2 - Candela

Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
1
ZESTAW ZADAN Z FIZYKI KWANTOWEJ (3)
7
Zadanie 1
Funkcja falowa
 2πn 
Ψ ( x ) = An sin
x
 L 
jest zdefiniowana jedynie w obszarze 0 <= x <= L. Skorzystaj z warunku normalizacji do
obliczenia stałej An.
Rozwiązanie
Warunek normalizacji mówi o tym, że całka kwadratu modułu funkcji falowej po całej
przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek będzie miał postać następującą.
L
∫A
2
n
0
 2πn 
x dx = 1
sin 2 
 L 
L
2
n
A
∫ sin
0
2
 2πn 
x dx = 1

 L 
Zastosujemy zamianę zmiennych. Niech
u=
2πn
x
L
wtedy
L
A
2πn
2
n
2πn
∫ sin ( u ) du = 1
2
0
Obliczając całkę dostajemy, (Całkę można spisać z tablic lub, jeśli ktoś chce, obliczyć metodą "przez
części".)
2πn
∫
0
2πu
1 
 1
sin ( u ) du = − sin u cos u + u 
2 0
 2
2
Podstawiając wynik do warunku normalizacji otrzymamy
Ane
L
=1
2
co daje ostatecznie
An =
2
1
L
= πn
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
2
8
Zadanie 2
Udowodnij, że
i

Ψ ( x ,t ) = A exp  ( px − Et ) 


jest rozwiązaniem równania Schrödingera. Czy funkcja ψ + ψ
*
jest też rozwiązaniem?
Rozwiązanie
Ψ ( x ,t ) = Ae
i
( px − Et )

warto zauważyć, że
Ψ ( x ,t ) = Ae
i
i
px − Et


e
czyli
Ψ ( x ,t ) = ψ ( x ) e
i
− Et

Funkcja falowa dała się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy wyłącznie od
położenia a drugi tylko od czasu. Jeśli wykonamy teraz podstawienie do równania
Schrödingera
−
więc
2 2
∂Ψ ( x ,t )
∇ Ψ ( x ,t ) + UΨ ( x ,t ) = i
2m
∂t
i
−
i
i
− Et
 2 −  Et 2
 E  − Et
e ∇ ψ ( x ) + Uψ ( x ) e  = iψ ( x )  − i e 
2m
 
i
dzieląc stronami przez e −  Et otrzymamy
−
2 2
∇ ψ ( x ) + Uψ ( x ) = Eψ ( x )
2m
Równanie to jest nazywane równaniem Schrödingera bez czasu i dotyczy przypadków
stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjał U nie zależy od czasu.
Dalej pisząc o równaniu Schrödingera będę miał na myśli właśnie równanie Schrödingera
bez czasu (Wtedy funkcję falową daje się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko
od położenia a drugi tylko od czasu(.
Podstawiając do tego równania jawnie funkcję
ψ ( x ) = Ae
i
px

dostajemy
p2
ψ + Uψ = Eψ
2m
Pomiędzy energią kinetyczną i pędem w fizyce nie relatywistycznej zachodzi związek
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
3
więc równanie ma sens, dostaliśmy sumę energii potencjalnej i kinetycznej równą całkowitej
energii cząstki, co jest prawdą.
Jak łatwo obliczyć funkcja ζ = ψ + ψ * ma postać
po obliczeniach dostajemy
1

ζ = 2 A cos ( px − Et ) 


2 2
p2
−
∇ζ =
ζ
2m
2m
co, podobnie jak poprzednio, można podstawić do równania Schrödingera.
Otrzymamy wtedy

 p2

+ U ζ = Eζ

 2m
9
Lewa strona jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest całkowitą energią
cząstki. Wynika z tego, że lewa strona jest równa prawej, czyli funkcja ζ = ψ + ψ * również
spełnia równanie Schrödingera.
Zadanie 3
Zbadaj, czy
ψ ( x ,t ) = A sin( kx − ωt )
jest rozwiązaniem równania Schrödingera?
Rozwiązanie
Funkcję można wyrazić też wykorzystując związki
E = ω
oraz
p = k
Wtedy przybierze postać
1

ψ = A sin ( px − Et ) 


Pozostało już tylko podstawienie do równania
−
2 2
∇ ψ + Uψ = Eψ
2m
podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy
 p2


