Untitled - Open AGH e

Potencjał elektryczny
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Jak pokazano w module Energia potencjalna w polu elektrycznym energia potencjalna ładunku w polu elektrycznym zależy od
wielkości tego ładunku. Dlatego do opisu pola elektrycznego lepiej posługiwać się energią potencjalną przypadającą na
jednostkowy ładunek czyli potencjałem elektrycznym.
DEFINICJA
Definicja 1: Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny definiujemy jako energię potencjalną pola elektrycznego podzieloną przez jednostkowy ładunek.
V (r) =
Ep (r)
q
=
W∞r
q
(1)
DEFINICJA
Definicja 2: Jednostka potencjału elektrycznego
Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt ( V ); 1V = 1J/C.
Potencjał pola ładunku punktowego Q możemy otrzymać natychmiast dzieląc równanie Energia potencjalna w polu
elektrycznym-( 4 ) obustronnie przez q
V (r) = k
Q
r
(2)
Obliczony potencjał określa pracę potrzebną do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności na odległość r od
ładunku Q. Potencjał charakteryzuje pole elektryczne; a nie zależy od umieszczonego w nim ładunku.
ZADANIE
Zadanie 1: Potencjał na jądrze miedzi
Treść zadania:
Oblicz potencjał na powierzchni jądra miedzi. Promień jądra wynosi równy 4.8 ⋅ 10−15 m . Przyjmij, że rozkład 29 protonów w
jądrze miedzi jest kulisto-symetryczny. W związku z tym potencjał na zewnątrz jądra jest taki, jakby cały ładunek skupiony
był w środku i możesz posłużyć się wzorem ( 2 ). Ponadto oblicz potencjalną energię elektryczną elektronu poruszającego
się po pierwszej orbicie w polu elektrycznym jądra miedzi. Przyjmij promień orbity równy 5 ⋅ 10−11 m .
V =
Wp =
Rozwiązanie:
Dane: Promień jądra r = 4.8 −15 m , liczba protonów n = 29, promień orbity elektronu R = 5 ⋅ 10−11 m , ładunek
elementarny e = 1.6 ⋅ 10−19 C, stała k = 8.988 ⋅ 109 .
Potencjał na powierzchni jądra miedzi obliczamy ze wzoru na potencjał pola ładunku punktowego
Q
V (r) = k R
(3)
gdzie Q = ne jest ładunkiem jądra miedzi. Podstawiając dane otrzymujemy
V (R) = 8.7 ⋅ 107 V .
Natomiast energię potencjalną elektronu w polu jądra miedzi obliczamy, korzystając z zależności Energia potencjalna w polu
elektrycznym-( 4 )
Ep (R) = k
eQ
R
(4)
Podstawiając dane, otrzymujemy Ep (R) = 1.3 ⋅ 10−16 J = 0.83eV .
Często w fizyce posługujemy się pojęciem różnicy potencjałów czyli napięciem (oznaczanym U ). Różnica potencjałów między
dwoma punktami A i B jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia w polu elektrycznym ładunku jednostkowego (próbnego) q
pomiędzy tymi punktami. Wyrażenie na różnicę potencjałów otrzymamy bezpośrednio ze wzoru Energia potencjalna w polu
elektrycznym-( 2 ) w module Energia potencjalna w polu elektrycznym, dzieląc to równanie obustronnie przez q
B
VB − VA = U = − WqAB = − ∫ E⋅dr
A
Znak minus odzwierciedla fakt, że potencjał maleje w kierunku wektora E.
Podobnie jak natężenie pola elektrycznego, które ilustrowaliśmy za pomocą linii sił pola (zob. moduł Pole elektryczne) również
potencjał elektryczny można przedstawialiśmy graficznie. W tym celu rysujemy powierzchnie lub linie ekwipotencjalne, które
przedstawiają w przestrzeni zbiory punktów o jednakowym potencjale.
Jako przykład pokazany jest na Rys. 1 rozkład potencjału, na płaszczyźnie xy, wokół dipola elektrycznego. Poziomice (linie
pogrubione) łączą punkty o jednakowym potencjale (linie ekwipotencjalne). Każda krzywa odpowiada innej stałej wartości
potencjału.
(5)
Rysunek 1: Potencjał elektryczny dipola elektrycznego (na płaszczyźnie xy)
Gdy znamy rozkład potencjału elektrycznego wytworzonego w każdym punkcie przestrzeni przez dany układ ładunków to na
podstawie wielkości zmiany potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym kierunku możemy określić natężenie pola
elektrycznego E w tym kierunku. Warunek ten (we współrzędnych x, y, z) wyraża się następująco
Ex = − ∂V
, Ey = − ∂V
, Ez = − ∂V
∂x
∂y
∂z
(6)
Możemy więc przy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych z wielkości skalarnej (potencjału V ) otrzymać składowe wielkości
wektorowej (pola E) w dowolnym punkcie przestrzeni.
Im większa (mniejsza) zmiana potencjału na jednostkę długości tym większe (mniejsze) pole elektryczne w danym kierunku. Znak
minus odzwierciedla fakt, że wektor E jest skierowany w stronę malejącego potencjału.
Kierunek pola elektrycznego w dowolnym punkcie odpowiada kierunkowi, wzdłuż którego potencjał spada najszybciej, co
oznacza, że linie sił pola są prostopadłe do powierzchni (linii) ekwipotencjalnych.
Zostało to zilustrowane na Rys. 2, gdzie pokazane są powierzchnie ekwipotencjalne (linie ich przecięcia z płaszczyzną rysunku)
oraz linie sił pola (a) ładunku punktowego, (b) dipola elektrycznego (porównaj z Rys. 2).
Rysunek 2: Powierzchnie ekwipotencjalne (linie przerywane) i linie sił pola (linie ciągłe): (a) ładunku punktowego, (b) dipola elektrycznego; linie ekwipotencjalne oznaczają przecięcia
powierzchni ekwipotencjalnych z płaszczyzną rysunku
Wzory wyrażające związek pomiędzy potencjałem i polem elektrycznym są bardzo użyteczne, bo na ogół łatwiej obliczyć i
zmierzyć potencjał niż natężenie pola.
W module Zastosowanie prawa Gaussa: Izolowany przewodnik pokazano, że cały ładunek umieszczony na izolowanym
przewodniku gromadzi się na jego powierzchni i że pole E musi być prostopadłe do powierzchni, bo gdyby istniała składowa
styczna do powierzchni, to elektrony przemieszczałyby się. W oparciu o wyrażenie ( 5 ) możemy podać alternatywne
sformułowanie. Jeżeli pole E wzdłuż powierzchni przewodnika równa się zeru, to różnica potencjałów też równa się zeru
ΔV = 0. Oznacza to, że
PRAWO
Prawo 1: Powierzchnia ekwipotencjalna
Powierzchnia każdego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchnią stałego potencjału (powierzchnią
ekwipotencjalną).
Obliczeń potencjału elektrycznego dla różnych naładowanych ciał można zobaczyć w module Obliczanie potencjału
elektrycznego).
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1392
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2015-12-11 12:00:57
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=5d686d822d39d2761620238df8faf144
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński