kinematyka punktu materialnego

Fizyka ogólna
― 1 ―
Egzamin 1
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Podaj transformację Galileusza i wytłumacz dlaczego na jej podstawie we wszystkich
układach inercjalnych zjawiska mechaniczne przebiegają tak samo.
Transformacja Galileusza – przekształcenie współrzędnych przy przejściu z jednego układu
inercjalnego do innego. Zakłada się przy tym że czas ma charakter absolutny (jest taki sam
w każdym układzie odniesienia). Masa również nie ulega zmianie. Dodatkowo zakładamy
że w chwili t = 0 obydwa układy współrzędnych pokrywają się. Mamy więc dwa układy:
u =[u x , u y , u z ] względem układu U'.
U i U'. Układ U' porusza się z prędkością 
Transformacja współrzędnych:
[ x ' , y ' , z ' ]=
r '=r −
u⋅t=[ x , y , z ]−[u x , u y , u z ]⋅t=[ x−u x⋅t , y −u y⋅t , z−u z⋅t ]
v
=[v
,
v
,
v
]

x
y
z
v ' =[v x ' , v y ' , v z ' ]
d r dx dy dz
=[ , , ]
v =
dt
dt dt dt
d r ' d r '
dx ' dy ' dz '
v ' =
=
=[
,
,
]=[v x −u x , v y i u y , v z −u z ]
dt '
dt
dt dt dt
dv
a= 

