Wektory

Wektory
Pojęcie wektora znane jest ze szkolnej matematyki. Przedstawiamy go
zwykle jako strzałkę i mówimy, że wektor ma określoną długość, kierunek
i zwrot. Wektory odgrywają bardzo ważną rolę w fizyce, ponieważ wiele
wielkości fizycznych to właśnie wielkości wektorowe. Przykładami takich



wielkości są wektor położenia r , prędkość v , przyspieszenie a , pęd


 


p  mv , moment pędu l  mr  v czy siła F (znaczenie symbolu „  ” zostanie wyjaśnione niebawem). Innym rodzajem wielkości fizycznych są
wielkości skalarne, takie jak masa m, temperatura T, energia E, czy czas t.
Wartości wielkości skalarnych wyrażane one po prostu liczbami, czyli skalarami.
Jeżeli mówimy, że ciało porusza się ruchem zmiennym pod wpływem
działającej siły, to sensowne jest zapytanie: w jakim kierunku działa siła?
Od kierunku i wartości działania siły zależy bowiem ruch ciała. Jeżeli natomiast ktoś mnie pyta o godzinę, odpowiem po prostu, że jest, na przykład,
12:36 i nikt nie będzie pytał „w którą stronę”.
Na wektorach można wykonywać określone działania. Wektor można
pomnożyć przez liczbę rzeczywistą a. Otrzymujemy wówczas wektor równoległy do naszego wyjściowego wektora o długości większej (gdy a  1 )
lub mniejszej (gdy a  1). Gdy a  0 otrzymujemy wektor skierowany
przeciwnie (por. rys. #). W szczególności gdy a  1 , to wektor taki nazy
wamy wektorem przeciwnym. Wektor 0 nazywamy wektorem zerowym, na
tomiast wektor 1 wektorem jednostkowym.
  
Dodawanie wektorów w  u  v odbywa się następująco: początek drugiego wektora przykładamy w punkcie reprezentującym koniec pierwszego
wektora. Wektor wypadkowy ma początek w początku pierwszego wektora
i koniec w końcu drugiego wektora (por. rys. #). Rezultatem dodawania
wektorów jest wektor.
Wektory można również mnożyć przez siebie (dzielenie przez wektor
nie jest zdefiniowane). Określone są dwa rodzaje iloczynów wektora przez
wektor.
 
Iloczyn skalarny (oznaczany symbolem „  ”) dwóch wektorów u i v jest
liczbą o wartości równej iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa
kąta pomiędzy nimi:
  
u  v  u v cos ,

gdzie v oznacza długość wektora. Zauważmy, że jeżeli dwa wektory są
do siebie prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0 ( cos 90o  0 ).
Długość wektora obliczmy następująco: każdy wektor możemy rozłożyć na składowe w kartezjańskim układzie odniesienia, albo – inaczej mówiąc – w pewnej bazie. Na rysunku # przedstawiono składowe wektora na
płaszczyźnie XY. Oznaczymy jest (vx , v y ) .
Rys. #. Składowe wektora na płaszczyźnie
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
2
v  v x2  v y2
stąd:

v  v x2  v y2
W przypadku płaszczyzny dowolny wektor możemy zapisać jako:

v  (vx , v y ) ,
1
dla przestrzeni trójwymiarowej:

v  (v x , v y , v z ) .
Chociaż nasza wyobraźnia jest trójwymiarowa i nie potrafimy sobie wyobrazić przestrzeni cztero- czy dziesięciowymiarowej, to jednak z matematycznego punktu widzenia możemy mówić o cztero-, pięcio- a nawet nieskończeniewielowymiarowej przestrzeni. Wówczas wektor możemy zapisać następująco:

v  (v1 , v2 ,...vi ...) ,
gdzie symbole i = 1, 2, … oznaczają kolejne składowe wektora. Długość
składowej wektora jest równa długości rzutu prostokątnego tego wektora
na kierunek i-tego wektora bazy.
Biorąc pod uwagę składowe wektorów w danej bazie mnożenie wektora
przez liczbę, sumę wektorów i iloczyn skalarny możemy zapisać następująco:

av  (av1 , av2 ,...) ,
 
u  v  (u1  v1 , u2  v2 ,...) ,
 
u  v  (u1v1 , u2v2 ,...) .
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów (oznaczany symbolem „  ”) jest

wektorem w skierowanym prostopadle do płaszczyzny, na której leżą wek 
tory u i v o długości równej:
 
w  u v sin 
Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0, to wektory te
są do siebie równoległe ( sin 0o  0 ).
2
Rys. #. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Możemy sobie wyobrazić, że jeżeli prawą
ręką „kręcimy” pierwszy wektor na drugi, to wówczas odchylony prostopadle kciuk pokaże nam kierunek wektora będącego iloczynem. Jest on zawsze prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory
 
u i v.
Zbiór wektorów, dla których zdefiniowane jest mnożenie wektora przez
skalar, dodawanie wektorów oraz iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią
wektorową (vector space). Strukturę taką tworzą „wektory-strzałki”, ale
również zupełnie innego rodzaju obiekty, takie jak na przykład macierze, o
czym będzie mowa w dalszej części.
3