Zadania z przedmiotu Geometria i topologia, III semestr seria 7 1

Zadania z przedmiotu
Geometria i topologia, III semestr
seria 7
1. Które z nastepuj
acych
podzbiorów plaszczyzny zespolonej C sa, lukowo spójne:
,
,
(1) {z | |z| =
6 1},
(2) {z | |z| > 1},
(3) {z | z 2 ∈ R}.
2. Niech W, X bed
, a, przestzreniami metrycznymi, przy czym W = A ∪ B, gdzie A i B sa,
otwartumi podzbiorami w W . Niech f : A → X, g : B → X bed
, lymi
, a, odwzorowaniami ciag
takimi, że f (x) = g(x) dla x ∈ A ∩ B. Wykazać, że odwzorowanie h : W → X dane wzorem
f (x), dla x ∈ A;
h(x) =
g(x), dla x ∈ B.
jest ciag
, le.
2
3. Niech A i B bed
, a, podzbiorami w R postaci:
A = {(x, y) | x = 0, −1 6 y 6 1} ,
B = {(x, y) | 0 < x 6 1, y = cos π/x} .
Wykazać, że podzbiór X = A ∪ B jest spójny, lecz nie jest lukowo spójny.
2
4. Niech A i B bed
, a, podzbiorami w R postaci:
A = {(x, y) | 1/2 6 x 6 1, y = 0} ,
B = {(x, y) | 0 6 x 6 1, y = x/n, n ∈ N} .
Wykazać, że podzbiór X = A ∪ B jest spójny, lecz nie jest lukowo spójny.
Definicja: Przestrzeń X nazywa sie, lokalnie lukowo spójna,
, jeśli każdy punkt x ∈ X i dowolne
jego otwarte otoczenie U zawiera otwarte lukowo spójne otocznie Ux punktu x.
5. Wykazać, że jeśli X jest przestrzenia, lokalnie lukowo spójna, i U ⊆ X jest otwarty, to U jest
podprzestrzenia, lokalnie lukowo spójna.,
6. Wykazać, że Rn jest przestrzenia, lokalnie lukowo spójna.,
7. Wykazać, że jeśli X jest przestrzenia, spójna, i przestrzenia, lokalnie lukowo spójna,, to X jest
przestrzenia, lukowo spójna.,
2
8. Niech A, B i C bed
, a, podzbiorami w R postaci:
A = (x, y) | x2 + y 2 = 1, y > 0 ,
B = {(x, y) | −1 6 x 6 0, y = 0} ,
C = {(x, y) | 0 < x 6 1, y = (1/2) sin π/x} .
Wykazać, że zbiór X = A ∪ B ∪ C jest lukowo spójny, lecz nie jest lokalnie lukowo spójny.
9. Niech Y = X ∪ D, gdzie X jest zbiorem z poprzedniego zadania (zad. 8), zaś D jest okregiem
,
(x − 1)2 + y 2 = 1. Wykazać, że Y jest lukowo spójny, lecz nie jest lokalnie lukowo spójny.