nr 7

Cyfry różnych narodów i epok1
Spis treści
Spis treści ...................................................................................... 1
Nasi przodkowie-Słowianie(wpływ kultury z Bizancjum) posługiwali
się słowiańską dziesiętną numeracja alfabetyczną, podobną do
jońskiej. Nad literami(liczbami) stawiali specjalny znak tytło.
Cyfry różnych narodów i epok.............................................. 2
Pitagoras - twórca nauki o liczbie ....................................... 3
Liczby doskonałe ................................................................................. 4
Matematyka w poezji ................................................................ 5
Konkursy ........................................................................................ 6
Rebus............................................................................................... 6
Krzyżówki
.......................................................................................... 7
Łamigłówki logiczne ............................................................................. 8
Rozwiązanie zadań konkursowych ..................................... 9
Zadani miesiąca .................................................................................. 9
Łamigłówki logiczne ........................................................................... 11
Słowniczek dużych problemów........................................... 13
Zależności między jednostkami pola ...................................................... 13
Pola trójkąta ..................................................................................... 13
Samouczek zadaniowy............................................................ 14
Analfabetyzm matematyczny.............................................. 17
Słowianie wschodni, Rusowie, mieli dwa rachunki:
• „małą liczbę”
10 000-ćma
100 000-legion,
1 000 000-leader
• „dużą liczbę”
103-tysiacza,
106-ćma
1012-legion
1024-leader
1048-woron
1049-kołoda
Liczby nieskończone ........................................................................... 17
1
1
Stanisław Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy”
2
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą
wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb
są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik
właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:
D6={1,2,3}
1+2+3=6
D28={1,2,4,7,14}
1+2+4+7+14=28
D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
Do oznaczenia innych liczb korzystano z liter alfabetu „cyrylicy”,
który oparty jest na alfabecie greckim
Pitagoras - twórca nauki o liczbie
Pitagoras pochodził z wyspy Samos. Był jednym z największych
matematyków starożytności. W Krotonie spędził najbardziej twórczy
okres swojego życia. Tam założył szkołę filozoficzno - religijną
zwaną bractwem krotońskim lub tajnym bractwem. Uczniowie jego
otaczali go wielkim szacunkiem. Obowiązywało ich bezwzględne
posłuszeństwo i zachowanie w tajemnicy zdobywanej wiedzy.
Pitagoras mówił: ,,zachowaj milczenie dotąd, aż nie zdołasz
powiedzieć czegoś, co byłoby pożyteczniejsze od milczenia".
Pentagram(gwiazda pitagorejska) był umiłowaną figurą
pitagorejczyków. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i
wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku. Ten, kto chciał
należeć do związku pitagorejczyków, przechodził okres prób. njpierw
przez wiele lat musiał być tzw. akusmatykiem (który po odbyciu
nowicjatu mógł stać się pełnoprawnym członkeim bractwa
krotańskiego). Oto jedna z ciekawostek z życia i działalności
Pitagorasa oraz jego uczniów. Przez 5 lat zachowywali milczenie,
słuchali tylko wykładów uczonego, ale go nie oglądali do chwili, aż
wykazali się znajomością jego nauki. Dopiero od tej pory
przychodzili do jego domu i mogli go widzieć.
