Topologia ogólna MAP1219 Lista 4

Topologia ogólna MAP1219
Lista 4
1. Podając odpowiedni przykład uzasadnić, że suma topologii nie musi być topologią.
2. Uzasadnić poprawność definicji topologii relatywnej (topologii w podzbiorze A):
τA = {U ∩ A : U ∈ τ },
gdzie τ jest topologią w wyjściowej przetsrzeni X.
3. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację ≺. Powiedzmy, że
U jest zbiorem otwartym, gdy z warunków x ∈ U i y ≺ x wynika y ∈ U . Udowodnić,
że zbiory otwarte w tym sensie tworzą topologię.
4. W N określmy zbiory otwarte jako te, dla których warunek n ∈ U implikuje, że wszystkie dzielniki n należą do U . Uzasadnić, że jest topologia na N, różna od dyskretnej.
5. Niech X będzie zbiorem wszystkich macierzy n × n o elementach rzeczywistych. Udowodnić, że zbiory
U (A, ) = {B ∈ X : ∀i, j |Aij − Bij | < }
są bazą topologii w X.
6. Niech X = C([0, 1]) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych.
Dla każdej f ∈ X, > 0 oraz zbioru skończonego x1 , ..., xn ∈ [0, 1] definiujemy
U (f, ; x1 , .., xn ) = {g ∈ X : ∀i = 1, ..., k |f (xi ) − g(xi )| < }.
Udowodnić, że zbiory te tworzą bazę topologii w X. Pokazać, że jest to topologia słabsza niż topologia zbieżności jednostajnej (zadana przez metrykę d(f, g) =
supx |f (x) − g(x)|)Ri że nie jest ani słabsza, ani mocniejsza od topologii zadanej przez
metrykę ρ(f, g) = 01 |f (x) − g(x)|dx.
W
7. Niech τα będą topologiami na przestrzeni X. Oznaczmy przez α τα topologię, któS
W
rej podbazą jest α τα . Udowodnić, że α τα jest najsłabszą topologią, która jest
mocniejsza jednocześnie od każdej τα .
8. Niech P będzie podbazą topologii τ . Załóżmy, że zbiór D ma tę własność, iż dla
każdego zbioru P ∈ P przekrój D ∩ P jest niepusty. Czy D jest gęsty (w topologii τ )?
9. Załóżmy, że przestrzeń X ma bazę przeliczalną. Udowodnić, że wtedy każda baza
zawiera przeliczalną podrodzinę, która jest bazą tej samej topologii.
10. Udowodnić wzory:
(a) A ⊂ B ⇒ Int (A) ⊂ Int (B)
(b)
S
t Int (At )
⊂ Int (
S
t At )
(c) Fr (A ∪ B) ∪ Fr (A ∩ B) ∪ [Fr (A) ∩ Fr (B)] = Fr (A) ∪ Fr (B)
(d) Fr (Int (A)) ⊂ Fr (A).