Geodezja i Kartografia Wzory • Całki nieoznaczone 3. ∫ af(x)dx = a

Geodezja i Kartografia Wzory • Całki nieoznaczone 3. ∫ af(x)dx = a

Geodezja i Kartografia
Wzory
• Całki nieoznaczone
1.
R
(f (x) + g(x)) dx =
R
R
2.
R
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x) g(x) dx,
3.
R
af (x) dx = a f (x) dx, gdzie a ∈ R,
4.
R
xa dx =
5.
R
dx = x + C,
6.
R
x dx = 1 x2 + C,
f (x) dx + g(x) dx,
R
R
1
a+1
a+1 x
+ C dla a 6= −1,
2
R
7. x12 dx = − x1 + C,
R 1
√
8.
9.
10.
11.
√
x
R√
dx = 2 x + C,
3
x dx = 32 x 2 + C,
R 1
dx = ln |x| + C,
R xx
x
e dx = e + C,
R
12. ax dx = ln1a ax + C dla a 6= 1, a > 0,
R
sin x dx = − cos x + C,
13.
14.
R
15.
R
16.
cos x dx = sin x + C,
1
dx = tg x + C,
2
R cos1 x
dx = − ctg x + C,
17.
R
18.
R
19.
R
sin2 x
1
1+x2 dx = arctg x + C,
√ 1
dx = arcsin xa + C,
a2 −x2
√
√ 1
x2 + k|
dx
=
ln
|x
+
2
x +k
+ C.
• Podstawienia trygonometryczne
t = tg x,
x
t = tg ,
2
dx =
dx =
2
dt,
1 + t2
1
dt,
1 + t2
sin2 x =
sin x =
t2
,
1 + t2
2t
,
1 + t2
cos2 x =
cos x =
1
,
1 + t2
1 − t2
.
1 + t2
sin x cos x =
t
.
1 + t2
• Metoda współczynników nieoznaczonych
Z
√
p
Wn (x)
dx = Wn−1 (x) ax2 + bx + c+A
ax2 + bx + c
Z
√
dx
,
ax2 + bx + c
a 6= 0, b2 −4ac 6= 0.
• I Podstawienie Eulera
√
ax2 + bx + c = (t − x) a,
p
x=
at2 − c
,
2at + b
dx =
2a(at2 + bt + c)
dt.
(2at + b)2
• III Podstawienie Eulera
Niech x0 , x1 będą pierwiastkami równania ax2 + bx + c = 0.
p
ax2 + bx + c = t(x − x1 ),
x=
t2 x1 − ax0
,
t2 − a
dx =
2ta(x0 − x1 )
dt.
(t2 − a)2
• Całki rekurencyjne
Z
dx
1
x
2n − 3
=
·
+
·
(1 + x2 )n
2n − 2 (1 + x2 )n−1 2n − 2
Z
dx
.
(1 + x2 )n−1
1
n−1
sin x = − sinn−1 x cos x +
sinn−2 xdx.
n
n
Z
Z
n−1
1
cosn−2 xdx.
cosn x = − cosn−1 x sin x +
n
n
Z
• Całki typu
tn =
Z
s
R x,
ax + b
,
cx + d
Z
n
n
ax + b , gdzie ad − bc 6= 0
cx + d
tn (cx + d) = ax + b,
2
x=
b − dtn
,
ctn − a
dx =
n(ad − bc)tn−1
dt.
(ctn − a)2