Pisula 2008 - Politechnika Rzeszowska

Grzegorz Mentel, Tomasz Pisula
Analiza skuteczności wybranych
nieparametrycznych metod obliczania VaR
Wstęp
Bardzo często jako narzędzia oceny ryzyka inwestowania w akcje wykorzystuje się metody oparte o analizę szeregów czasowych. Ryzyko inwestowania na giełdzie, a w szczególności inwestowania w papiery wartościowe,
jakimi są akcje notowanych spółek, wynika oczywiście ze zmienności ich kursów. Stąd teŜ przy ocenie ryzyka bardzo waŜne jest właściwe oszacowanie tej
przewidywanej zmienności.
Ponadto inwestor giełdowy - który inwestuje bardzo często duŜe pieniądze w akcje spółek swojego portfela - zainteresowany jest, aby moŜliwie z
jak największą dokładnością znane mu było maksymalne ryzyko jego potencjalnych strat. Ryzyko to wyraŜane jest bardzo często wartością maksymalnych
moŜliwych strat, jakie inwestor moŜe ponieść w wartości swojego portfela inwestycyjnego w najgorszym, zakładanym scenariuszu.
Na tej zasadzie opiera się bardzo popularna ostatnio, a wyŜej opisana
metoda oszacowania ryzyka inwestowania na rynkach finansowych, polegająca
na oszacowaniu tzw. „wartości portfela naraŜonej na ryzyko”, a z angielskiego
zwana VaR (Value at Risk).
W metodzie tej szacuje się maksymalne potencjalne straty w wartości
portfela w zakładanym horyzoncie czasowym (np. jednodniowym, tygodniowym) w taki sposób, Ŝe prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe straty te będą jeszcze większe jest bardzo małe (równe przyjętemu poziomowi tolerancji).
Ogólnie metody oszacowania VaR moŜemy podzielić na dwa rodzaje:
metody symulacyjne (głównie symulacja historyczna i symulacja Monte Carlo)
oraz metody analityczne (oparte na róŜnego rodzaju modelach, opisujących
„zachowanie się” instrumentów finansowych w portfelu inwestycyjnym).
Pamiętać jednak naleŜy, iŜ większość z tych metod wymaga załoŜenia, Ŝe
zwroty brane pod uwagę posiadają pewien rozkład prawdopodobieństwa. PoniewaŜ załoŜenie tego typu moŜe okazać się czasem zgubne, gdyŜ często bardzo
1
trudno jest dopasować jakiś rozkład, zwłaszcza jeśli mamy do czynienia z wartościami „grubo ogonowymi” sięga się czasem po metody, które w swej strukturze nie wymagają tego typu warunków.
1. Symulacja historyczna
W metodzie symulacji historycznej dla szacowania VaR korzysta się z
rzeczywistych danych, co sprawia, Ŝe lepiej niŜ metoda kowariancji odzwierciedla rzeczywiste zachowania się rynku. Główną zaletą tej metody jest to, Ŝe
jest to metoda nieparametryczna. Oznacza to, Ŝe z jednej strony nie ma
tu ograniczeń wynikających z konieczności przyjęcia załoŜenia normalności,
z drugiej strony unika się szacowania niektórych parametrów (takich jak np.
średnia czy odchylenie standardowe) na podstawie danych historycznych.
W przypadku występowania „grubych ogonów” w rzeczywistym rozkładzie cen, metoda symulacji historycznej daje bardziej wiarygodny poziom
VaR. Zaletą symulacji historycznej jest takŜe to, Ŝe w odróŜnieniu od pozostałych metod jest prostsza w oszacowaniu.
Podejście historyczne jest bardzo intuicyjną metodą szacowania Value at
Risk. Wyznacza się ją na podstawie historycznych stóp zwrotu danego instrumentu (lub portfela) i empirycznego ich rozkładu. WaŜne jest to, aby stopy
zwrotu były obliczane na okres, na jaki jest obliczany VaR (jeŜeli więc horyzont
inwestycyjny jest jednodniowy to stopy zwrotu powinny być wyznaczane codziennie). Następnie z rozkładu tych zwrotów porządkuje się i odczytuje się
odpowiedni p-kwantyl aby otrzymać wartość VaR.