+ U ψ = Eψ
 2m

Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że funkcja ψ spełnia równanie Schrödingera.
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
4
Zadanie 4
Wyznacz dozwolone wartości energii i funkcje falowe cząstki o masie m
znajdującej się w nieskończenie głębokiej, prostokątnej studni potencjału
o szerokości L.
10
Rozwiązanie
Sposobów rozwiązania jest kilka. Przedstawię najprostszy. Aby dotyczył też pozostałych
zadań przyjmijmy, że potencjał jest następujący
+ ∞ ∀x < 0

V =  0 ∀0 < x < L
+ ∞ ∀x > L

Tam gdzie potencjał jest nieskończenie duży funkcja falowa nie istnieje. W przedziale
zerowego potencjału mogą występować funkcje falowe odpowiadające cząstce swobodnej
poruszającej się w prawo oraz cząstce swobodnej poruszającej się w lewo. Dodatkowo na
brzegach studni funkcja falowa musi znikać. Potencjał nie zależy od czasu, więc
zrezygnujemy z pisania członów funkcji falowej zależnych od czasu. Uwzględniając to można
napisać:
ψ ( x ) = ψ ( x ) → +ψ ( x ) ←
ψ (0) = 0
ψ ( L) = 0
czyli
Ae ik 0
ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx
+ Be −ik 0 = Ae ikL + Be − ikL = 0
wynika z tego, że A + B = 0 więc B = -A.
Można już zapisać ψ jako
ψ ( x ) = A( e ikx − e −ikx )
Przechodząc do zapisu trygonometrycznego ψ ma postać
ψ ( x ) = 2 Ai sin( kx )
W sposób naturalny dla ψ ( x ) = 0 ale trzeba też pamiętać o tym, żeψ ( L ) = 0
2 Ai sin( kL ) = 0 ∀k =
π gdzie n=1,2,3,4…
n
L
Funkcję falową trzeba jeszcze unormować:
4 A 2 ∫ sin 2 ( kx ) dx = 1
L
0
po obliczeniu całki
L
1 1
1

4 A − sin( kx ) cos( kx ) + ( kx )  = 1
k 2
2
0
2
2 A2 L = 1
1
A=
2L
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
5
Po uwzględnieniu wartości A oraz k funkcja ψ przybiera postać
2  nπ 
sin
x
L  L 
ψ ( x) = i
Co po uwzględnieniu czynnika zależnego od czasu daje pełną funkcję falową Ψ ( x , t )
2
 nπ  −iωt
x e
sin
L  L 
ψ ( x) = i
Działając hamiltonianem na funkcję falową dostajemy wartości energii dla stanów własnych
prostokątnej nieskończonej studni kwantowej.
Ĥψ = Eψ
E jest wartością własną hamiltonianu, czyli energią cząstki. Po podstawieniu funkcji falowej
otrzymamy
−
czyli
2 2
2 2
∇ 2 Ai sin( kx ) =
k 2 Ai sin( kx )
2m
2m
2 2
Ĥψ =
kψ
2m
Energia cząstki po uwzględnieniu wartości k wyraża się wzorem
E=
 2π 2 2
n gdzie n=1,2,3…
2 mL2
Warto zauważyć, że cząstka w studni potencjału nie może przyjmować dowolnej
energii. Poziomy energetyczne są skwantowane.
11
Zadanie 5
Cząstka znajduje się w stanie podstawowym w prostokątnej studni
potencjału o szerokości L i całkowicie nieprzepuszczalnych ściankach ( 0 < x < L ) .
Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze
2
1
L<x< L
3
3
Rozwiązanie
W tym zadaniu można wykorzystać obliczenia z zadania poprzedniego. Należy kwadrat
1
2
L do L
3
3
modułu unormowanej funkcji falowej ψ ( x ) (x) przecałkować od
P=
2L
3
2
∫ L sin
L
3
2
π 
 x dx
L 
2L
1
π  π  π  3
P = − sin x  cos x  + x 
π
 L   L  L L
3
co po obliczeniu daje
P = 0,61
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007
For Evaluation Only.
6
Zadanie 6
Jaka jest szerokość jednowymiarowej studni potencjału z nieskończenie
wysokimi ścianami, jeżeli przy przejściu elektronu z drugiego na pierwszy poziom kwantowy
wysyłana jest energia ∆E = 1eV
Rozwiązanie
Należy wykorzystać wzór na poziomy energetyczne w takiej studni, wyprowadzony w zadaniu
10 i rozwiązać równanie
E 2 − E1 = ∆E
więc
 2π 2 2
n2 − n12 = ∆E
2
2 mL
h 2 n22 − n12
L=
(
)
(
)
po podstawieniu dostajemy
L = 1.063 ⋅ 10 −9 m
13