KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO r
Transkrypt
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO r
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO wektor położenia w kartezjańskim układzie współrzędnych: r (t ) = [x (t ), y (t ), z (t ) ] ϕ z er eϕ ϑ r eϑ tor r y x w układzie biegunowym i sferycznym: r (t ) = r ( t ) ⋅ e r prędkość v (t ) = dr (t ) dt dx(t ) dy (t ) dz (t ) = , , dt dt dt V(t) ∆r r(t) r(t+∆t) wektor prędkości jest styczny do toru ∆r - wektor przesunięcia przyspieszenie v(t) ∆v a v(t+∆t) dv a= dt droga vi i+1 A (t1) B i+2 (t2) i 1 2 3 ∆s ≈ ∆r 4 ds = dr ds = dr = v ⋅ dt = = ( v x ⋅ dt ) + ( v y ⋅ dt ) + ( v z ⋅ dt ) ( vx ) + ( v y ) + ( vz ) 2 2 2 2 2 ⋅ dt = v ⋅ dt t2 S AB ≈ ∑ vi ⋅ ∆ti i 2 S AB = ∫ v(t) ⋅ dt t1 = przyspieszenie styczne i normalne niech: wtedy: składnik v = v⋅τ a= v⋅τ τ - wersor styczny do toru dv = vɺ ⋅ τ + v ⋅ τɺ dt jest styczny do toru - przyspieszenie styczne Uzupełnienie: okrąg ściśle styczny P B2 A2 B1 A1 O1 O2 ciąg okręgów poprowadzonych przez punkty A1PB1 , A2PB2 , ..... zbiega się do okręgu ściśle stycznego τ(t) n ∆τ ∆ϕ ρ τ(t+∆t) ∆τ n okrąg ściśle styczny do toru ∆τ τɺ ≈ ∆t ∆τ τ ⋅ ∆φ v ∆s τɺ ≈ = = = ∆t ∆t ρ ⋅ ∆t ρ ostatecznie: τ = v ρ ⋅n n – wektor normalny do toru a zatem: v ⋅ τɺ = v ⋅ v ρ ⋅n = v2 ρ ⋅n - przyspieszenie normalne Przyspieszenie w ruchu po dowolnym torze z dowolnie zmienną prędkością: a = v ⋅τ + v2 ρ ⋅n przyspieszenie całkowite = p. styczne + p. normalne względność ruchu V r2 O2 R r1 O1 Układ odniesienia O2 ma prędkość V względem układu O1. Wtedy prędkość ciała w układzie odniesienia O1 jest: v1 = dr1 d dR dr2 = ( R + r2 ) = + = V + v2 dt dt dt dt zaś prędkość ciała w układzie odniesienia O2 : dr2 d dr1 dR v2 = = ( r1 − R ) = − = v1 − V dt dt dt dt v1 = V + v 2 ⇒ v 2 = v1 − V