zadanie 3. (4 pkt) 4 Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą caákowitą. Wszystkie liczby wystĊpujące w równaniu zapisujĊ w postaci potĊgi o podstawie 2: 246 x 245 x 216 232 Po lewej stronie równania wyáączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonujĊ mnoĪenie: 245 x 2 1 248 245 x 248 dzielĊ obie strony równania przez 245 i otrzymujĊ: x 248 : 245 23 Rozwiązaniem równania jest liczba 23 . Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 5 Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosiá dwukrotnie w jednym tygodniu cenĊ benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyĪkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zá. Oblicz cenĊ jednego litra benzyny przed omawianymi podwyĪkami. Oznaczam literą x cenĊ jednego litra benzyny przed podwyĪkami; 1,1x –cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyĪce; 1,05 1,1x – cena jednego litra benzyny po obu podwyĪkach. ZapisujĊ równanie: 1,05 1,1x 4,62 1,155 x 4,62 Rozwiązaniem równania jest x 4 ; Cena jednego litra benzyny przed podwyĪkami byáa równa 4 zá. Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 6 NieskoĔczony ciąg liczbowy an jest okreĞlony wzorem an Zadanie 5. (5 pkt) a) Oblicz, ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 1,975. 2 1 , n 1, 2, 3,... . n b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg a2 , a7 , x jest arytmetyczny. Oblicz x. a) RozwiązujĊ nierównoĞü 2 1 1,975 . n Przeksztaácam ją do postaci równowaĪnej zapisujĊ w postaci 1 ! 0,025 . NierównoĞü tĊ n 1 1 ! . Jest ona speániona gdy: n 40 . n 40 PoniewaĪ n jest liczbą naturalną, wiĊc odpowiedĨ jest nastĊpująca: 39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975. b) Korzystam ze związku miĊdzy sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym i zapisujĊ równanie: a2 x 2 a7 , czyli x 2a7 a2 . Obliczam potrzebne wyrazy: a2 3 , a7 2 13 . 7 Wstawiam obliczone wartoĞci do równania i otrzymujĊ x 2 13 3 7 2 OdpowiedĨ: Trzywyrazowy ciąg a2 , a7 , x jest arytmetyczny dla x 31 . 14 31 . 14 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 7 Prosta o równaniu 5 x 4 y 10 0 przecina oĞ Ox ukáadu wspóárzĊdnych w punkcie A oraz oĞ Oy w punkcie B . Oblicz wspóárzĊdne wszystkich punktów C leĪących na osi Ox i takich, Īe trójkąt ABC ma pole równe 35 . Zadanie 6. (5 pkt) Wyznaczam wspóárzĊdne punktów A i B: A 2,0 § 5· oraz B ¨ 0, ¸ . © 2¹ y B C O A C x Punkt C moĪe leĪeü z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmując, Īe w obu przypadkach wysokoĞcią trójkąta ABC jest odcinek BO, którego dáugoĞü jest równa 5 i korzystając z faktu, Īe pole trójkąta ABC równa siĊ 35 zapisujĊ 2 równanie: 1 AC BO 2 1 5 AC 2 2 AC PoniewaĪ punkt A 35 35 28 . 2, 0 , wiĊc C 30,0 lub C 26,0 . Zadanie ma zatem dwa rozwiązania. Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 8 Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trapez, w którym podstawy mają dáugoĞü 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dáuĪszą podstawą kąty o miarach 30q i 45q . Oblicz wysokoĞü tego trapezu. C D 45q AED E jest ( )DAE )EDA 30q . . A Trójkąt h h B F trójkątem 45q ), wiĊc AE prostokątnym ED i równoramiennym h. Korzystam z wáasnoĞci trójkąta prostokątnego BFC i zapisujĊ zaleĪnoĞü miĊdzy przyprostokątnymi EF DC tg30q , stąd FB CF 3 , FB h 3. 4 , wiĊc otrzymujĊ równanie: AE 4 FB otrzymujĊ: CF FB 10 , z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkoĞci h 4 h 3 10 . Obliczam wysokoĞü trapezu: hh 3 h 1 3 h 6 6 6 3 3 1 3 1 . OdpowiedĨ: WysokoĞü trapezu jest równa 3 3 1 cm. Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Dany jest wielomian W x Zadanie 8. (4 pkt) x 3 5 x 2 9 x 45 . a) SprawdĨ, czy punkt A 1, 30 naleĪy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. a) Obliczam W 1 : W 1 13 5 12 9 1 45 32 W 1 z 30 Otrzymany wynik oznacza, Īe punkt A nie naleĪy do wykresu wielomianu W. b) Rozkáadam wielomian na czynniki: W x x3 5 x 2 9 x 45 x3 9 x 5 x 2 45 x x2 9 5 x2 9 x 2 9 x 5 x 3 x 3 x 5 . OdpowiedĨ: W x x 3 x 3 x 5 . 