Listy zadań do ćwiczeń rachunkowych

Uwaga: począwszy od listy nr 2, numery zadań do rozwiązywania w pierwszej kolejności
są oznaczone wytłuszczeniem i podkreśleniem
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 1 – Wielkości fizyczne



1.1 Dane są wektory: A  5,2,7  , B  2,4,1 i C  2,8,3 . Obliczyć: (a) długości tych
 
 
  
  
     
wektorów; (b) A  B ; (c) C  B ; (d) C  B  C ; (e) B A  C  C A  B ; (f) A  B  C ;
  
  
(g) B  C  A ; (h) C  A  B . Co można powiedzieć o wynikach ostatnich trzech
punktów? Co one wyznaczają?

1.2 Znaleźć wektor jednostkowy n̂ prostopadły do dwóch wektorów A  (2,1,1) i

B  (1,2,1) .
 


 
1.3 Wykazać, że wektor A jest prostopadły do wektora B , jeśli A  B  A  B .


 

1.4 Siła F  3  i  j  5  k działa na punkt r1  7;3;1 . Obliczyć: (a) moment siły względem

początku układu współrzędnych; (b) moment siły względem punktu r2  0;10;0 .


1.5 Dwie cząstki poruszają się wzdłuż osi OX i OY odpowiednio z prędkościami v1  2  i i


v2  3  j [m/s]. W chwili t  0 znajdują się one w punktach o współrzędnych x1  3 ,
 
y1  0 , x2  0 , y2  3 [m]. Znaleźć wektor r1  r2 , który określi położenie drugiej
cząstki względem pierwszej w funkcji czasu. Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbliżej
siebie?
1.6 Cząstka porusza się po linii prostej, przy czym zależność jej położenia od czasu określa
równanie: xt   6t  0,125t 3 [m] . Znaleźć prędkość po drugiej i szóstej sekundzie oraz
średnią wartość prędkości tej cząstki pomiędzy drugą a szóstą sekundą trwania ruchu.
1.7 (a) Dwa punkty leżące na płaszczyźnie maja współrzędne kartezjańskie: 2,4 ,  3,3 .
Wyznaczyć ich współrzędne biegunowe. (b) Współrzędne biegunowe punktu na
płaszczyźnie są równe r  5,5m i   240 . Obliczyć jego współrzędne kartezjańskie; (c)
Jeśli współrzędne biegunowe punktu x, y  są równe r ,   , to ile wynoszą współrzędne
biegunowe punktów:  x, y  ,  2 x,2 y  , 3x,3 y  ?
1.8 Samolot leci od miasta A 200 km na wschód do miasta B, a następnie pod kątem 30◦ do
kierunku wschód – zachód przelatuje jeszcze 300 km do miasta C. Jaka jest odległość w
linii prostej pomiędzy A i C? W jakim kierunku względem A jest położone miasto C?
1.9 Pewna osoba przespacerowała się po półokręgu o promieniu R = 20m. Wyznaczyć wektor
przesunięcia tej osoby oraz jego długość. Określić długość przebytej drogi. Obliczyć
wektor przesunięcia w przypadku, gdy spacerowicz obejdzie cały okrąg.
1.10 Chłopiec przebiegł 30m na północ, 40m w kierunku północno – wschodnim oraz 50m na
zachód. Wyznaczyć długość i kierunek wektora przesunięcia w tym ruchu.



1.11 Trzy wektory są zorientowane jak na rysunku, gdzie A  20m , B  40m , C  30m .







 

Wyznaczyć składowe oraz długość, kierunek i zwrot wektora wypadkowego.
1




1.12 Wektory A i B są zaczepione w początku układu odniesienia i mają współrzędne
 
biegunowe równe odpowiednio r1 , 1  i r2 ,  2  . Obliczyć A  B (iloczyn skalarny).


1.13 Obliczyć kąty między wektorami: (a) A  3iˆ  2 ˆj  3,2 i B  4iˆ  4 ˆj  4,4; (b)


A  3iˆ  ˆj  2kˆ  3,1,2 i B  iˆ  2 ˆj  3kˆ  1,2,3 .
1.14 Jeśli |A×B| = A· B, to jaki kąt tworzą wektory A i B?
1.15 Pewien student twierdzi, że znalazł wektor A taki, że (2i − 3j + 4k)×A = (4i + 3j − k).
Czy można mu wierzyć?
1.16 Punkt A jest dowolnym punktem linii łączącej dwa leżące na płaszczyźnie punkty o
współrzędnych: (x1, y1), (x2, y2). Pokazać, że współrzędne A są równe ((1 − f)x1 + fx2, (1
− f)y1 + fy2).
1.17 Widok z lotu ptaka dwóch osiłków ciągnących zwierzę i działających na nie wskazanymi
siłami jest przedstawiony na rysunku. Z jaką wypadkową siłą działają oni na zwierzę?
1.18* Wyznacz gradient funkcji
B
.
f  x, y , z  
x3  y 2  z
f x, y, z  dla: (a)


f x, y, z   A  x  y 2  z 3 ; (b)

1.19* Wyznacz dywergencję wektora A , którego współrzędne są następującymi funkcjami:


(a) A  xy, xyz, z y  ; (b) A  x 2  y 2 , x3  z 2 , z 3 2 .

1.20* Wyznaczyć rotację wektora A , którego współrzędne są następującymi funkcjami: (a)


A  xy  zy, xz  z 2  y, y  x 2 ; (b) A  x3  y 3 , x 2 y  z 3 x, y .






2
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 2 – Kinematyka punktu materialnego
2.1 Od rakiety, która unosi się pionowo do góry, w momencie, gdy ma ona prędkość
v0  20m / s , oderwał się na wysokości h  100m jeden z niepotrzebnych już zbiorników
paliwa. Znaleźć czas, po którym zbiornik ten opadnie na Ziemię, oraz jego prędkość w
chwili upadku.
2.2 Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY, a jego ruch opisują równania: xt   at ,
yt   bt  ct 2 , gdzie a, b, c są wielkościami stałymi. Znaleźć prędkość i przyśpieszenie
punktu oraz kąt pomiędzy wektorami prędkości i przyśpieszenia w chwili t1 .
2.3 Między dwoma punktami położonymi na rzece w odległości L  100km kursuje kuter.
Kuter przebywa tę odległość z prądem rzeki w czasie t1  4h , a przeciw prądowi w ciągu
t 2  10h . Wyznaczyć prędkość nurtu rzeki vR i prędkość kutra względem wody vK .
2.4 Rybak płynie łódką w górę rzeki. Przejeżdżając pod mostem gubi zapasowe wiosło, które
wpada do wody. Po godzinie rybak zauważył brak wiosła i zawrócił po nie, doganiając je
6km poniżej mostu. Jaka jest prędkość rzeki, jeśli rybak poruszając się w dół i w górę rzeki
wiosłuje jednakowo?
2.5 Od jadącego wagonu pociągu odczepił się ostatni wagon. Pociąg nadal jedzie z tą samą
prędkością. Jaka jest względna droga przebyta przez pociąg i wagon do chwili zatrzymania
się wagonu? Zakładamy, że wagon porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym.
2.6 Bombowiec nurkuje po prostej, pod kątem   60 do poziomu, z prędkością
v0  200m / s . Jeżeli pilot chce zrzucić bombę na wysokości H  300m i trafić dokładnie
w cel, to w jakiej odległości od celu powinien on to zrobić? Nie uwzględniać oporu
powietrza.
2.7 Ciało spada swobodnie z wysokości h  10m . W tej samej chwili drugie ciało rzucono z
wysokości H  20m pionowo w dół z pewną prędkością początkową v0 . Wyznaczyć tę
prędkość, jeśli oba ciała spadły na ziemię jednocześnie.
2.8 W chwili, gdy zapala się zielone światło, samochód osobowy rusza z miejsca ze stałym
przyspieszeniem równym 2,2m / s 2 .W tej samej chwili wyprzedza go ciężarówka, jadąca
ze stałą prędkością 9,5m / s . W jakiej odległości od sygnalizatora samochód osobowy
dogoni ciężarówkę? Ile wynosić będzie wówczas jego prędkość?
2.9 Ciało rzucono pionowo w dół z pewnej wysokości H , nadając mu prędkość początkową
v0  5m / s . Ciało uderzyło o ziemię z prędkością v0  35m / s . Z jakiej wysokości H
zostało rzucone? Ile sekund trwał ruch ciała? Jaką prędkość miało w chwili, gdy przebyło
drogę H / 6 ?
2.10 Dwa autobusy wyruszyły jednocześnie z punktu A do punktu B. Jeden z nich pierwszą
połowę drogi przebył ze stałą prędkością v1 , a drugą połowę drogi – ze stałą prędkością
v 2 . Drugi autobus poruszał się z prędkością v1 przez połowę czasu jazdy na drodze od A
do B, a drugą połowę czasu z prędkością v2 . Wyznaczyć średnią prędkość ruchu każdego
autobusu, jeżeli v1  30 km h i v2  50 km h .
2.11 Punkt materialny porusza sie wzdłuż osi x zgodnie z równaniem: xt   at  bt 2 gdzie
a, b są stałymi. Znaleźć prędkość w chwili t  t1 oraz średnią prędkość od momentu startu
t  0 do t  t1 .
3
2.12 Cząstka porusza sie ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a  4m / s 2 , następnie ruchem jednostajnym, a na koniec spowalniając z
tym samym opóźnieniem a . Cząstka zatrzymuje się po czasie T  20sek . Średnia
prędkość w tym czasie wynosi vsr  15m / s . Jak długo cząstka poruszała sie jednostajnie,
jeśli jej prędkość początkowa była równa zero?
2.13 Szyszka spadająca swobodnie z czubka sosny podczas ostatniej sekundy ruchu przebyła
połowę wysokości drzewa. Jak długo i z jakiej wysokości spadała szyszka?
2.14 Wiewiórka spada z drzewa. Gdy przebyła ona drogę d  2m , z drzewa zaczyna spadać
student, który zdołał wspiąć się na odległość h  18m od wierzchołka. Wiewiórka i student
spadają na ziemię w tej samej chwili. Oblicz wysokość drzewa.
2.15 Blisko powierzchni Ziemi rzucono poziomo ciało z prędkością v0 . Znaleźć
przyspieszenie styczne i normalne po czasie t .
2.16 Ciało rzucone pod kątem  względem powierzchni Ziemi z prędkością początkową v0
porusza się po torze parabolicznym (patrz wykład), opisanym równaniami
parametrycznymi: x(t )  v0t cos i x(t )  v0t sin  gt 2 2 . Wyznaczyć współrzędne
wektora prędkości oraz przyspieszenia styczne i normalne w dowolnej chwili czasu.
2.17* Cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi OX. Jej prędkość zależy od x i określona
jest wzorem: v( x)  ax , gdzie a – dodatni współczynnik. Wyznaczyć zależność prędkości
i przyspieszenia cząstki od czasu oraz średnią prędkość cząstki w czasie, w którym
przebędzie ona pierwszych s metrów drogi. Przyjąć x(t  0)  x0 .
2.18* Znaleźć prędkość i przyspieszenie w ruchu opisanym równaniami parametrycznymi:
x(t )  A cos(Bt 2 ) i y (t )  A sin( Bt 2 ) gdzie A i B są stałymi.. Znaleźć równanie toru
ruchu. Jaki to jest ruch?
2.19* Dwóch pływaków A i B skacze jednocześnie do rzeki, w której woda płynie ze stałą
prędkością V0. Prędkość (c > V0) każdego z płwaków względem wody jest taka sama.
Pływak A przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu. Pływak B płynie
prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu), oddala się na odległość L i
zawraca do punktu startu. Który z pływaków wróci jako pierwszy?
4
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 3 – Dynamika ruchu postępowego
3.1 Na stole przymocowano jedna za drugą masy m1  10kg , m2  20kg i m3  30kg do
masy M  60kg (rysunek lewy poniżej). Znaleźć: a) przyśpieszenie układu, b)naprężenia
wszystkich nici. Tarcie zaniedbać.
m3
m2
m1
Q
M
P
3.2 Do końca nici przerzuconej przez nieruchomy krążek przymocowano ciężar Q  20 N . Na
drugim końcu nici znajduje się krążek ruchomy, do którego zaczepiony jest ciężar
P  60N (rysunek prawy powyżej). Wyznaczyć przyspieszenie każdego ciała i naprężenie
nici. Nie uwzględniać tarcia i masy krążków.
3.3 Balon, którego całkowity ciężar wynosi P  1000kg , opada w dół z prędkością v  1m / s .
Przyjmując, że wielkość siły wyporu wynosi W  900kg wyznacz masę balastu m , jaką
należy wyrzucić z balonu, aby zaczął się on wznosić z taką samą prędkością? Załóż, że siła
oporu ośrodka jest identyczna w czasie spadania i wznoszenia balonu.
3.4 Ciało o ciężarze P  5kg za pomocą nici przerzuconej przez nieważki krążek, ciągnie po
równi pochyłej ciało o takim samym ciężarze (rys. poniżej). Wyznaczyć przyspieszenie, z
jakim poruszają się oba ciężary, jeśli równia pochyła tworzy z poziomem kąt   30 , a
współczynnik tarcia wynosi k  0,05 .
3.5 Ciało swobodnie zsuwa się z wierzchołka równi pochyłej, której kąt nachylenia do
poziomu wynosi   30 . Wyznaczyć prędkość ciała na końcu równi i czas ruchu, jeżeli
wysokość równi wynosi h  10m a współczynnik tarcia k  0,05 .
3.6 Przy jednostajnym wciąganiu ciała o ciężarze P  1000N po równi pochyłej, tworzącej
kąt   60 z pionem należy przyłożyć siłę F  600N . Z jakim przyspieszeniem będzie
zsuwało się swobodnie puszczone ciało w dół równi pochyłej?
3.7 Dwa ciała o masach m1  50g i m2  100g są związane nitka i leżą na gładkiej
powierzchni poziomej. Z jaką siłą można ciągnąć pierwsze ciało, bez przerwania nici,
jeżeli wytrzymuje ona naprężenie Fn  5 N ? Czy wynik się zmieni, jeśli siłę przyłożymy
do drugiego ciała?
5
3.8 Do ciężaru A o masie mA  7kg zawieszono na sznurze ciężar B o masie mB  5kg .
Masa sznura wynosi ms  4kg . Do ciężaru A przyłożono siłę F  240N i skierowaną do
góry. Wyznaczyć naprężenie sznura w górnym jego końcu i w środku.
3.9 Dwa ciężarki o masach 5kg i 3kg zawieszone są na końcach nici przerzuconej przez
krążek, przy czym mniejszy ciężarek znajduje się o 1m niżej od większego. Jeżeli ciężarki
puścimy swobodnie tak, że zaczną się one poruszać pod wpływem siły ciężkości, to po
jakim czasie znajdą się one na jednakowej wysokości?
3.10 Spadochroniarz po przebyciu odległości 20m jako ciało swobodnie spadające otworzył
spadochron i po upływie 3s prędkość jego zmniejszyła się dziesięciokrotnie. Wyznaczyć
naprężenie lin spadochronu podczas hamowania ruchu spadochroniarza, jeżeli ciężar jego
jest równy 600N .
3.11 Znaleźć efektywny współczynnik tarcia kół samochodu o nawierzchnię drogi, jeżeli
wiadomo, że przy szybkości samochodu v  10m / s droga hamowania wynosi s  8m .
Przyjąć, że podczas hamowania samochód poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym.
3.12* Ciało o ciężarze 100N porusza się pod wpływem zmiennej siły F t   pq  t  , gdzie
p  100N / s a q  1s . Po jakim czasie ciało to zatrzyma się, jeżeli w chwili t  0 jego
prędkość wynosiła v0  0,2m / s , a siła miała kierunek prędkości. Jaką drogę przebędzie
ciało do chwili zatrzymania się?
3.13* Na ciało o masie m  10kg działa siła hamująca ruch, proporcjonalna do prędkości:
F  bv , gdzie b  1kg / s . Prędkość początkowa ciała wynosi v0  10m / s . Znaleźć
zależność prędkości ciała od czasu. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się?
3.14* Samochód o masie m  700kg jest hamowany siłą oporu F   kv 2 , gdzie
k  0.5kg / m . Jaką drogę przebędzie samochód, zanim jego prędkość zmaleje do połowy
początkowej?
3.15* Ciało zsuwa się po równi pochyłej, tworzącej kąt  do poziomu. Współczynnik tarcia
zależy od drogi, przebytej przez ciało i wyraża się wzorem: k s   bs , gdzie b jest
dodatnim współczynnikiem. Wyznaczyć drogę przebytą przez ciało do momentu
zatrzymania się oraz maksymalna prędkość ciała na tej drodze.
6
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 4 – Nieinercjalne układy odniesienia
4.1 Mała kulka zawieszona na nici o długości L  5m zatacza okrąg o promieniu R  3m .
Jaki jest czas obiegu kulki po okręgu?
4.2 Kulkę o masie m  0,5kg zawieszono na nici do ciała A o masie M  1kg (rys. 1).
Następnie kulkę popchnięto tak, że zaczęła krążyć po okręgu o promieniu R  1m w
płaszczyźnie poziomej. Jaki jest współczynnik tarcia k , jeśli czas obiegu kulki wynosi
T  3s ?
4.3 Mała kulka stacza się po zjeżdżalni zakończonej pętlą o promieniu R  1m (rys. 2). Jaka
powinna być wysokość H zjeżdżalni, aby kulka: (a) nie odpadła od pętli; (b) odpadła na
wysokości h  1,5R ?
4.4 Jaki promień okręgu może zakreślić rowerzysta jadący z prędkością v  25 km h , jeśli
graniczny kąt wychylenia rowerzysty od pionu wynosi   30 ?