Pitagoras nauczał, że liczba rządzi nie tylko miarą i wagą, ale
wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie, że jest treścią
harmonii panującej we wszechświecie. Przyjąwszy taki pogląd,
poświęcił się całkowicie rozważaniom nad liczbą. Podzielił liczby na
dwie grupy: parzyste - symbolizujące zło, nieparzyste symbolizujące dobro i piękno.
3
Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni
Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni
komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego
sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie
obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni
Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przełomie I i II wieku
Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i
piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb
doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście Euklides zauważył, że liczby
postaci 2p-1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą.
Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną,
piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to
33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał,
że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną
przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe.
Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz
pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano
ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono
w 2001 roku.
Dominika Pacholska IIId
4
Matematyka w poezji
***
Ułamek jest Bogiem,
a procent nałogiem,
mnożenie zabawą,
a dodawanie podstawą.
niektóre trudne,
niektóre żmudne.
Lecz wszystkie szybko wchodzą nam do głowy,
bo jesteśmy mądrzejsi od sowy.
Żaneta Kuś Ib
Ułamek skróciłam,
procenty wymnożyłam,
nad mnożeniem się zamyśliłam
i fajne chwile przeżyłam.
Konkursy
Rebus
***
Wiem, że szkoła Ci zabrania
ściąg, na matmie stosowania
jeśli jednak chcesz żyć zdrowo
ściągę zrób musowo.
***
Nie polski, ani nie fizyka,
lecz nasza kochana matematyka!
Mnożenie, potęgowanie, dodawanie,
bo się robi niezapomnianie!
Lecz każdy u nas umie
i każdy zadnie dzięki Pani Różańskiej rozumie!
bez problemu każdy zadanie rozwiązuje,
bo się boi, ze w szkole dostanie dwóje!
Iza Rosiak Ic
HASŁO ............................................................
Agata Litwa Ib
***
Ach te sumy algebraiczne
sposoby rozwiązywania ich są liczne.
Czasami mamy z nimi problemy
jak najwięcej zapamiętać chcemy.
Czasami minusy nam umykają,
ale szybko wracają.
Sumy algebraiczne są różne,
te niektóre są próżne,
5
6
Krzyżówki
Łamigłówki logiczne2
Rozwiąż krzyżówkę wpisując do niej cyframi arabskimi
Restauracja
Trzej panowie zjedli obiad w restauracji. Rachunek opiewał na 25
funtów.
Każdy z nich dał kelnerowi 10 funtów, a kelner wydał im 5
funtów reszty. Następnie każdy dał kelnerowi jednego funta
napiwku. Zatem każdy z nich zapłacił za posiłek 9 funtów. Ponieważ
3 * 9 funtów = 27 funtów
+2 funty reszty
= 29 funtów
więc powstaje pytanie: gdzie się podział brakujący funt?
Szczęśliwa karta
W pewnym konkursie każdy uczestnik dostaje kartę z pewna liczba
obrazków typu „zdrapka”. Jeden obrazek ma podpis „Przegrałeś”.
Tylko dwa obrazki są jednakowe. Uczestnik odsłania obrazki w
dowolnej kolejności. Jeżeli dwa jednakowe obrazki pojawia się
wcześniej niż „Przegrałeś” – uczestnik wygrywa nagrodę. Szansa
wygranej jest jak 1 do 2.
Ile obrazków jest na karcie?
Szachy
Szachista musi wygrać dwie kolejne partie, żeby zdobyć nagrodę. Ma
do rozegrania w sumie trzy partie, z przeciwnikami na przemian
mocnymi i słabymi.
Jaki układ jest dla niego bardziej korzystny?
mocny – słaby – mocny
czy
słaby – mocnysłaby ?
2
7
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
8
Rozwiązanie zadań konkursowych
2
Zadani miesiąca
marzec
Rozwiąż równanie
 11

810
 − 2 • 8 + 4 7 * 9 x − 8 * x  : 4 7 = −3 2
4


rozwiązanie
3 10
 11 3

 − 2 • 2 + 22 7 * 9x − 2
 : 2 2 7 = −3 2
*
x
8


22


30
 14

2
 − 2 + 214 * 9 x − 16 * x  : 214 = −3 2
2


( )
( )
( )
28x+2 = 2 x * 4
2
28 x+2 = 2 x * 2 2
2
28 x+2 = 2 x +2
8x + 2 = x 2 + 2
8x = x 2
8x − x 2 = 0
x(8 − x) = 0
x=0 lub x-8=0
x=8
( )
maj
Mała i duża wskazówka zegara o godzinie trzeciej tworzy kąt prosty. O
której godzinie wskazówki utworzą kąt prosty następnym razem?
Rozwiązanie zadani
 14

2
 − 2 + 214 * 9 x − 16 * x  : 214 = −9
2


30
(− 2
14
)
+ 214 * 9 x − 214 * x : 214 = −9
− 1 + 9 x − x = −9
8 x = −9 + 1
8 x = −8
x = −1
Dane:
V1 - prędkość dużej wskazówki
V2 - prędkość małej wskazówki
t - czas(min),który upłynie od trzeciej do czasu spotkania
S 1 + S 2 = 180 ο
360 0
60
V1 =
=
60 min min
360 0
360 0
0,5 0
V2 =
=
=
12 godz 720 min min
.
V1 t + V 2 t = 180 ο
1
t = 180 ο
2
1
5 t = 180 ο
2
6t −
t = 180 ο :
Kwiecień
Rozwiąż równanie
t = 32
2
11
8
min
11
2
28x+2 = 2 x * 4
Następnym razem wskazówki utworzą kat prosty kilka minut po w pół do
czwartej.
rozwiązanie zadania
9
10
Łamigłówki logiczne3
Tam i z powrotem
Pewien człowiek prowadzi psa na smyczy w stronę domu, ze stałą
prędkością 4 mil na godzinę. W odległości 10 mil od domu pies
zostaje spuszczony ze smyczy i natychmiast biegnie do domu z
prędkością 6 mil na godzinę. Po dotarciu na miejsce pies zawraca i
biegnie do pana z tą samą prędkością. Dobiegłszy do pana, znowu
zawraca w kierunku domu. Sytuacja taka powtarza się, aż w końcu
właściciel psa dociera do domu i wpuszcza psa do środka
Ile mil przebiegnie pies od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili
wejścia do domu?
ROZWIĄZANIE:
15 mil.
Właściciel psa potrzebuje 2,5 godziny na przejście 10 mil z
prędkością 4 mil na
godzinę. Tak więc pies przez 2,5 godziny bez przerwy biega z
prędkością 6 mil na godzinę, pokonując dystans 15 mil.
Trzecie co do wieku dziecko ma jedną starszą i jedną młodszą
siostrę.
Czwarte co do wieku dziecko ma młodszego brata.
Najmłodsze z dzieci ma trzech braci.
Jeszcze dwie sprawy dodatkowe: nie mam bliźniąt, wszystkie zaś
informacje o moich dzieciach jednej płci są prawdziwe, ale o
dzieciach drugiej płci- fałszywe.
Jakiej płci jest każde z dzieci tej pani i jaka jest kolejność ich
starszeństwa?
Odp.: kolejno od najmłodszego dziecka: syn, syn, córka, córka,
córka.
Ziemniaki
Ile wazy ten worek ziemniaków? – zapytał klient.
50 funtów, dzielone przez połowę jego wagi – odparł sprzedawca.
Ile ważył worek ziemniaków?
ROZWIĄZANIE:
10 funtów.
50/5 = 10
Stopnie
W jaki sposób przelicza się stopnie Fahrenheita na stopnie Celcjusza
i odwrotnie?
ROZWIĄZANIE:
X- stopni Fahrenheita to (x – 32) * 5/9 stopni Celsjusza.
Y – stopni Celsjusza to y * 9/5 + 32 stopni Fahrenheita.
Temperatura –40 jest jedyną, która wyraża się tak samo w
stopniach Fahrenheita i Celsjusza.
Córki i synowie
Pewna pani powiada:
Mam pięcioro dzieci, w tym co najmniej jedną córkę i co najmniej
jednego syna. Oto pięć informacji o moich dzieciach:
