zjawiska transportu w gazach

Kinetyczna teoria gazów
Zjawiska transportu :
dyfuzja – transport masy
transport energii – przewodnictwo cieplne
transport pędu – lepkość
1
Zjawiska transportu - dyfuzja
sytuacja
początkowa
– brak
równowagi
czas
t =0
n(x)
x
proces
wyrównywania
koncentracji dyfuzja
n(z)
czas
t =1
jD
x
sytuacja
końcowa –
równowaga
osiągnięta
czas
t =2
n(z)
x
Dyfuzja - samorzutnie przebiegający
proces wyrównywania koncentracji
molekuł na skutek ich ruchu cieplnego
uporządkowane, ukierunkowane
przenoszenie masy (cząsteczek)
dn( x)
(I prawo Fick’a)
jD = − D
dx
jD – strumień masy (średnia liczba
cząstek przekraczanych jednostkową
powierzchnię w jednostkowym czasie w
kierunku x)
D – współczynnik dyfuzji (m2/s)
n – koncentracja (np. kg/m3)
strumień masy zwrócony w kierunku
malejącej koncentracji (dlatego znak „-”)
2
Zjawiska transportu – dyfuzja (c.d.)
x-λ
dS
ilość cząstek,
która przeszła przez pow. dS
w czasie dt
dN = jD dS dt
w kierunku x
x+λ
powierzchnia
= −D
dn( x)
dS dt
dx
czas
Analizując ilość molekuł przechodzących przez powierzchnię dS
moŜna udowodnić, Ŝe strumień masy w procesie dyfuzji zaleŜy od:
1
dn( x)
jD = − l v
3
dx
współczynnik 1
dyfuzji D =
1 kT
8kT
l v =
3
3 2σ p π m
x
1
j ( x, t ) = < v > [n' ( x − λ , t ) − n' ( x + λ , t )]
6
Gradient koncentracji w kierunku x.
Ogólniej gradient koncentracji jest
wektorem i definiowany jest w trzech
wymiarach:
 ∂n ∂n ∂n 
∇n =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 
<l> – średnia droga swobodna (jaką przebywa
molekuła bez zderzeń)
<v> – średnia prędkość molekuły
T – temperatura
k – stała Boltzmana
p – ciśnienie
σ – „przekrój” molekuły
3
Zjawiska transportu – dyfuzja (c.d.)
x-λ
dS
Wyjaśnienie:
x+λ
ZałóŜmy (dość nieprecyzyjnie ale...) Ŝe cząsteczki poruszają się
• ze średnia prędkością <v>
• w kierunkach „+” i „-” w trzech wymiarach x,y,z (jest więc 6
moŜliwości ruchu, zatem średnio 1/6 cząsteczek porusza się w
kierunki +x)
W chwili t z warstwy przy x + λ średnio tyle molekuł
1
n( x + λ , t ) < v >
6
x
na sek. przekroczy powierzchnię dS w kierunku −x
Podobnie z warstwy przy x - λ średnio tyle molekuł
1
n( x − λ , t ) < v >
6
na sek. przekroczy powierzchnię dS w kierunku +x
Zatem netto w kierunku +x:
j D ( x, t ) =
1
< v > [n( x − λ , t ) − n( x + λ , t )]
6
4
Zjawiska transportu – dyfuzja (c.d.)
x-λ
dS
Dla bardzo małego λ moŜna przyjąć, Ŝe λ = dx oraz zastosować
uproszczenie (rozwinięcie w szereg Taylora)
 ∂n( x, t ) 
n( x ± λ , t ) = n( x, t ) ± λ 
 + ...
∂
x


x+λ
Wstawiając powyŜsze ustalenia otrzymujemy:

1
 ∂n( x, t ) 
 ∂n( x, t ) 
< v > n ( x, t ) − λ 
−
n
(
x
,
t
)
−
λ


 ⇒
6
 ∂x 
 ∂x 

MoŜna takŜe załoŜyć, Ŝe λ odpowiada średniej
j D ( x, t ) =
x
drodze swobodnej <l>
j D ( x, t ) = −
< v > < l >  ∂n( x, t ) 


3
∂
x


j D ( x, t ) = − D
dn( x, t )
dx
5
Zjawiska transportu – transport energii –
przewodnictwo cieplne
T1
T
Przepływ ciepła od ciała o wyŜszej temperaturze do ciała o
niŜszej temperaturze
Cząsteczki gazu znajdujące
się bliŜej ciała o wyŜszej
temperaturze mają większą
energię kinetyczną
W wyniku zderzeń między
cząsteczkami gaz będzie
jednak dąŜył do równowagi,
T2
gdyŜ cząstki szybsze będą
jQ
przekazywać cześć swojej
energii cząstkom
wolniejszym. Towarzyszyć
temu będzie przewodnictwo
x
cieplne – transport energii
warunek T1>T2
6
Zjawiska transportu – transport energii –
przewodnictwo cieplne (c.d.)
T1
T
T2
jQ
Ilość ciepła przepływająca przez jednostkę
powierzchni w ciągu jednostki czasu w
kierunku x definiuje nam strumień ciepła − ma
wymiar J/(m2s)
Postępując podobnie jak w przypadku
zagadnienia dyfuzji (tylko zamiast zmiennej
koncentracji n analizujemy zmiany średniej
energii ruchu cieplnego <E>) otrzymujemy:
x
dT ( x)
gdzie
(prawo Fouriera)
jQ = − χ
<l> – średnia droga swobodna (jaką
dx
przebywa molekuła bez zderzeń)
gdzie
<v> – średnia prędkość molekuły
n < v >< l > ik 
=
χ
 
T – temperatura
3
T 
k – stała Boltzmana
χ − współczynnik przewodnictwa
- jest pojemnością cieplną gazu
cieplnego (wymiar J/(s K m))
 i k  doskonałego c przypadającą na jedną
 
v
 T  cząstkę
T – temperatura (K)
-i
– liczba stopni swobody
7
Zjawiska transportu – transport pędu – lepkość
z
u1=u0
jp
u2=0
Płyn wypełnia przestrzeń miedzy
płytkami
Dolna płytka spoczywa, górna porusza
się z prędkością dryfu u0
Na skutek działania sił adhezji cienka
warstwa płynu przy górnej płytce
będzie „porywana”
u
Niektóre cząstki z tej warstwy będą
wpadały do warstwy poniŜej. Będą w ten
sposób przekazywać część swojego pędu
tej warstwie wprowadzając ją w ruch (i
odwrotnie – część cząstek z
wolniejszej,dolnej warstwy wpadać będzie
do warstwy górnej częściowa ją
spowalniając)
W ten sposób następuje stopniowe
przekazywanie pędu od warstwy górnej do
dolnej
8
Zjawiska transportu – transport pędu – lepkość
u1=u0
u2=0
średni przyrost składowej z pędu
płynu (w ciągu jednostkowego czasu
na jednostkę powierzchni)
znajdującego się powyŜej rozwaŜanej
płaszczyzny moŜna oszacować jako:
jp = −η
du ( z )
dz
Warstwa poruszająca się szybciej
działa siłą przyspieszającą na
warstwę gazu która porusza się
wolniej – i odwrotnie
z
jp
u
Postępując podobnie jak w przypadku
zagadnienia dyfuzji (tylko zamiast
zmiennej koncentracji n analizujemy
zmiany prędkości warstw u)
otrzymujemy:
η=
(prawo Newtona)
η− współczynnik lepkości (wymiar Pa s)
u – prędkość dryfu warstwy
nm < v >< l >
3
gdzie :
<l> – średnia droga swobodna (jaką
przebywa molekuła bez zderzeń)
<v> – średnia prędkość molekuły
m – masa cząstki
9