4.5 Regulator Watta wykonuje n  2 obr s . O jaki kąt odchylą się przy tym drążki
zakończone kulami o masie m  10kg ? Długość każdego drążka wynosi L  16cm .
Pominąć masę wszystkich części z wyjątkiem kul.
4.6 Jaki jest najmniejszy promień okręgu, po którym może jechać łyżwiarz poruszający się z
prędkością v  20 km h , jeżeli współczynnik tarcia przy ślizganiu się łyżew o
powierzchnię lodu wynosi k  0,2 ? Jaki jest największy kąt nachylenia łyżwiarza w
stosunku do pionu, przy którym nie nastąpi upadek na zakręcie?
4.7 Wewnątrz wydrążonej kuli o promieniu R  50cm znajduje się mała kulka o promieniu
r  10cm . Dużą kulę wprawiono w ruch obrotowy dookoła osi pionowej z prędkością
kątową   7 s 1 . Wyznaczyć położenie równowagi małej kulki.
4.8 Samochód porusza się po moście w kształcie łuku okręgu o promieniu 40m , obróconego
wypukłością do góry. Jakie maksymalne przyspieszenie w kierunku poziomym może
rozwijać samochód w najwyższym punkcie mostu, jeżeli jego prędkość w tym punkcie jest
równa 50,4 km h ? Współczynnik tarcia kół samochodu o powierzchnię mostu jest równy
0,57 .
4.9 Oszacować odchylenie od kierunku północ-południe toru pocisku, którego średnia
prędkość w czasie lotu wynosi v0  400 m s , czas lotu 1s , a szerokość geograficzna
miejsca strzału   60 w przypadku, gdy pocisk wystrzelono w kierunku południkowym.
(Założyć, że siła Coriolisa jest stała w trakcie ruchu).
4.10 Określić kierunek oraz obliczyć wartość odchylenia y ciała spadającego z wieży o
wysokości H  20m w polu grawitacyjnym Ziemi. Wynik przedyskutować w zależności
od szerokości geograficznej  miejsca, w którym znajduje się wieża. Uwzględnić obie
półkule. Rozwiązanie wymaga rozwiązania prostych równań różniczkowych.
4.11 Kulka o masie m=0.5kg jest powieszona na nici do sufitu wagonu. O jaki kąt odchyli się
nić o pionu w momencie hamowania wagonu z opóźnieniem a=2m/s2? Jaką siłą naciągana
jest wówczas nić?
A
Rys. 1
7
Rys. 2
8
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 5 – Praca, energia, moc
5.1 Rozwiązać zadanie 3.5 korzystając z rozważań energetycznych.
5.2 Samochód jedzie pod górę po niewielkim wzniesieniu ze stałą prędkością v1  3 m s . Przy
jeździe w kierunku odwrotnym (z góry) osiąga on przy takiej samej mocy silnika prędkość
v2  7 m s . Jaką prędkość osiągnie samochód przy tej samej mocy silnika jadąc po drodze
poziomej? Zakładamy, że siła poruszająca nie zależy od prędkości. Uwzględnić tarcie.
5.3 Winda o ciężarze P  6000N wyciągana jest do góry ze stałym przyspieszeniem
a  1,4m / s 2 . Jaką pracę należy wykonać, aby podnieść windę na wysokość h  10m ?
5.4 Blok o masie m  15kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem siły
F  70N skierowanej pod kątem 20 do poziomu. Blok przesunięty został o s  5m , a
współczynnik tarcia kinetycznego wynosi   0,3 . Obliczyć pracę: (a) siły F ; (b)
składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; (c) siły grawitacji; (d) siły tarcia.
5.5 Na powierzchni ziemi leży poziomo n jednorodnych płyt, jednak obok drugiej. Każda
płyta ma ciężar P i grubość h . Jaką najmniejszą (teoretycznie) pracę należy wykonać, aby
ułożyć płyty jedna na drugą, w kształcie kolumny?
5.6 Klocek o masie 250g spada na pionową sprężynę o stałej sprężystości k = 2, 5N/m i
ściska ją o 12cm do osiągnięcia przez klocek zerowej prędkości. Z jakiej wysokości spadł
klocek? Jaka praca zostaje wykonana nad klockiem przez siłę ciężkości, a jaka przez siłę
sprężystości od momentu upuszczenia klocka do momentu jego zatrzymania?
5.7 Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z
prędkością . Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła . Wyznaczyć . Na
jaką maksymalną wysokość nad powierzchnię wzniosło się to ciało? Jaką będzie miał
prędkość spadając w dół i będąc na wysokości ?
5.8 Pompa napełnia basen wodą w ciągu t  20s . Znaleźć moc silnika pompy, jeżeli
pojemność basenu wynosi V  100m 3 , a jego środek znajduje się na wysokości h  18m
nad powierzchnią wody jeziora, z którego czerpana jest woda. Współczynnik sprawności
pompy   90% .
5.9 Kula o masie m  0,005kg i prędkości v  600 m s zagłębiła się w drewnie na głębokość
d  4cm . Korzystając z twierdzenia o pracy i energii wyznaczyć średnią wartość siły
oporu działającej na kulę. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania
kuli w drewnie.
9
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 6 – Zasada zachowania pędu i środek masy
6.1 Łódka o ciężarze P1  1400N unosi się nieruchomo na stojącej wodzie. Znajdujący się w
niej człowiek o ciężarze P2  600N przechodzi z dziobu na rufę, na wskutek czego łódka
przesuwa się o L  1,2m . Wyznaczyć długość łódki. Nie uwzględniać oporu wody.
6.2 Człowiek wskoczył do poruszającego się wózka. Jaka jest prędkość wózka z człowiekiem,
jeśli masa człowieka wynosi mc  70kg , masa wózka mw  30kg , a początkowa prędkość
wózka wynosiła vw  1,5m / s ?
6.3 Gimnastyk o masie M  50kg trzyma w rękach kulę o masie m  5kg i skacze pod kątem
  60 do poziomu z prędkością v  6 m s . W chwili osiągnięcia maksymalnej
wysokości gimnastyk rzuca kulę poziomo w kierunku odwrotnym do swego ruchu, nadając
jej prędkość u  2 m s względem Ziemi. Wyznaczyć długość skoku.
6.4 Rakieta leci z prędkością v . Po oddzieleniu się głowicy prędkość rakiety zmniejsza się
dwukrotnie, a kierunek ruchu rakiety i głowicy pozostaje ten sam. Ile razy zwiększy się
prędkość głowicy, jeżeli masa jej jest sześciokrotnie mniejsza od masy rakiety?
6.5 Dwie łódki poruszają się w stojącej wodzie ruchem jednostajnym z jednakowymi
prędkościami v1  0,6 m s w przeciwnych kierunkach. Gdy łódki znajdują się naprzeciw
siebie, z pierwszej do drugiej przerzucamy ładunek o masie m  60kg . Druga łódka nadal
kontynuuje swój ruch w tym samym kierunku, lecz z prędkością v2  0,4 m s . Wyznaczyć
masę drugiej łódki. Nie uwzględniać oporu wody.
6.6 Trzy łódki o jednakowym ciężarze P  100kg poruszają się jedna za drugą, z jednakową
prędkością v  1m / s . Ze środkowej łódki jednocześnie rzucono do pierwszej i ostatniej
jednakowe ładunki o ciężarze P1  20kg z prędkością u  3m / s względem łódek. Jakie są
prędkości łódek po przerzuceniu ładunków?
6.7 Człowiek stoi na platformie, która może swobodnie poruszać się po prostoliniowych
szynach. Na początku człowiek i platforma są nieruchome. Następnie człowiek zaczyna się
poruszać ruchem jednostajnym po platformie z prędkością v1  1 m s względem platformy.
Wyznaczyć prędkość człowieka względem Ziemi, jeżeli waży on dziewięć razy mniej niż
platforma.
6.8 Kulę o masie M  3kg zawieszoną na nici o długości L  1,6m odchylamy od pionu o kąt
  60 i puszczamy swobodnie. W chwili, gdy kula znajdzie się w położeniu równowagi
rzucamy w nią poziomo, w kierunku przeciwnym do jej ruchu, kulkę o masie m  30g .
Zakładając, że uderzenie kulki jest centralne i że kula zatrzymuje się od razu po zderzeniu,
wyznaczyć prędkość kulki w chwili zderzenia.
6.9 Na jaką wysokość wzniesie się wahadło o masie M, gdy utkwi w nim pocisk o masie m
lecący poziomo z prędkością v? Jaka ilość ciepła wydzieli się podczas zderzenia?
6.10 Poziome śmigło helikoptera może być wprawiane w ruch obrotowy za pomocą silnika
umocowanego w kadłubie lub za pomocą siły odrzutowej gazów wypływających ze
specjalnych dysz umieszczonych na końcach łopatek śmigła. Dlaczego helikopter o śmigle
napędzanym silnikiem musi mieć dodatkowe śmigło na ogonie, a helikopter napędzany
odrzutowo nie potrzebuje go?
6.11 Karabin o masie zawieszony jest poziomo na dwóch równoległych niciach. Podczas
wystrzału, na skutek odrzutu karabin wychylił się do góry o . Masa kuli wynosi .
Wyznaczyć prędkość wylotu kuli.
10
6.12 Z działa o masie wylatuje w kierunku poziomym pocisk o masie . Jaka cześć pracy
wykonanej przez gaz prochowy jest zamieniona na pracę odrzutu działa?
11
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 7 – Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
7.1 Kwadrat o boku 2a , leżący w płaszczyźnie z  0 ma w swych rogach ułożone masy m i
M (Rys.1). Wyznaczyć składowe diagonalne tensora momentów bezwładności w układzie
osi X, Y, Z.
7.2 Do końca nici nawiniętej na bęben o promieniu R przywiązano masę m . Znaleźć moment
bezwładności bębna, jeżeli wiadomo, że masa opuszcza się z przyśpieszeniem a .
7.3 Dwa odważniki o masach odpowiednio m1 i m2 są połączone nicią przerzuconą przez
krążek. Promień krążka R , a jego masa m . Obliczyć: (a) przyspieszenie, z jakim poruszają
się odważniki; (b) naciągi nici, na których są zawieszone odważniki.
7.4 Dwa ciała o masach m1 i m2 połączone są nieważką, nierozciągliwą nicią, przechodząca
przez bloczek o masie M i promieniu R . Ciało o masie m1 spoczywa na równi pochyłej,
która tworzy z poziomem kąt  (Rys. 2). Współczynnik tarcia ciała m2 o równię wynosi
k . Wyznaczyć przyspieszenie układu. (Założyć, że układ porusza się w prawą stronę; czy
rozwiązanie będzie istotnie inne, jeśli założymy ruch układu mas w lewo?).
7.5 Z równi pochyłej o kącie nachylenia  staczają się bez poślizgu kula i obręcz Prędkość
początkowa obu brył wynosi zero. Która z nich szybciej osiągnie dół równi? Obliczyć
przyspieszenia liniowe obu brył.
7.6 Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę F , leży na płaszczyźnie
poziomej. W którą stronę i z jakim przyśpieszeniem będzie poruszała się szpula w
zależności od kąta między kierunkiem działania siły a płaszczyzną poziomą. Masa szpuli
m , promień zewnętrzny i wewnętrzny szpuli odpowiednio R i r ; moment bezwładności
względem osi przechodzącej przez środek równy jest I 0 .
7.7 Listwa drewniana o długości L i masie M może obracać się dookoła osi prostopadłej do
listwy, przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m , lecący z
prędkością v w kierunku prostopadłym do osi listwy. Znaleźć prędkość kątową  , z jaką
listwa zaczyna się obracać, gdy utkwi w niej pocisk.
7.8 Dwie poziome tarcze o momentach bezwładności odpowiednio I1 oraz I 2 wirują
niezależnie wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Prędkości kątowe obu
tarcz wynoszą odpowiednio 1 i  2 . W pewnym momencie górna tarcza („1”) opada na
dolną i w wyniku działania sił tarcia obie obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć
prędkość kątową obu tarcz po ich złączeniu oraz pracę wykonaną przez siły tarcia.
7.9 Drewniana listwa o długości l i masie M zwisa z sufitu zaczepiona na przegubie. W jej
koniec wbija się pocisk o masie m lecący poziomo z prędkością v0. Na jaką wysość
wzniesie się koniec listwy wraz z pociskiem? Ile ciepła wydzieliło się podczas uderzenia
pocisku?
7.10 Drabina o masie M=10kg stojąca na podłodze jest oparta o idealnie gładką ściane. Na jej
szczycie stoi człowiek o masie m=80kg. Współczynnik tarcia między drabiną a podłogą
wynosi μ=0.1. Pod jakim maksymalnym kątem można nachylić drabinę względem pionu
aby nie ślizgała się po podłodze?
Y
M
M
m
m1
X
m
M
m2
α
12
Rys. 1
Rys. 2
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 8 - Grawitacja
8.1 Maksymalna wysokość pierwszego sputnika Ziemi wynosiła 947 km . Jaką prędkość
liniową musiał mieć wtedy sputnik, jeśli dalszy jego ruch odbywał się po orbicie kołowej?
Promień Ziemi RZ  6370 km .
8.2 Na linii prostej łączącej Ziemię i Księżyc znaleźć punkt o tej własności, że znajdujące się
w nim ciało jest przyciągane przez Księżyc i Ziemię z tą samą siłą. Odległość między
Ziemią i Księżycem przyjąć za równą 60 ziemskim promieniom, a masa Księżyca jest 81
razy mniejsza od masy Ziemi.
8.3 Wyznaczyć liczbę obrotów satelity dookoła Ziemi w ciągu doby, jeśli porusza się on po
orbicie kołowej o promieniu R  7340 km .
8.4 Jaką prędkość poziomą względem powierzchni Ziemi należy nadać rakiecie lecącej w
niewielkiej odległości od tej powierzchni wzdłuż równika, aby po wyłączeniu silników
rakieta nie spadając na Ziemię zaczęła poruszać się po orbicie kołowej dookoła Ziemi (tzn.
stała się jej sztucznym satelitą)? Nie uwzględniać oporu atmosfery.
8.5 Wyznaczyć odległość od środka Ziemi do sztucznego satelity oraz wyznaczyć jego
prędkość liniową, jeżeli satelita ten porusza się w płaszczyźnie równika w kierunku obrotu
Ziemi z taką prędkością, że jest on nieruchomy względem Ziemi. Promień Ziemi
RZ  6370 km
8.6 Średnica planetoidy równa jest d  5km . Zakładając, że gęstość materii planetoidy wynosi
  5,5  10 3 kg / m 3 , znaleźć przyspieszenie grawitacyjne g p na jej powierzchni i obliczyć,
na jaką wysokość podskoczył człowiek znajdujący się na jej powierzchni, jeżeli w
wykonanie skoku włożył tyle samo wysiłku ile potrzeba, aby podskoczyć na wysokość
0,5m na powierzchni Ziemi.
8.7 Wyznaczyć przyspieszenie ziemskie na wysokości h  200 km nad powierzchnią Ziemi,
przyjmując przyspieszenie na powierzchni równe g0  9,81m / s 2 . Promień Ziemi
RZ  6370 km .
8.8 Wyznaczyć stosunek ciężarów ciała na równiku i biegunie planety, której promień jest
równy R , masa M a doba wynosi T .
8.9 Dwa ciała o masach m i M znajdują się w spoczynku nieskończenie daleko od siebie.
Następnie zbliżają się do siebie wzdłuż jednej prostej pod wpływem siły grawitacji.
Pokazać, że ich wzajemna prędkość zbliżania się w chwili, gdy dzieli je odległość d , jest
równa 2G m  M  d . Wskazówka: zastosować zasady zachowania energii i pędu.
8.10 Energia mechaniczna E m planety o masie m poruszającej się po orbicie eliptycznej o
półosi wielkiej a wokół Słońca o masie M jest równa Em   GMm 2a . Obliczyć energię
E m znając okres obiegu planety T , ale nie znając a .
13
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 9 – Ruch drgający i fale
9.1 Równanie ruchu punktu dane jest w postaci: xt   sin 0,6t  . Znaleźć te chwile, w których
występuje maksymalna prędkość i maksymalne przyśpieszenie.
9.2 Energia całkowita ciała drgającego harmonicznie jest równa Ec a maksymalna siła
działająca na ciało Fmax . Napisać równanie ruchu tego ciała, jeśli okres drgań trwa T a
faza początkowa wynosi  0 .
9.3 Na gumce o długości L i promieniu R wisi odważnik o masie M . Wiedząc, że moduł
Younga tej gumy wynosi E , znaleźć okres T pionowych drgań odważnika.
9.4 Areometr o masie m pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go w cieczy i puści, zaczyna
wykonywać drgania z okresem T . Przyjmując, że drgania są nietłumione, znaleźć gęstość
cieczy, w której pływa areometr. Średnica walcowej rurki areometru wynosi d .
9.5 Przez Ziemię przewiercono tunel. Do tunelu wpuszczono kulkę. Znaleźć czas potrzebny
do osiągnięcia przez kulkę środka Ziemi, a także prędkość, z jaką kulka minie środek
Ziemi.
9.6 Jak zmieni się okres drgań pionowych masy wiszącej na dwóch jednakowych sprężynach,
gdy połączenie szeregowe sprężyn zostanie zastąpione połączeniem równoległym?
9.7 Drgania zadane są równaniem xt   At   sin 2f1t  , gdzie amplituda zmienia się w czasie
zgodnie z zależnością At   A0 1  cos 2f 2t  . Znaleźć składowe harmoniczne tych drgań.
9.8 Okres drgań tłumionych jest równy T , dekrement tłumienia  , a faza początkowa
wynosi zero. Wychylenie punktu w chwili t  0,25T jest równe x1 . Napisz równanie ruchu
tych drgań.
9.9 Masa m jest przyczepiona do dwóch sprężyn o stałych sprężystości k1 i k2 (Rys.1). W
obu przypadkach zostaje ona wychylona z położenia równowagi i puszczona; porusza się
bez tarcia. Obliczyć okres ruchu harmonicznego w obu przypadkach.
9.10
Równanie
wymuszonych
drgań:
xt   A  cost    ,


