filozofia przyrody

IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Stałe przyspieszenie
r
r
atan ↔ ac
dθ
v = ωR =
R
dt
ds
v=
dt
dθ d  s  ds  1  v
ω=
=  =  =
dt dt  r  dt  r  r
M. Mulak / IF PWr
atan
dv dω
d 2θ
=
=
R = 2 R =εR
dt dt
dt
r
ε
przyspieszenie
kątowe
 rad 

s 2 
1
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
x →θ
v →ω
a →ε
r
r
α ≡ε
1 2
x = x0 + v0t + at
2
1 2
θ = θ 0 + ω0t + ε t
2
v = v0 + at
ω = ω0 + ε t
M. Mulak / IF PWr
2
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Moment siły
punktu materialnego
r r
τ = r ×F
Moment pędu
punktu materialnego
r
r r r
l =r×p
r
dl r r r
= r × F =τ
dt
M. Mulak / IF PWr
3
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Moment pędu punktu materialnego:
przykład ruchu po okręgu
Bryła sztywna
* poprzednio: punkt materialny
Siła centralna
r r
r × Fcent = 0
Zerowy moment siły względem środka
r
r
r
r
dl r
dl
= r × Fcentr ⇒
= 0 ⇒ l = const
dt
dt
Obiekty realne: rozkład masy związany z
rozmiarem i kształtem ciała.
Stałe odległości wszystkich elementów
masy
Np. ruch komet
M. Mulak / IF PWr
4
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Moment siły siła
r r
τ = r ×F
r
r
r
F = ma
r
a=0
r
ε ≠0
M. Mulak / IF PWr
r
a≠0
bez obrotu
r
ε =0
Moment bezwładności
r
a≠0
r
ε ≠0
5
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Moment bezwładności bryły sztywnej
Momenty bezwładności brył
względem zaznaczonych osi
dm
element masy
r odległość
∆m
∆m
do osi obrotu
I = lim ∑ r 2∆m = ∫ r 2dm
∆m→0
V
m→I
Moment bezwładności zależy od osi obrotu
M. Mulak / IF PWr
6
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Moment bezwładności zależy
od radialnego rozkładu masy.
M
M
M
Moment pędu bryły
sztywnej
Bryła sztywna
obraca się wokół
osi z :
I A < I B < IC
M. Mulak / IF PWr
7
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Równanie dynamiki dla bryły
sztywnej
Zasada zachowania momentu pędu
r
ω
r
dL r
=τ
dt
r
ω
r
r
dL r
=τ
dt
Moment siły i moment pędu
odniesione do początku tego samego
inercjalnego układu odniesienia
r
r
τ total = τ{
internal + τ external
Kompensują się do zera
r
r
L = const gdy τ = 0
Moment pędu układu izolowanego jest
zachowany
r
r
L = Iω = const
Przykłady: łyżwiarze, gimnastycy, tancerze,
zmieniają prędkość kątową poprzez zmianę
momentu bezwładności
I iωi = I f ω f
M. Mulak / IF PWr
całkowity
moment sił
I↑ ⇒ ω↓
I↓ ⇒ ω↑
8
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Zasada zachowania momentu pędu:
przykład
Osoba w spoczynku trzyma
obracające się koło…
r
L0
Co się stanie gdy koło obrócimy o 180o?
UKŁAD = [osoba_krzesło] + koło
Podczas obrotu płaszczyzny koło o
180o brak zewnętrznego momentu
siły, zatem całkowity moment pędu
zachowany.
M. Mulak / IF PWr
r
r
Los − krz = 2L0
9
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Energia potencjalna
bryły sztywnej
r
r
początek L = L
rc r0
r
koniec
Lc = Los − krz + Lkoło
r
r
r
L0 = Los − krz + Lkoło
r
r
r
L0 = Los − krz − L0
r
r
Los − krz = 2L0
M. Mulak / IF PWr
10
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Energia kinetyczna obracającego się dysku
mi mały element masy
1
1
Ki = mi vi 2 = miω 2ri 2
2
2
ω
taka sama dla wszystkich elementów masy!
K disk
1
ω2
1
2 2
= ∑ miω ri =
mi ri 2 = I cω 2
∑
2 123
2
i 2
i
moment of inertia
Moment bezwładności zależy od osi obrotu
M. Mulak / IF PWr
11
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Ogromna energia kinetyczna
ruchu obrotowego planet i
gwiazd
Słońce: P ≈ 10 W
26
Jeśli tylko zmiana Ek rotacji: zaledwie na 125 lat!
Dziś wiemy: żródłem energia jądrowa.
Ziemia:
Np.: spowolnienie obrotu Ziemi o 2.5 s na rok i
wykorzystanie Ek rotacji: pokrycie rocznej
globalnej konsumcji energii 6 miliardów ludzi
(1020J)! Pouczające science-fiction…
M. Mulak / IF PWr
12
IZ ZiM rok 1
Filozofia przyrody / Ruch obrotowy / Wykład 8
Rentgenowskie zdjęcie pulsara
w Mgławicy Kraba
Obserwatorium
Chandra
chandra.harvard.edu/photo/0052
Gwiazda neutronowa, pozostałość po eksplozji
supernowej w 1054 (Pulsar w Mgławicy Kraba).
Promieniuje potężną ilością promieni X i
gamma. Cała ta energia pochodzi ze zmiany
energii kinetycznej ruchu obrotowego pulsara
(jego spowalniania)
Całkowita moc pulsara ok.
6 ⋅1031W
Całkowita moc Słońca ok.
4 ⋅10 26 W
M. Mulak / IF PWr
T = 0.0335028583 s
Okres pełnego obrotu pulsara (jesień 1999).
Z każdym dniem okres ten zmniejsza się o
ok. 40 ns.
Związana ze spowalnianiem strata energii jest
dokładnie równia całkowitej mocy pulsara.
13