dt
d v '
a '=

dt '
u=const ∧t ' =t ⇒a '=a

'
F
F
a = ∧

a' =
⇒ F ' =F
m
m
Czy Ziemia jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego dla:
a) obserwacji okresu drgań wahadła przez 10 sekund
Tak, w ciągu tak krótkiego czasu siła Coriolisa nie wprowadzi praktycznie żadnych
zauważalnych zmian w ruchu wahadła.
b) obserwacji układu wiatrów na kuli ziemskiej.
Nie, są to zjawiska odbywające się na tak dużą skalę i obserwowane w tak długich okresach,
że siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi ma znaczący wpływ na wygląd
wiatrów (np. ich kierunek).
Z czego wynika przyspieszenie Coriolisa i jakim wzorem (dla układu nieinercjalnego) się
wyraża.
Wynika ono z ruchu niejednostajnego układu odniesienia (ruch obrotowy Ziemi), jest
wynikiem działania siły pozornej Coriolisa.
Przyspieszenie Coriolisa wyraża się wzorem: a c =2V ×ω
Jakie znasz siły pozorne. Z czego wynika ich istnienie.
Siły pozorne, zwane tez siłami bezwładności, występują w nieinercjalnych układach
odniesienia. Zaliczamy do nich m.in.
– siłę Coriolisa F c =2m V ×ω 
Fizyka ogólna
― 2 ―
Egzamin 1
siłę odśrodkową F od =mω 2 r
– siłę bezwładności (d’Alemberta) F =−ma
Siły te występują wyłącznie w układach nieinercjalnych, wynikają z nieinercjalności układu
odniesienia.
–
Student siedzi na karuzeli. Która z sił odczuwanych przez niego jest siłą rzeczywistą a która
pozorną?
Siła odśrodkowa - pozorna.
Siła ciężkości - rzeczywista.
Siła z jaką krzesełko działa na studenta - rzeczywista.
Siła oporu powietrza - rzeczywista.
Jaka jest definicja układu inercjalnego i która to zasada dynamiki?
Inercjalny układ odniesienia to taki, w którym jeżeli na ciało nie działa żadna siła bdź
wszystkie siły się równoważą to ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub
spoczywa. Jest to 1. ZDN.
KRZYWOLINIOWE UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
Ile wynosi prędkość radialna w ruchu po okręgu? (Odpowiedz uzasadnij rozkładając
prędkość na składowe w układzie biegunowym)
Jeżeli przyjmiemy, że początek układu współrzędnych jest w środku okręgu to rzecz jasna
dr
V r=0 z tego prostego powodu, że r = const zatem V r=  =
0 . Jedyną prędkością
dt
w ruchu po okręgu jest prędkość styczna (transwersalna).
Ile wynosi prędkość transwersalna w ruchu po prostej? (Odpowiedz uzasadnij rozkładając
prędkość na składowe w układzie biegunowym)
Jeżeli prosta przecina początek układu współrzędnych, to prędkość transwersalna jest równa
zeru, gdyż kąt między osią OX, a półprostą łączącą początek układu odniesienia i punkt jest
stały.
Jak wyznaczyć wektor styczny do toru mając dany wektor prędkości.
Wektor prędkości jest zawsze styczny do toru, więc jeśli chcemy otrzymać wektor styczny
do toru wystarczy pomnożyć wektor prędkości przez skalar aby otrzymać wektor styczny
o odpowiedniej długości.
Jak wyznaczyć wektor normalny do toru mając dany wektor prędkości.
Wektor prędkości jest styczny do toru, więc w celu wyznaczenia wektora prostopadłego
(normalnego) do toru wystarczy wziąć wektor prędkości w danym punkcie i wyznaczyć
wektor prostopadły do niego. Np. jeśli v =[v x , v y ] to wektor prostopadły do niego ma
współrzędne [ x , y ]=[ v y ,−v x ] Po pomnożeniu tego wektora przez skalar możemy
otrzymać wektor o dowolnej długości normalny do toru w danym punkcie.
Czy przyspieszenie normalne jest równe radialnemu w ruchu po dowolnej krzywej?
Przyspieszenie normalne – prostopadłe do toru w danym punkcie, przyspieszenie radialne –
radialna składowa przyspieszenia w układzie biegunowym. Najczęściej nie są sobie równe,
np. w ruchu po okręgu o środku w punkcie (2,0) i promieniu 1 w punkcie (1, 3)
Fizyka ogólna
― 3 ―
Egzamin 1
przyspieszenie radialne jest skierowane do środka układu współrzędnych, przyspieszenie
normalne jest natomiast równoległe do osi OX.
Podaj definicję i własności wektora prędkości normalnej i przyspieszenia normalnego.
Prędkość normalna – prędkość prostopadła do toru. Zawsze jest równa zeru, gdyż wektor
prędkości jest styczny do toru.
V2
(gdzie V to prędkość chwilowa ciała, r to promień
r
krzywizny); jest prostopadłe do toru (a więc także do wektora prędkości) i skierowane do
środka łuku krzywej.
Przyspieszenie normalne – a n =
DYNAMIKA
Czy siły tarcia mają potencjał?
Nie, gdyż siła tarcia nie jest siłą zachowawczą, praca wykonana przez tą siłę zależy
bezpośrednio od drogi po której następuje przesunięcie (dla stałej siły tarcia T jej praca na
drodze s wyniesie -T s)
ZASADY ZACHOWANIA
Pod jakimi warunkami energia ciała lub układu ciał jest zachowana?
Energia mechaniczna ciała jest zachowana wtedy, gdy wszystkie siły działające na ciało
(układ ciał) są zachowawcze.
Całkowita energia układu jest zachowana wtedy, gdy na układ nie działają żadne siły
zewnętrzne lub siły zewnętrzne równoważą się.
Co to są siły zachowawcze?
Siły zachowawcze to siły, w których polu praca wykonywana nad ciałem nie zależy od drogi
a jedynie od punktu początkowego i końcowego przesunięcia. W polu sił zachowawczych
praca wykonywana po krzywej zamkniętej jest równa zeru.
Czy baron Munhausen mógł (jak opowiadał), ciągnąc sam siebie za włosy, wyciągnąć z błota
siebie i wóz z końmi? Odpowiedz uzasadnij na podstawie zasady zachowania pędu.
Połączenie baron-wóz-konie można potraktować jako pojedynczy układ. Układ się nie
porusza więc jego pęd jest zerowy. W czasie wyciągania układ porusza się w górę więc pęd
ulega zmianie pomimo tego, że na układ nie działają żadne dodatkowe siły zewnętrzne (siła
którą baron ciągnie się za włosy jest siłą wewnętrzną w tym układzie). Przy założeniu
prawdziwości tej historii nie jest spełniona zasada zachowania pędu, więc historia musi być
fałszywa.
Fizyka ogólna
― 4 ―
Egzamin 1
KINEMATYKA I DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW
Jaka jest definicja środka masy układu ciał?
∑ mi ri = 1 m r
r =
∑ i i
M
∑ mi
gdzie M to masa całego układu, mi to masa kolejnych części na które dzielimy układ,
r i to wektor wodzący tych cząstek (odległość od środka układu współrzędnych). Gdy
z i będziemy dążyli do nieskończoności otrzymamy całkę:
1
1
rs= ∫ r dm =
r  dV
r p  
M M
M∫
V
gdzie p(r) oznacza gęstość nieskończenie małego fragmentu ciała.
W relacjach z innymi ciałami traktując układ ciał jako całość zachowuje się on tak, jakby
było to pojedyncze ciało z cała masą skupioną w środku masy.
RUCH W POLU SIŁY CENTRALNEJ
Uzasadnij że moment pędu jest całką ruchu w polu siły centralnej.
Całka ruchu jest to wartość niezmienna w trakcie trwania danego ruchu. Rozpatrzmy wiec
moment pędu w polu siły centralnej:
d L 
=M
dt
M – wypadkowa momentów sił działających na ciało.
 =r × 
M
F
W polu centralnym siły działające na ciało są równoległe do wektorów wodzących wiec:
 =r × 
M
F =0
Stąd
d L  
= M = 0 ⇒ L=const
dt
Jeśli chodzi natomiast o całkę w sensie dosłownym:

d L 
 = m⋅r ×a = m⋅r × V
= M =r × F
dt
dt
Mnożymy sobie obie strony przez dt i otrzymujemy że pęd jest całką z ruchu.
Czy ciało na stabilnej, zamkniętej orbicie okołoziemskiej może mieć prędkośc względem
Ziemi równą zero?
Oczywiście, że nie może (uprzedzając wątpliwości: satelity geostacjonarne są nieruchome
względem punktu na powierzchni Ziemi) co wynika z prostego równania:
V2
GMm
mV 2 GMm
GM
a=
∧ ma= F=
⇒
= 2 ⇒ V=
2
R
R
R
R
R

Fizyka ogólna
― 5 ―
Egzamin 1
Jaki jest wpływ tarcia satelity o pył kosmiczny na jego orbitę.
Kto go tam wie - pewnie bierze cham i spowalnia naszego biednego satelitę, który traci na
GMm
mV 2
prędkości liniowej przez co siła
staje
się
większa
niż
powinna
(tj.
)
2
R
R
i satelita „spada” na Ziemię. Z drugiej strony ten cały wpływ jest pewnie niezbyt wielki.
Czy pole grawitacyjne Ziemi wykonuje pracę nad sztucznym satelitą na orbicie kołowej?
Pole grawitacyjne jest polem sił zachowawczych, w polu sił zachowawczych praca na
drodze zamkniętej jest równa zeru, więc pole grawitacyjne Ziemi nie wykonuje żadnej pracy
nad satelitą.
OSCYLATOR HARMONICZNY
Czy częstość drgań oscylatora harmonicznego, jakim jest masa na sprężynie zależy od
początkowego wychylenia, jeśli siła harmoniczna jest zgodna z prawem Hooke'a?
Nie.
k
F =−kx ⇒ a=− x
m
2
x ' ' =−ω x
k
ω 2=
m
podstawiamy to do wzoru
2π
m
T = =2π
ω
k