gdzie A  F m2 2   2   22 . Amplitudy drgań wymuszonych odbywających się
pod działaniem dwóch sił zewnętrznych o częstościach kołowych 1 i 2 są równe.
Wyznaczyć częstość rezonansową  rez .
Rys.1
k1
k2
m
k2
k1
m
14
9.11 Obserwator stojący na Ziemi obserwuje nadlatujący samolot, ale nie słyszy dźwięku
pracy silnika. Samolot przelatuje nad obserwatorem i oddala się. Obserwator usłyszał
dźwięk silnika w momencie, gdy kierunek, pod którym widoczny jest samolot, tworzy z
poziomem kąt   30 . Samolot leci prostoliniowo, równolegle do powierzchni Ziemi.
Wyjaśnić obserwowane zjawisko i obliczyć prędkość samolotu. Prędkość dźwięku w
powietrzu przyjąć jako 340 m s .
9.12 Drgania membrany są wzbudzone za pomocą zmiennego prądu elektrycznego o
częstotliwości f  100Hz . Wyznaczyć długość fali dźwiękowej wysyłanej przez
membranę w powietrzu.
9.13 Nadajnik ultradźwiękowy echosondy wysyła fale o częstotliwości 40000Hz . Wyznaczyć
długość fali ultradźwiękowej w wodzie. Jaka jest głębokość morza, jeżeli w danym
miejscu impuls echosondy powraca po 0,2 s od chwili jego wysłania?
9.14 Ile razy zmieni się długość fali dźwiękowej przy przejściu fali z powietrza do wody?
Prędkość dźwięku w powietrzu przyjąć jako 340 m s , a w wodzie jako 1450m s .
9.15 Statek płynący po jeziorze wywołał falę, która doszła do brzegu po jednej minucie.
Odległość między sąsiednimi grzbietami fali jest równa 1,5m , a czas między dwoma
kolejnymi uderzeniami fali o brzeg jest równy 2s . Jaka jest odległość przepływającego
statku od brzegu?
15
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 10 – Hydrodynamika płynów
10.1 Gdy drewniany klocek pływa w słodkiej wodzie, nad wodą znajduje się 1/3 jego
objętości. Klocek ten może również pływać w oleju, lecz wtedy nad cieczą znajduje się
1/10 jego objętości. Wyznaczyć gęstość: (a) drewna, (b) oleju.
10.2 Wypełniona wodą drewniana beczka o średnicy 20cm stoi poziomo i jest zamknięta
szczelnie od góry pokrywą, przez którą przechodzi długa, pionowa rurka o promieniu
3mm . Po wypełnieniu rurki wodą do wysokości 12 m beczka rozpada się. Wyznaczyć
ciężar wody w rurce oraz siłę przyłożoną do pokrywy beczki.
10.3 Obustronnie otwarta rurka w kształcie litery U jest częściowo napełniona rtęcią (gęstość
 Hg  13600 kg m 3 ), a częściowo wodą, jak na rys. 1. Ile wynosi h 2 w stanie równowagi,
jeśli h1  1cm ?
10.4 Do tłoka strzykawki o średnicy 1,5cm , jest przyłożona siła 5 N . Średnica igły wynosi
0,2mm . (a) Pod jakim ciśnieniem ciecz wylatuje z igły? (b) Pod działaniem jakiej siły
ciecz ze strzykawki będzie mogła być wstrzyknięta do żyły, gdzie ciśnienie wynosi
18mm Hg ?
10.5 Strumień wody wypływa pionowo w dół z poziomego kranu, którego końcówka
wylewki jest zgięta po kątem prostym. Przekrój poprzeczny kranu wynos S a woda płynie
z prędkością v . Z jaką siłą działa woda na kran (próbując go oderwać od baterii)?
10.6 Hydrometr to proste urządzenie pozwalające mierzyć gęstość cieczy, w której pływa.
Jest to szklana rurka o przekroju kołowym, na jednym końcu której znajduje się zatopione
w szkle obciążenie (np. kawałek metalu). Na ściankach bocznych jest naniesiona skala.
Pewien hydrometr ma masę całkowitą 50 g i pole przekroju poprzecznego 2cm2 . W jakiej
odległości od obciążonego końca hydrometru należy postawić na skali wartość
1000 kg m 3 ?
10.7 Oszacować średnią moc serca, które bije 70 razy na minutę i tłoczy przy każdym
uderzeniu do tętnic 70cm3 krwi o gęstości 1050 kg m 3 pod średnim ciśnieniem 105 mm Hg .
10.8 Jaka siła działa na poziomy dach budynku o powierzchni 120m 2 przy wietrze wiejącym z
prędkością 30 m s ?
10.9 W dnie cylindrycznego zbiornika napełnionego wodą do wysokości H o polu
poprzecznego przekroju S znajduje się otwór o powierzchni s . Pokazać, że: (a) prędkość
wypływu wody ze zbiornika przez otwór wynosi


2 gH 1  s S 

2
 (b) prędkość opadania
słupa wody w zbiorniku dH dt   2 gHs 2 S 2  s 2 . W jakim czasie wyleje się woda?
10.10 Boczna ściana dużego zbiornika z wodą przerdzewiała na wysokości h  4m nad ziemią
i d  16 m pod poziomem wody. Z powstałej dziury woda wycieka w tempie 2,5 l min . Z
jaką prędkością v wypływa strumień wody? Jaki przekrój ma dziura? Jak daleko od ściany
zbiornika strumień opada na ziemię?
h1
H2O
H 2O
h2
16
Hg
Zadania z fizyki dla I roku Wydziału Mech. Energetycznego
LISTA 11 – Termodynamika
11.1 Naczynie cylindryczne jest rozdzielone na dwie części ruchomym tłokiem. Jakie będzie
położenie tłoka podczas równowagi, jeżeli w jednej części naczynia umieścić pewna ilość
wagową tlenu, a w drugim – taką sama ilość wodoru? Całkowita długość naczynia jest
równa 85 cm .
11.2 Do kalorymetru zawierającego m1  100 g lodu o temperaturze t 0  0 C została
wpuszczona para wodna o temperaturze t  100 C . Ile wody będzie w kalorymetrze, gdy
stopi się cały lód?
11.3 Przy wytwarzaniu lodu w lodówce potrzeba 5 min dla ochłodzenia wody od temperatury
4 C do temperatury 0 C i jeszcze 1h 40 min , aby zamienić ją w lód. Wyznaczyć ciepło
topnienia lodu.
11.4 Zbiornik balastowy łodzi podwodnej ma objętość V1  5m 3 i jest napełniony wodą. Jakie
ciśnienie p powietrza powinno być w butli o pojemności V2  0,2m 3 , aby po połączeniu
butli ze zbiornikiem łódź podwodna mogła całkowicie uwolnić się od balastu na
głębokości H  100 m ? Temperatura powietrza nie zmienia się. Ciśnienie atmosferyczne
przyjąć równe p  1,01  10 5 N m 2 a gęstość wody morskiej   1030 kg m 3 .
11.5 Dwa jednakowe balony, zawierające gaz w temperaturze 0 C , są połączone wąską
poziomą rurką o średnicy 5mm , pośrodku której znajduje się kropla rtęci. Kropla dzieli
naczynie na dwie części po 200cm3 . Na jaką odległość przesunie się kropla, jeżeli jedne z
balonów został ogrzany do temperatury 2 C , a drugi o tyle samo został oziębiony? Nie
uwzględniać rozszerzalności samych naczyń.
11.6 Trzy zbiorniki o pojemnościach V1  3l , V2  7l i V3  5l są napełnione odpowiednio
tlenem pod ciśnieniem
p1  2  10 5 N m 2 , azotem pod ciśnieniem
p2  3  105 N m2 i
dwutlenkiem węgla pod ciśnieniem p3  0,6  105 N m2 , przy jednakowej temperaturze.
Zbiorniki zostały połączone rurką o bardzo małej objętości, przy czym powstaje
mieszanina o tej samej temperaturze. Jakie jest ciśnienie mieszaniny?
11.7 Współczynnik sprawności pewnej maszyny cieplnej stanowi 60 % współczynnika
sprawności maszyny idealnej pracującej według cyklu Carnota. Temperatura źródeł i
chłodnic tych maszyn są jednakowe. Dochodząca do maszyny para ma temperaturę 200 C
a temperatura skraplacza maszyny jest równa 60 C . Moc maszyny wynosi 314 kW . Ile
węgla potrzebuje maszyna w ciągu 1 godziny pracy? Ciepło spalania węgla wynosi
3,14  10 7 J kg .
11.8 Idealna maszyna cieplna pracuje według cyklu Carnota. Przy tym 80 % ciepła,
otrzymanego od źródła, jest przekazywana chłodnicy, temperatura której jest równa 0 C .
Wyznaczyć temperaturę źródła i współczynnik sprawności maszyny.
11.9 Wyznaczyć pracę wykonaną podczas jednego cyklu złożonego z: przemiany
izochorycznej, przemiany izotermicznej i przemiany izobarycznej, oraz wyznaczyć
sprawność odpowiedniego silnika, którego ciałem roboczym jest 1 mol gazu doskonałego
o współczynniku adiabaty . Przyjąć dane: ciśnienie przemiany izobarycznej, jej objętości;
początkową i końcową oraz temperaturę przemiany izotermicznej.
17