Wstęp do topologii

SYLABUS- Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: WSTĘP DO TOPOLOGII
Rok studiów:
Semestr:
I
2
ECTS: 6
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Znajomość materiału nauczania matematyki w zakresie przedmiotów „Wstęp do logiki i teorii
mnogości” i „Wstęp do analizy matematycznej”
Założenia i cele przedmiotu
Zaznajomienie studentów z podstawowymi pojęciami teorii przestrzeni metrycznych i niektórymi
pojęciami
topologii; nauczenie studentów posługiwania się podstawowymi pojęciami teorii
przestrzeni metrycznych i topologii w innych działach matematyki, głównie w analizie matematycznej
Metody dydaktyczne
Realizacja programu w formie wykładów i ćwiczeń audytoryjnych; w ramach ćwiczeń audytoryjnych
przeprowadzone będą sprawdziany kontrolne
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie z ćwiczeń na podstawie wyników odpowiedzi ustnych i kolokwiów, egzamin ustny
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Przestrzeń topologiczna, topologia, przykłady, wnętrze, domknięcie, brzeg zbioru; własności,
topologia indukowana.
2. Przestrzenie metryczne, podstawowe pojęcia i własności, wnętrze, domknięcie, brzeg zbioru w
przestrzeniach metrycznych, podstawowe przykłady (przestrzenie euklidesowe, przestrzenie
funkcyjne), metryka indukowana - przykłady, metryki równoważne, przestrzenie metryczne zupełne,
ciągi, granica ciągu, podciągi, punkty skupienia ciągu, punkty skupienia zbioru.
3 Ciągłość, warunki równoważne ciągłości, własności funkcji ciągłych, ciągłość w przestrzeniach
metrycznych, warunki równoważne, jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego, twierdzenie, że
granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
4. Spójność, warunki równoważne, obraz ciągły zbioru spójnego, spójność w R, spójność a
spójność łukowa, lokalna spójność, porównanie ze spójnością.
n
5. Zwartość w przestrzeniach metrycznych (definicja ciągowa), zwartość zbiorów w R , własność
Weierstrassa, funkcje jednostajnie ciągłe, twierdzenie, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym jest
jednostajnie ciągła, przestrzenie Lindeloefa, przestrzenie metryczne ośrodkowe; własność
Lindeloefa.
6. Baza topologii, wprowadzenie topologii za pomocą bazy, bazy otoczeń, wprowadzenie topologii za
pomocą pełnego układu otoczeń.
Ćwiczenia audytoryjne
n
n
1. Przestrzeń topologiczna; topologia; topologia naturalna w R , przykłady innych topologii w R ,
wyznaczanie wnętrza, domknięcia, brzegu zbioru.
n
2. Przykłady przestrzeni metrycznych, przykłady metryk, metryki w R , metryki w przestrzeniach
n
n
funkcyjnych, przestrzenie metryczne zupełne i niezupełne – R , Q . Przypomnienie własności
ciągów liczbowych, szersze omówienie własności punktów skupienia zbioru i ciągu – zadania.
3. Badanie ciągłości funkcji rzeczywistych, przykłady i typy nieciągłości funkcji rzeczywistych, badanie
zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów funkcji rzeczywistych.
n
4. Rozpoznawanie zwartości dla podzbiorów R , zadania na zastosowanie własności Weierstrassa i
własności Darboux, funkcje jednostajnie ciągłe, sprawdzanie jednostajnej ciągłości funkcji
rzeczywistej.
n
5. Spójność, badanie spójności zbiorów w R , badanie spójności łukowej.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] R. Duda, Wprowadzenie do topologii, PWN, Warszawa, 1986
[2] R. Engelking, Zarys topologii ogólnej, PWN, Warszawa, 1968
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN, Warszawa, 1980
[2] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa, 1972
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
doc. dr hab. Piotr JAKÓBCZAK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK