1 Przestrzenie Banacha i Hilberta.
Transkrypt
1 Przestrzenie Banacha i Hilberta.
1 Przestrzenie Banacha i Hilberta. Definicja 1.1 Niepusty zbiór E wyposażony w dwa dziaÃlania: (x, y) 7→ x + y, x, y ∈ E (α, x) 7→ αx, x ∈ E, α ∈ R spelniajaιce nasteι pujaιce warunki: (a) dla x, y, z ∈ R i α, β ∈ R, x+y (x + y) + z α(x + y) (α + β)x α(βx) 1x (b) istnieje dok Ãladnie jeden element 0 ∈ E taki, że = = = = = = y + x, x + (y + z), αx + αy, αx + βx, (αβ)x, x, x + 0 = 0 + x = x dla x ∈ E; (c) dla każdego x ∈ E istnieje dok Ãladnie jeden element (−x) ∈ E taki, że x + (−x) = (−x) + x = 0; nazywa sieι przestrzeniaι liniowaι rzeczywistaι ( lub przestrzeniaι liniowaι nad R). Uwaga. W notatkach tych nie beι dziemy zajmować sieι przestrzeniami liniowymi nad ciaÃlami różnymi od R, i dlatego zamiast ”przestrzeń liniowa nad R” beι dziemy pisać ”przestrzeń liniowa”. 1 Definicja 1.2 Niech E beι dzie przestrzeniaι liniowaι. Funkcjeι k.k : E − → [0, ∞) speÃlniajaιcaι nasteι pujaιce warunki kxk = 0 kx + yk kαxk ⇐⇒ ≤ = x = 0, dla x ∈ E; kxk + kyk, dla x, y ∈ E; |α|kxk, dla α ∈ R, x ∈ E; beι dziemy nazywać normaι. Definicja 1.3 Jeżeli E jest przestrzeniaι liniowaι i k.k : E − → [0, ∞) jest normaι, to pareι (E, k.k) nazywamy przestrzeniaι unormowanaι. Twierdzenie 1.4 Jeżeli (E, k.k) jest przestrzeniaι unormowanaι to funkcja ρ : E × E − → [0, ∞), zdefiniowana wzorem ρ(x, y) := kx − yk, x, y ∈ E jest metrykaι. (Przestrzeń unormowana jest przestrzeniaι metrycznaι.) Definicja 1.5 Niech E beι dzie przestrzeniaι liniowaι. Funkcjeι < ., . >: E × E − →R speÃlniajaιcaι nasteι pujaιce warunki < x, x > < x, x >= 0 < x, y > < αx + βy, z > ≥ ⇒ = = 0, dla x ∈ E; x = 0, dla x ∈ E; < y, x > dla x, y ∈ E; α < x, z > +β < y, z > dla α, β ∈ R, x, y, z ∈ E; beι dziemy nazywać iloczynem skalarnym. Definicja 1.6 Jeżeli E jest przestrzeniaι liniowaι i < ., . >: E − → R jest iloczynem skalarnym, to pareι (E, < ., . >) nazywamy przestrzeniaι unitarnaι. Twierdzenie 1.7 Jeżeli (E, < ., . >) jest przestrzeniaι unitarnaι to funkcja k.k : E − → [0, ∞), zdefiniowana wzorem √ 1 kxk := < x, x > = < x, x > 2 , x ∈ E jest normaι. (Przestrzeń unitarna jest przestrzeniaι unormowanaι.) 2 Definicja 1.8 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli lim kxn − x0 k = 0 n− →∞ to mówimy, że ciaιg {xn } jest zbieżny do x0 i piszemy x0 = lim xn n− →∞ Twierdzenie 1.9 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , y0 , xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli ciaιg {xn } jest jednocześnie zbieżny do x0 oraz y0 to x0 = y. (Ciaιg zbieżny ma dok Ãladnie jednaι graniceι .) Twierdzenie 1.10 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , y0 , xn , yn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli x0 = lim xn oraz y0 = lim yn n− →∞ n− →∞ to x0 + y0 = lim (xn + yn ) n− →∞ Twierdzenie 1.11 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , xn ∈ E, α0 , αn ∈ R, n ∈ N. Jeżeli α0 = lim αn oraz x0 = lim xn n− →∞ n− →∞ to α0 x0 = lim (αn xn ) n− →∞ Definicja 1.12 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli ∀²>0 ∃N ∈N ∀n,m>N kxn − xm k < ² (C) to mówimy, że ciaιg {xn } speÃlnia warunek Cauchy’ego. Twierdzenie 1.13 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli ciaιg {xn } jest zbieżny, to speÃlnia warunek Cauchy’ego. Definicja 1.14 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι. Jeżeli każdy ciaιg elementów przestrzeni E speÃlniajaιcy warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzeniaι Banacha. (Przestrzeń unormowana jest przestrzeniaι Banacha jeżeli jest przestrzeniaι metrycznaι zupeÃlnaι wzgleι dem metryki wyznaczonej przez normeι .) Definicja 1.15 Niech E beι dzie przestrzeniaι unitarnaι. Jeżeli każdy ciaιg elementów przestrzeni E speÃlniajaιcy warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzeniaι Hilberta. (Przestrzeń unitarna jest przestrzeniaι Hilberta jeżeli jest przestrzeniaι metrycznaι zupeÃlnaι wzgleι dem metryki wyznaczonej przez normeι wyznaczonaι przez iloczyn skalarny.) 3 Zadania. Zadanie 1.1 Niech R∞ oznacza zbiór ciaιgów liczbowych (ciaιgów liczb rzeczywistych) o prawie wszystkich wyrazach równych 0, t.j. R∞ 3 x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } ⇐⇒ ∃N ∀n>N xn = 0 Jeżeli x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, y = {y1 , y2 , . . . , yn , . . . } ∈ R∞ i α ∈ R to przyjmujemy x + y := {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn , . . . }, αx := {αx1 , αx2 , . . . , αxn , . . . }, ∞ X < x, y >:= xn yn . n=1 Proszeι udowodnić, że 1. przy tak określonych dziaÃlaniach R∞ jest przestrzeniaι liniowaι; 2. przy tak określonym iloczynie skalarnym R∞ jest przestrzeniaι unitarnaι; 3. R∞ nie jest przestrzeniaι Hilberta. Zadanie 1.2 Niech l2 oznacza zbiór ciaιgów liczbowych x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } takich, że ∞ X (xn )2 < ∞ n=1 ( ”szeregi zbieżne z kwadratem”). Proszeι udowodnić, że wzory podane w poprzednim zadaniu definiujaι w przestrzeni l2 dziaÃlania liniowe i iloczyn skalarny takie,że przestrzeń ta jest przestrzeniaι Hilberta. Zadanie 1.3 Niech C[0, 1] oznacza zbiór którego elementami saι ciaιgÃle funkcje x : [0, 1] − → R. Ponieważ suma i iloczyn dwóch funkcji ciaιgÃlych saι funkcjami ciaιgÃlymi, to C[0, 1] ma naturalnaι struktureι przestrzeni liniowej. Proszeι pokazać, że wzór kxk0 := sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} definiuje normeι oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C[0, 1] jest przestrzeniaι Banacha. Zadanie 1.4 Niech C 1 [0, 1] oznacza zbiór którego elementami saι funkcje klasy C 1 x : [0, 1] − → R. 1 1 1 Ponieważ suma i iloczyn dwóch funkcji klasy C saι funkcjami klasy C , to C [0, 1] ma naturalnaι struktureι przestrzeni liniowej. Proszeι pokazać, że wzór kxk1 := sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} + sup{|x0 (t)|; t ∈ [0, 1]} definiuje normeι oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C 1 [0, 1] jest przestrzeniaι Banacha. Zadanie 1.5 Udowodnić Twierdzenia 1.4, 1.7, 1.9, 1.10, 1.11, 1.13. 4