Najstarsze z dzieci jest innej płci niż najmłodsze.
Drugie co do wieku dziecko ma trzy siostry.
3
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
11
12
Słowniczek dużych problemów
Samouczek zadaniowy
Zależności między jednostkami pola
Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Częstym błędem, który popełniają uczniowie jest zamiana jednostek
z centymetrów na centymetry kwadratowe i sześcienne. Bezmyślnie
piszemy, że np. 1dm2 = 10cm2, bo
1dm = 10cm. W gruncie rzeczy jest to dobra metoda uchronienia się
od niepoprawnych zamian. Wystarczy, gdy zapamiętamy, że jest to
błąd.
Możemy zwrócić uwagę, że wykładnik przy nazwie jednostki oznacza
tu
potęgowanie: 1dm2 = (10cm)2 = 100cm2. Najlepiej jednak utrwalić
sobie w pamięci obraz kwadratu o boku 1dm pociętego na 10x10 =
100 kwadratów o boku 1cm. Inną metodą na rozwiązanie tego
problemu jest szacowanie i obliczanie powierzchni przedmiotów,
które znajdują się wokół. Jeśli np. będziemy mieć świadomość, że
powierzchnia dłoni to około 150cm2, to nie powinniśmy zamienić
1m2 = 100cm2.
Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły sprawia uczniom
bardzo dużo kłopotu.
Chcemy zamienić ułamek 0,12(3) na ułamek zwykły.
Oznaczmy:
x = 0,12(3)
x = 0,12333... /• 1000
Wtedy:
1 000 x = 123,333...
100 x = 12,333...
1 000x – 100x = 123,333...- 100x od obu stron równania
1 000x – 100x = 123,333...- 12,333... odejmujemy 100x
900x = 111 /: 900
x=
Pola trójkąta
Sporo kłopotów sprawia nam także rysowanie wysokości w trójkącie.
Dobrą metodą są trójkąty wycięte z kartonu. Mając taki model nie
mamy problemu ze wskazaniem położenia wysokości.
Trójkąt powstaje z podzielenia równoległoboku (czasami prostokąta)
na połowę. Obliczamy wtedy połowę pola czworokąta. Możemy
wyciąć dowolny równoległobok (prostokąt), przeciąć go na pół
wzdłuż przekątnych i wtedy obliczyć pole powstałej figury.
Pamiętajmy, że bok i odpowiadająca mu wysokość w trójkącie
muszą być do siebie prostopadłe.
Zatem 0,12(3)=
111
;
900
111
900
Jakim ułamkiem jest 0,(4)?
Oznaczmy:
x = 0,(4)
x = 0,444... /• 10
1 0x = 4,444...
1 0x – x = 4,444...- x
9x = 4,444...- 0,444...
9x = 4 /: 9
Paulina Muchlewicz IIId
x=
Zatem 0,(4)=
13
od obu stron równania
4
;
9
4
;
9
14
odejmujemy x
Podobnie wyznaczamy ułamek o rozwinięciu dziesiętnym okresowym
0,(15)
3,34(5) = 3
345 − 34
311
=3
900
900
Oznaczmy:
5,32(345) = 5
x = 0,(15)
x = 0,1515... /• 100
Wtedy:
1 00x = 15,1515...
od obu stron równania
1 00x – x = 15,1515...- x
odejmujemy x
0, (2) =
99x = 15,1515...- 0,1515...
99x = 15/: 99
x=
Zatem 0,(15)=
5
;
33
x=
32345 − 32
32313
=5
99900
99900
15
;
99
5
;
33
Inny(łatwiejszy i szybszy) sposób zamiany ułamka okresowego na
2
9
0, (125) =
125
999
2, (13) = 2
13
99
Przy zamianie na ułamek zwykły ułamka okresowego, którego okres
zaczyna się zaraz po przecinku możemy korzystać również ze wzoru
a=
< liczba stojąca w okresie >
< tyle dziewiązie , ile jest cyfr w okresie >
Długość okresu ułamka okresowego jest zawsze mniejsza od
mianownika ułamka zwykłego równego danemu ułamkowi
okresowemu.