Stosując model historyczny naleŜy zebrać duŜą serię danych. Czym
większa ich liczba, tym większa dokładność, jednak dane bardzo odległe są
często nieaktualne i nie tak samo waŜne jak dane mniej odległe. Czasami zebranie wystarczającej liczby danych jest niemoŜliwe i stosowanie tej metody jest
wtedy ograniczone.
Ten sposób obliczania VaR jest wraŜliwy na ekstremalne stopy zwrotu
uwzględniane w rozkładzie. W wyniku czego wielkość Value at Risk zmienia
się w sposób „schodkowy” i wielkość ryzyka jest często niedoszacowana bądź
przeszacowana.
Model historyczny zakłada, Ŝe kształtowanie się ryzyka jest zdeterminowane historycznym jego zachowaniem.
2. Metoda semiparametryczna EKT
Metoda EKT jest modyfikacją metody historycznej. Jest to metoda bazująca na teorii wartości ekstremalnych zajmującej się rozkładami prawdopodo-
2
bieństwa mającymi grube ogony1. Jest to dość istotne załoŜenie, gdyŜ mimo
powszechnie stosowanego podejścia, iŜ rozkłady stóp zwrotu instrumentów
finansowych mają tzw. warunkowy rozkład normalny, w rzeczywistości jednak
obserwacje ekstremalne wykluczają tego typu załoŜenia. W praktyce większe
zastosowanie mają rozkłady bardziej wyłapujące obserwacje odstające niŜ czyni
to wyŜej wspomniany rozkład. DuŜo lepsze bowiem w tym zakresie jest modelowanie stóp zwrotu chociaŜby rozkładem GARCH (1,1) czy teŜ t-Studenta2.
W omawianej metodzie, zgodnie z definicją wartości zagroŜonej, badamy
lewy ogon rozkładu zwrotów z portfela, czyli wszystkie ujemne wartości zwrotów. Następnie wartości tych zwrotów mnoŜymy przez -1 otrzymując tym samym wartości dodatnie. Sortujemy wartości tych zwrotów: r1 ≥ r2 ≥ … ≥ rM ≥
… ≥ rL, gdzie L jest ilością obserwacji z lewego ogona rozkładu zwrotów, natomiast M jest wskaźnikiem progowym, dla którego wszystkie wartości rj,
j=M+1, …, L są o wiele mniejsze od pozostałych wartości rj, j=1, …, M3.
Wyznaczenie wartości progowej rM dokonuje za pomocą wykresu
QQ-plot, który bardzo dobrze obrazuje, które obserwacje są powyŜej, a które
poniŜej wartości progowej. Dla przykładu w dniu 11.12.2006 r. wykres QQ-plot
dla spółki Toora przedstawiał się jak na rysunku 1.
Wzór na estymator dla ogona rozkładu jest następujący:
1
M  rM +1  α
1− p =

 , x > rM +1
L  x 
gdzie:
p – kwantyl rozkładu,
α – estymator Hilla określony następującym wzorem:
1 M −1
α=
∑ ln ri − ln rM
M i =1
Z powyŜszego otrzymuje się wzór na wartość naraŜoną na ryzyko:
(1)
(2)
α
 M 
 ⋅ T
VaR = −rM +1 ⋅ 
 L(1 − p ) 
(3)
gdzie:
T – czas w jakim decydujemy się trzymać nasze akcje.
1
Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR – a measure for the extreme risk, Munich University of Technology, 1999.
22
Mentel G., Ocena skuteczności szacowania ryzyka za pomocą metod VaR na polskim
rynku kapitałowym, Praca doktorska, Uniwersytet Szczeciński, 2006.
3
Talar P., Weron A., Metody nieparametryczne obliczania VaR, Rynek Terminowy,
nr 14/4/01, s. 60 i dalsze.
3
Rys. 1. Wykres QQ-plot dla zwrotów spółki Toora w dniu 11.12.2006 r.
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
Zwroty
Regresja
0,03
0,02
0,01
0,00
-0,01
0
20
40
60
80
100
Źródło: Opracowanie własne.
3. Empiryczna ocena skuteczności
nieparametrycznych metod obliczania VaR
W celu zbadania efektywności i skuteczności prognoz dla wartości zagroŜonej obliczonych z wykorzystaniem omawianych metod nieparametrycznych (metody EKT oraz klasycznej metody symulacji historycznej) przeprowadzono badania empiryczne weryfikujące jakość uzyskanych oszacowań.
Wykorzystując test liczby przekroczeń przeprowadzono testowanie
wsteczne dla obliczonych prognoz wartości zagroŜonej VaR dla kursów 12
spółek giełdowych4 notowanych na GPW w Warszawie działających na Podkarpaciu. Dla kaŜdej spółki wyznaczono tzw. „kroczące” prognozy wsteczne
dla wartości zagroŜonej VaR dla zwrotów na poziomie tolerancji α=5%, przyjmując horyzont prognozy T=1 dzień, T=5 dni (prognozy tygodniowe) oraz
T=21 dni (prognozy miesięczne). Przykład tego typu prognoz został zobrazowany na rysunku 2.
4
Assecopol, Beef-San, Dębica, Krosno, Polna, Ropczyce, Sanwil, ŚnieŜka, Sanok,
Śrubex, Toora, Zelmer.
4
Rys. 2. Wartości Value at Risk dla zwrotów spółki Ropczyce w przekroju rozpatrywanych metod (T=5 dni).
0,4
0,3
VaR D (T=5) Hist
VaR D (T=5) EKT
Zwroty (5 dni)
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
01/04/1999
03/01/1999
04/28/1999
06/28/1999
08/23/1999
10/18/1999
12/16/1999
02/15/2000
04/11/2000
06/13/2000
08/09/2000
10/05/2000
12/01/2000
01/31/2001
03/28/2001
05/29/2001
07/25/2001
09/20/2001
11/16/2001
01/17/2002
03/14/2002
05/15/2002
07/11/2002
09/06/2002
11/04/2002
01/06/2003
03/03/2003
04/30/2003
06/27/2003
08/25/2003
10/20/2003
12/16/2003
02/16/2004
04/14/2004
06/11/2004
08/06/2004
10/01/2004
11/30/2004
01/25/2005
03/22/2005
05/23/2005
07/19/2005
09/14/2005
11/10/2005
01/09/2006
03/06/2006
05/05/2006
07/03/2006
08/29/2006
10/24/2006
12/20/2006
02/19/2007
04/18/2007
06/18/2007
08/13/2007
10/09/2007
12/05/2007
02/06/2008
-0,3
Źródło: Opracowanie własne.
Efektywność obliczonych prognoz wstecznych zbadano z wykorzystaniem testu liczby przekroczeń, dla którego statystyka testowa obliczana jest ze
wzoru5:
X − N ⋅α
(4)
Z=
N ⋅ α ⋅ (1 − α )
gdzie:
X – liczba przekroczeń prognozowanych granic VaR dla analizowanej metody,
N – liczba prognoz objętych testem wstecznym, α – wymagany poziom tolerancji dla prognozowanych granic VaR.
Statystyka testowa Z dla dostatecznie duŜej wartości N posiada rozkład
normalny standaryzowany. Najczęściej metodę wykorzystaną do obliczania
VaR uznaje się jako nieodpowiednią i naleŜy ją odrzucić, jeŜeli obliczona ze
wzoru (4) wartość statystyki przekracza wartość progową, która jest kwantylem
5
Best P., Wartość naraŜona na ryzyko. Obliczanie i wdraŜanie modelu VaR. Dom Wydawniczy ABC, Kraków 2000, s. (108).
5
rzędu q1−α dla rozkładu N(0,1). Czasami jednak zbyt mała liczba przekroczeń
świadczy o tym, Ŝe prognozowane granice VaR są zbyt obszerne, a zastosowana
w prognozie metoda daje źle skalibrowane prognozy. W tej sytuacji moŜna
wykorzystać test dwustronny, w którym wyznacza się dwie wartości progowe
(odpowiednio − q1−α oraz q1−α ). JeŜeli obliczona ze wzoru (4) wartość statystyki
dla testu liczby przekroczeń − q1−α ≤ Z obl ≤ q1−α , to testowaną metodę uznaje się
za dającą dobrze skalibrowane prognozy i odpowiednią do praktycznych zastosowań. Oczywiście dla Z obl > q1−α metodę tę naleŜy odrzucić jako niewłaściwą
dla praktycznych zastosowań, a dla Z obl < − q1−α przyjąć jako właściwą, ale
dającą zbyt słabo skalibrowane prognozy. Dla testu dwustronnego ufność (wynosząca 1 − 2 ⋅ α ) zapewnia, Ŝe poprawna metoda nie zostanie błędnie odrzucona.
W tabelach (zob. tab. 1 – tab. 3) przedstawiono analizę porównawczą
skuteczności prognoz wstecznych dla wartości zagroŜonej VaR dla kursów badanych spółek i róŜnych horyzontów prognozy (dziennego, tygodniowego i
miesięcznego) obu rozwaŜanych metod nieparametrycznych.
MoŜna zauwaŜyć, Ŝe generalnie metoda EKT daje bardziej skuteczne
prognozy w porównaniu z klasyczną metodą symulacji historycznej. Dla horyzontu prognozy T=1 dzień metoda ta ani razu nie została odrzucona jako niewłaściwa, a dla horyzontów prognozy T=5 dni oraz T=21 dni tylko raz na dwanaście badanych spółek (spółka Toora) test liczby przekroczeń odrzucił ją jako
niewłaściwą. Znacznie gorzej wypada pod tym względem metoda symulacji
historycznej, która była odrzucana jako niewłaściwa w przypadku prognozy 1
dniowej aŜ dwa razy (spółki ŚnieŜka i Toora). W przypadku długich horyzontów prognozy tj. 5 dniowych metoda ta tylko w dwóch przypadkach na dwanaście (Beef-San i Śrubex), a dla horyzontów 21 dniowych tylko raz (Śrubex) dawała właściwe prognozy.
Dla horyzontu prognozy 1 dniowego metoda EKT zdała egzamin i dawała
właściwe prognozy nawet dla tych spółek, które charakteryzują się grubymi
ogonami (najlepszym przykładem spółka Toora). Dla tej spółki klasyczna metoda symulacji historycznej zupełnie nie zdała egzaminu i dawała bardzo nietrafne prognozy (procent przekroczeń wynosił ponad 12%, a wymagany poziom
tolerancji wynosił tylko 5%).
Dla dłuŜszych horyzontów prognozy (tygodniowego i miesięcznego) metoda EKT nie zdała juŜ egzaminu dla spółki Toora (posiadającej rozkład tzw.
gruboogonowy). Wynika to z bardzo duŜej zmienności notowań tej spółki spowodowanej jej upadłością. Dlatego wahania długookresowe są trudne do przewidzenia i znacznie odbiegają od oszacowań obliczonych z zastosowaniem
metody EKT.
6
Tabela 1. Porównanie dokładności prognoz wstecznych dla VaR na poziomie tolerancji
α=5[%] oraz horyzontu prognozy T=1 dzień dla modelu EKT oraz klasycznego modelu
symulacji historycznej.
Metoda nieparametryczna EKT
Spółka
Liczba
prognoz
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2179
1734
3054
3089
2186
2290
2253
783
2520
494
289
512
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2179
1734
3054
3089
2186
2290
2253
783
2520
494
289
512
Dopuszczalna
liczba
przekroczeń
Liczba
przekroczeń
Procent
przekroczeń
[%]
93 – 125
37
1,70
72 – 101
34
1,96
133 – 172
39
1,28
135 – 174
52
1,68
93 – 126
44
2,01
98 – 131
31
1,35
96 – 129
53
2,35
30 – 49
14
1,79
109 – 143
38
1,51
17 – 32
7
1,42
9 – 20
18
6,23
18 – 33
9
1,76
Metoda klasycznej symulacji historycznej
93 – 125
113
5,19
72 – 101
88
5,07
133 – 172
153
5,01
135 – 174
164
5,31
93 – 126
119
5,44
98 – 131
121
5,28
96 – 129
115
5,10
30 – 49
51
6,51
109 – 143
135
5,36
17 – 32
21
4,25
9 – 20
37
12,80
18 – 33
31
6,05
Statystyka
testowa
Z=
Czy
model
odrzucić
-7,07
-5,81
-9,44
-8,46
-6,41
-8,01
-5,77
-4,12
-8,04
-3,65
0,96
-3,37
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
0,40
0,14
0,02
0,79
0,95
0,62
0,23
1,94
0,82
-0,76
6,09
1,09
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Tak
Nie
Nie
Tak
Nie
Źródło: Opracowanie własne.
Metoda klasycznej symulacji historycznej daje prognozy lepiej skalibrowane dla krótkich horyzontów prognozy (horyzont 1 dniowy) w porównaniu z
metodą EKT. We wszystkich 10 przypadkach (dla których metoda ta dawała
skuteczne prognozy) wartości statystyki testowej dla dwustronnego testu liczby
przekroczeń mieściła się w wymaganym przedziale −1,645 ≤ Z obl ≤ 1,645 , a
liczba przekroczeń w dopuszczalnym przedziale (zob. tab. 1). Tym samym procent przekroczeń dla większości badanych spółek (poza spółkami ŚnieŜka oraz
Toora) był bliski wymaganej wartości poziomu tolerancji 5%. Wydaje się, Ŝe
7
metoda ta moŜe być z powodzeniem stosowana w praktyce dla dziennych prognoz VaR.
Metoda EKT daje prognozy znacznie zawyŜone w stosunku do wartości
rzeczywistych i stosunkowo są one słabo skalibrowane. Średni procent przekroczeń dla wszystkich 12 spółek w przypadku np. prognoz 1 dniowych wynosi
tylko 2,1% (zob. tab. 1).
Tabela 2. Porównanie dokładności prognoz dla VaR na poziomie tolerancji α=5[%] oraz
horyzontu prognozy T=5 dni dla modelu EKT oraz klasycznego modelu symulacji historycznej.
Metoda nieparametryczna EKT
Spółka
Liczba
prognoz
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2175
1730
3050
3085
2182
2286
2249
779
2516
490
285
508
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2171
1726
3046
3081
2178
2282
2245
775
2512
486
281
504
Dopuszczalna
liczba
przekroczeń
Liczba
przekroczeń
Procent
przekroczeń
[%]
Statystyka
testowa
Z=
93 – 125
51
2,34
72 – 101
36
2,08
133 – 172
49
1,61
135 – 174
41
1,33
93 – 125
37
1,70
98 – 131
26
1,14
96 – 129
42
1,87
29 – 48
7
0,90
108 – 143
27
1,07
17 – 32
4
0,82
9 – 20
35
12,28
18 – 33
8
1,57
Metoda klasycznej symulacji historycznej
92 – 125
135
6,22
72 – 101
97
5,62
133 – 172
175
5,75
135 – 173
190
6,17
93 – 125
135
6,20
97 – 131
137
6,00
96 – 129
135
6,01
29 – 48
53
6,84
108 – 143
152
6,05
17 – 32
20
4,12
9 – 20
40
14,23
18 – 33
38
7,54
Czy
model
odrzucić
-5,68
-5,57
-8,60
-9,36
-7,08
-8,47
-6,82
-5,25
-9,04
-4,25
5,64
-3,54
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Tak
Nie
2,60
1,18
1,89
2,97
2,57
2,20
2,20
2,35
2,42
-0,89
7,10
2,62
Tak
Nie
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Nie
Tak
Tak
Źródło: opracowanie własne
8
Dla horyzontów prognozy 5 dniowego i 21 dniowego (w przypadku spółek dla których metoda została zakwalifikowana jako odpowiednia) średni procent przekroczeń jest równieŜ znacznie zaniŜony w stosunku do wymaganego
poziomu 5%. Mimo to, metoda ta lepiej sprawdza się w praktyce dla prognoz
długookresowych, niŜ klasyczna metoda symulacji historycznej, która mimo, Ŝe
daje lepiej skalibrowane prognozy, to w większości przypadków znacznie bardziej zaniŜone i nieodpowiednie w stosunku do wartości rzeczywistych. Tym
samym w prognozach długoterminowych lepiej sprawdza się metoda EKT niŜ
metoda symulacji historycznej.
Tabela 3. Porównanie dokładności prognoz dla VaR na poziomie tolerancji α=5[%] oraz
horyzontu prognozy T=21 dni dla modelu EKT oraz klasycznego modelu symulacji
historycznej.
Metoda nieparametryczna EKT
Spółka
Liczba
prognoz
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2159
1714
3034
3069
2166
2270
2233
763
2500
474
269
492
Assecopol
Beef-San
Dębica
Krosno
Polna
Ropczyce
Sanwil
ŚnieŜka
Sanok
Śrubex
Toora
Zelmer
2139
1694
3014
3049
2146
2250
2213
743
2480
454
249
472
Dopuszczalna
liczba
przekroczeń
Liczba
przekroczeń
Procent
przekroczeń
[%]
92 – 124
70
3,24
71 – 100
43
2,51
132 – 171
37
1,22
134 – 173
55
1,79
92 – 124
65
3
97 – 130
19
0,84
95 – 128
56
2,51
29 – 48
0
0
108 – 142
35
1,4
16 – 31
0
0
8 – 19
62
23,05
17 – 32
3
0,61
Metoda klasycznej symulacji historycznej
91 – 123
179
8,37
70 – 99
137
8,09
132 – 170
247
8,2
133 – 172
272
8,92
91 – 123
200
9,32
96 – 129
175
7,78
94 – 127
149
6,73
28 – 46
81
10,9
107 – 141
223
8,99
16 – 30
25
5,51
7 – 18
39
15,66
16 – 31
36
7,63
Statystyka
testowa
Z=
Czy
model
odrzucić
-3,75
-4,73
-9,55
-8,15
-4,27
-9,10
-5,40
-6,34
-8,26
-4,99
13,58
-4,47
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Nie
Tak
Nie
7,15
5,83
8,05
9,93
9,18
6,05
3,74
7,38
9,12
0,50
7,72
2,62
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Tak
Nie
Tak
Tak
9
Źródło: Opracowanie własne.
Podsumowanie
Wyniki uzyskane z analizy skuteczności omawianych metod nieparametrycznych dla oszacowań VaR w oparciu o testowanie wsteczne pozwalaj na
sformułowanie kilku praktycznych wniosków:
• Generalnie metoda EKT daje skuteczniejsze prognozy od klasycznej metody symulacji historycznej;
• Metodę symulacji historycznej moŜna z powodzeniem stosować w praktyce
dla krótkich horyzontów czasu (np. 1 dniowych), gdyŜ daje zadowalające
wyniki i dobrze skalibrowane prognozy dla VaR;
• Metoda EKT jest bardziej skuteczna dla dłuŜszych horyzontów prognozy
(np. tygodniowych, czy miesięcznych) i daje poprawne, choć trochę zawyŜone prognozy (słabo skalibrowane) dla szacowanych wartości potencjalnych strat inwestora;
• Metodę EKT moŜna z powodzeniem stosować dla instrumentów finansowych, których rozkłady mają tzw. grube ogony, gdyŜ wtedy metoda ta moŜe okazać się znacznie lepsza niŜ klasyczna metoda symulacji historycznej.
dr Grzegorz Mentel, dr Tomasz Pisula
Katedra Metod Ilościowych w Ekonomii
Politechnika Rzeszowska
Literatura:
Best P., Wartość naraŜona na ryzyko. Obliczanie i wdraŜanie modelu VaR.
Dom Wydawniczy ABC, Kraków 2000.
Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR – a measure for the extreme risk,
Munich University of Technology, 1999.
Mentel G., Ocena skuteczności szacowania ryzyka za pomocą metod VaR na
polskim rynku kapitałowym, Praca doktorska, Uniwersytet Szczeciński,
2006.
Talar P., Weron A., Metody nieparametryczne obliczania VaR, Rynek Terminowy, nr 14/4/01.
10