9 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 10 Zadanie 9. (5 pkt) Oblicz najmniejszą i najwiĊkszą wartoĞü funkcji kwadratowej w przedziale 2, 2 . f x 2 x 1 x 2 ZapisujĊ wzór funkcji w postaci ogólnej f x 2 x 2 3 x 2 . Wyznaczam odciĊtą wierzchoáka paraboli: xw b 2a 3 . 4 Pierwsza wspóárzĊdna wierzchoáka paraboli naleĪy do przedziaáu 2, 2 , wiĊc najmniejszą wartoĞcią funkcji f w tym przedziale jest druga wspóárzĊdna wierzchoáka: yw ' 4a 25 . 8 Obliczam wartoĞci funkcji na koĔcach przedziaáu: f 2 12 , f 2 0 . NajwiĊkszą wartoĞcią funkcji f w podanym przedziale jest f 2 12 . OdpowiedĨ: Najmniejszą wartoĞcią funkcji w podanym przedziale jest yw 25 , a najwiĊkszą f 2 12 . 8 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 10. (3 pkt) 11 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , okreĞlonej wzorem h x Wiadomo, Īe do wykresu funkcji h naleĪy punkt P 2,5 . a) Oblicz wartoĞü wspóáczynnika a . b) Ustal, czy liczba h S h S jest dodatnia czy ujemna. a dla x z 0 . x c) RozwiąĪ nierównoĞü h x ! 5 . y P 2,5 1 x 1 a) Korzystam z faktu, Īe punkt P i wyznaczam wspóáczynnik a: 5 2,5 naleĪy do wykresu funkcji h a stąd a=10. 2 Funkcja h jest dana wzorem: h x 10 . x b) Z wykresu odczytujĊ, Īe h S 0 , natomiast h S ! 0 . Stąd wynika, Īe h S h S jest liczbą dodatnią. Z informacji podanej w zadaniu wiem, Īe wykres funkcji h przechodzi przez punkt P 2,5 . OdczytujĊ rozwiązanie nierównoĞci h x ! 5 przedziaá 0,2 . z wykresu: jest to Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 12 Zadanie 11. (5 pkt) a 2 15 , gdzie 4 a oznacza dáugoĞü krawĊdzi podstawy tego ostrosáupa. Zaznacz na poniĪszym rysunku kąt nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny jego podstawy. MiarĊ tego kąta oznacz symbolem E . Oblicz cos E i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliĪoną wartoĞü E z dokáadnoĞcią do 1q . Pole powierzchni bocznej ostrosáupa prawidáowego trójkątnego równa siĊ S h C E O A D x a B Na rysunku zaznaczam kąt nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny podstawy – E (punkt D jest Ğrodkiem odcinka BC). Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 13 Wprowadzam oznaczenie: h – wysokoĞü Ğciany bocznej. ZapisujĊ równanie opisujące pole powierzchni bocznej ostrosáupa: 1 3 a h 2 h a 2 15 , z którego wyznaczam wysokoĞü Ğciany bocznej ostrosáupa 4 a 15 . 6 Z trójkąta prostokątnego SOD, w którym x OD a 3 – dáugoĞü promienia 6 okrĊgu wpisanego w podstawĊ ostrosáupa otrzymujĊ: cos E cos E x h a 3 6 a 15 6 x . h 5 | 0,4472 . 5 Z tablicy wartoĞci funkcji trygonometrycznych odczytujĊ miarĊ kąta: E 63D . Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 14 Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną szeĞcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieĔstwo kaĪdego z nastĊpujących zdarzeĔ: a) A – w kaĪdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek. b) B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą wiĊkszą od 9. c) C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i wiĊkszą od 9. : dla tego doĞwiadczenia jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par, których wyrazy mogą siĊ powtarzaü i kaĪdy z tych wyrazów moĪe byü jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6. MoĪna ten zbiór opisaü w tabelce: 1 : 62 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 36 . ^ 1,1 , 1,31,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5` . Zdarzeniu A sprzyja 9 zdarzeĔ elementarnych: Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia A: P A 9 36 1 . 4 Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeĔ elementarnych. àatwo je wypisaü: ^ 6,6 , 6,5 , 6,4 , 5,6 , 5,5 , 4,6 ` . Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia B: P B 6 36 1 . 6 Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia C: P C 2 36 1 . 18 Zdarzeniu C sprzyjają dwa zdarzenia elementarne: ^ 6,5 , 5,6 ` Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 15