ułamek zwykły.
Redakcja
Ułamek okresowy zapisujemy z użyciem nawiasu, 0,12(3) i
przedstawiamy go w postaci ułamka zwykłego, w który
- licznik - otrzymujemy przez odjęcie od liczby stojącej po
przecinku (łącznie z cyframi w nawiasie)123 liczby
utworzonej ze wszystkich cyfr przed nawiasem 12
- mianownik: tworzy liczba złożona z tylu dziewiątek, ile jest
cyfr w nawiasie (okresie) i tylu zer, ile jest cyfr przed
nawiasem (przed okresem) 900.
Np.
123 − 12 111
=
900
900
234 − 2 232 116
0,2(34) =
=
=
990
990 495
0,12(3) =
15
16
Analfabetyzm matematyczny4
Liczby nieskończone
Nieskończoność- podstawowa wartość liczb, zwana także zasadą
Archimedesa, mówi na, że każdą z liczb, dowolnie dużą, można
przekroczyć, dodając do niej odpowiednio wiele razy dowolną liczbę,
choćby bardzo małą.
Powyższa zasada spowodowała słynne stwierdzenie Archimedesa, że
mógłby sam unieść Ziemię, gdyby tylko miał odpowiednio długą
dźwignię, punkt podparcia i miejsce, w którym mógłby stanąć.
Zdumiewające swoją wielkością piramidy budowano, kamień po
kamieniu, przez okres wielu tysięcy lat. Podobne obliczenia
przeprowadził Archimedes, szacując liczbę ziaren piasku
potrzebnych do wypełnienia nieba i ziemi. Grecki matematyk
interpretując „niebo i ziemię” jako kulę wokół ziemi, zauważył, że
liczba ziaren piasku potrzebnych do jej wypełnienia zależy od
promienia kuli i grubości ziaren. Załóżmy, że sześć ziaren w rządku
zajmuję jeden centymetr, to w centymetrze kwadratowym mamy
6*6ziaren, a w centymetrze sześciennym- 63 ziaren. Daje to 63*1015
ziaren na kilometr sześcienny. Ponieważ objętość kuli o promieniu r
wynosi
Porównywalnie małą jednostką czasu jest okres, w jakim światłoporuszając się z prędkością 3000000 kilometrów na sekundęprzebiega drogę równą długości krawędzi naszego sześcianu, czyli
10-13cm. Przyjmując, że Wszechświat ma 15 miliardów lat, możemy
obliczyć, że od jego początku upłynęło mniej niż 1042 naszych
jednostek. Zatem każdy problem wymagający więcej niż 1042 kroków
obliczeniowych pochłonąłby więcej czasu, niż wynosi wiek
Wszechświata.
Joanna Wasik kl. IIId
πr3, liczba ziaren piasku wypełniających kulę o promieniu
1,6 biliona kilometrów jest równa π*16000000000003*63*1015. Jest
to około 1054 ziaren.
Współczesna wersja przykładu z piaskiem polega na obliczeniu
liczby cząstek elementarnych, które wypełniłyby cały Wszechświat.
Liczba te pełni role „praktycznej nieskończoności” dla problemów
obliczeniowych.
Nasz Wszechświat jest kulą o średnicy około 40 miliardów lat
świetlnych. Aby uprościć obliczenia, załóżmy, że jest to sześcian o
takiej krawędzi. Protony i neutrony mają około 10-12 centymetrów
średnicy. Zadając sobie pytanie: Ile sześcianów o krawędzi 10-13
centymetra (
średnicy nukleonów) zmieści się we Wszechświecie?
Prosty rachunek daję liczbę mniejszą od 10125. Wynika stąd, że
nawet gdyby komputer był wielki jak Wszechświat, a jego części były
mniejsze od nukleonów, nie mogłyby ich być mniej niż 10125 .
4
J.A. Paulos „Analfabetyzm matematyczny i jego skutki”
17
18