1.3. Liczby rzeczywiste.

1.3. LICZBY RZECZYWISTE
Zbiór liczb niewymiernych : NW – zbiór liczb, które nie są liczbami wymiernymi
Przykład 1.3.1. Podaj przykłady liczb niewymiernych.
Rozwiązanie
Komentarz
Liczb tych nie moŜna przedstawić w postaci
ułamka zwykłego , w którym licznik i mianownik
są liczbami całkowitymi.
π
3
5 2 −7
Przykład 1.3.2. Wymień wszystkie liczby całkowite większe od 13 i mniejsze od 130 .
Rozwiązanie
13 = 3,6
130 = 11,4
Odp. : 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11
Komentarz
Liczby 13 i 130 przedstawiamy w
przybliŜeniu do 0,1
Wypisujemy liczby całkowite większe od
mniejsze od
13 i
130 .
Zbiór liczb rzeczywistych: R – wszystkie liczby wymierne i niewymierne
KaŜdą liczbę wymierną moŜna przedstawić w postaci dziesiętnej skończonej
3
( np. = 0,75 )
4
1
lub w postaci dziesiętnej nieskończonej okresowej ( np. = 0,3333... = 0, (3) )
3
KaŜdą liczbę niewymierną moŜna przedstawić w postaci dziesiętnej nieskończonej
nieokresowej
( np. 2 = 1,4142135...
3 1
π
4
,1 , 48 , , 5 mają rozwinięcie dziesiętne skończone
11 2
2
9
lub nieskończone okresowe.
Przykład 1.3.3. Które z liczb:
5
4
=
9
Odp.:
Rozwiązanie
49 7
=
9
3
Komentarz
Rozwinięcie dziesiętne skończone lub
nieskończone okresowe mają liczby wymierne .
3 1
4
,1 , 5
11 2
9
Przykład 1.3.4. Ułamek dziesiętny 0,0802 przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka
zwykłego
Rozwiązanie
802
=
10000
802
401
=
=
10000 / :2 5000
0,0802 =
Komentarz
Zamieniając ułamek dziesiętny na zwykły , w
mianowniku wstawiamy potęgę 10 z taką ilością
zer ile jest cyfr po przecinku.
Ułamek
802
skracamy przez 2.
10000
Przykład 1.3.5. Ułamek okresowy 0,3(45) zamień na ułamek zwykły.
Rozwiązanie
x = 0,3454545...
x = 0,3454545... /⋅ 1000
1000 x = 345,4545...
x = 0,3454545... /⋅ 10
10 x = 3,454545...
1000 x − 10 x = 345,4545... − 3,4545...
990 x = 342 / : 990
342
x=
990 / :6
57
x=
165
57
Odp. 0,3(45) =
165
Komentarz
Oznaczamy przez x dany ułamek okresowy.
Obie strony równania mnoŜymy przez 1000, aby
przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem
okresu.
Obie strony pierwszego równania mnoŜymy przez
10, aby przecinek znalazł się przed wystąpieniem
okresu.
Wykonujemy odejmowanie i obliczamy x.
ĆWICZENIA
2
1 −6
π

Ćwiczenie 1.3.1. Ze zbioru: 7;− 9 ;0;−1;− ;1, (3);1 ;
,2 2 ; 
1
2 −1
5

wybierz liczby:
a) (1pkt.) naturalne,
b) (1pkt.) całkowite ujemne,
c) (1pkt.) wymierne dodatnie,
d) (1pkt.) niewymierne.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Wypisanie wskazanych liczb z danego zbioru.
1
1 − 1,125 : 0,75
Ćwiczenie 1.3.2. (1pkt.) Wykonaj działania: 3
.
2

 0,25 +  ⋅ 0,5
3

schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
odpowiedzi
1
Podanie wyniku.
Liczba punktów
1
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 1.3.3. (1pkt.) Ułamek okresowy 0, (345) zamień na ułamek zwykły nieskracalny.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie ułamka zwykłego nieskracalnego.
1
1