czyli okres nie jest zależny od początkowego wychylenia, a skoro okres nie zależy to
i częstotliwość jest niezależna.
Jak zmienia się energia: kinetyczna, potencjalna i całkowita podczas ewolucji oscylatora
harmonicznego?
Wykres cosinus + 1 pod wykresem jest energia kinetyczna, nad wykresem jest energia
potencjalna. Energia całkowita jest stała.
E p =E 0 sin wt 2
E k =E 0 cos wt 2
E p E k =const
Czy częstość drgań oscylatora tłumionego jest taka sama jak dla oscylatora nietłumionego?
1
2
Nie, częstość zależy od tłumienia. w =
gdzie T - czas relaksacji, a czas relaksacji jest
2T
m
ściśle związany z tłumieniem T =
gdzie d współczynnik tłumienia.
d
Podaj przykład oscylatora harmonicznego działającego na innej zasadzie niż opisane na
wykładzie. Dlaczego uważasz że jest to oscylator harmoniczny?
Wahadło torsyjne (jest opisane w książce) - symetryczne ciało zaczepione na końcu
sprężystego pręta przyczepionego do czegoś stabilnego (np. sufitu), to symetryczne ciało
Fizyka ogólna
― 6 ―
Egzamin 1
obracamy wokół osi pręta (pręt się skręca) i puszczamy, pręt się odkręca i skręca w drugą
stronę. Wydaje mi się, że tego na wykładzie nie było, jeśli było to niech mnie ktoś
poprawi :P
A czemu to oscylator harmoniczny? Bo tak jest w książce. Nie mam pojęcia. Chyba dlatego,
że przyspieszenie wyraża się wzorem -w^2 alfa, to można poróżniczkować pocałkować coś
tam jeszcze i może coś wyjdzie Oo
Jaki kształt kreśli trajektoria oscylatora harmonicznego w układzie współrzędnych (x,V).
x = A cos(wt + fi), v = -wAsin(wt+fi) => (x/A)^2 = cos^2(), (v/wA)^2 = sin^2() => x^2 + v^2 / w^2
= A^2 => elipsa.
x= A cos wt fi
v =−wAsin wt fi
podnosimy oba równania do kwadratu i dodajemy stronami:
x 2
  =cos2 
A
v 2

 =sin 2  
wA
x2
v2

=1
A2 A2 w 2
a więc jest to równanie elipsy.
Jaki kształt kreśli trajektoria oscylatora harmonicznego w układzie współrzędnych (Ek, Ep).
E = Ek + Ep, czyli Ep w funkcji Ek to Ep = E - Ek gdzie E jest stałe. Wykres tego to będzie
odcinek łączący osie w 1 ćwiartce przecinający je w punktach E0.
Czym się różni rezonans amplitud od rezonansu mocy?
Zależność kwadratu amplitudy, energia oscylacji wyrażają się podobnym wzorem i są
proporcjonalne do I(ω):
Amplituda tych drgań zależy od częstości drgań wymuszających ω. Gdy ω jest bliskie
częstotliwości drgań własnych oscylatora Ω, to amplituda rośnie i osiąga maksimum dla
częstości drgań własnych zwanych częstością rezonansową. Zjawisko to nazywa się
rezonansem amplitudy. Podobnie można mówić o rezonansie mocy, gdy energia
pobierana przez układ drgający, a dostarczana przez oscylującą siłę zewnętrzną, osiąga
maksimum Ω.
Ja to rozumiem tak, że przy rezonansie amplitud mamy po prostu największe wychylenia
możliwe, bo się częstotliwości nakładają to logiczne, przy rezonansie mocy mamy
największą możliwą energię, co wcale nie oznacza że będą też największe amplitudy.
Co to jest dobroć układu? Czy dobry amortyzator samochodowy powinien mieć duża czy
mała dobroć?
Dobroć Q = 2pi (energia zmagazynowana) / (energia stracona w 1 okresie)
Dobroć jest to zdolność układu do tłumienia drgań, tudzież miara szybkości zaniku drgań.
Dobry amortyzator powinien szybko tłumić drgania, więc powinien mieć jak najmniejszą
dobroć.
Fizyka ogólna
― 7 ―
Egzamin 1
Co to jest oscylator przetłumiony (overdamped oscillator)?
z Wiki: gdy w0 <= b odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej
sytuacji nie występuje ruch okresowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.
Wyjaśnienie: b to współczynnik tłumienia, w0 częstość kołowa drgań. Czyli jeśli oscylator
jest przetłumiony to nie za bardzo drga. Wykres x w funkcji t wygląda tak, że najpierw x
gwałtownie rośnie potem powoli maleje do 0, taka falka pojedyncza.