5 Przestrzeń liniowa

5
Przestrzeń liniowa
Definicja 5.1 Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F, +, ·), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, +
jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V , a · : F × V → V , spełniającą
warunki
(V1)
∀u,v,w∈V (u + v) + w = u + (v + w)
(łączność dodawania wektorów)
(V2)
∃θ∈V ∀v∈V a + θ = θ + a = a
(V3)
∀v∈V ∃−v∈V v + (−v) = (−v) + v = θ
(V4)
∀u,v∈V u + v = v + u
(V5)
∀u,v∈V ∀a∈F a · (u + v) = (a · u) + (a · v)
(wektor zerowy)
(wektory przeciwne)
(przemienność dodawania wektorów)
(rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów)
(V6)
∀v∈V ∀a,b∈F (a + b)v = (a · v) + (b · v)
(rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów)
(V7)
∀v∈V ∀a,b∈F a · (b · v) = (ab) · v
(V8)
∀v∈V 1 · v = v
(mieszana łączność mnożenia)
Elementy zbioru V nazywamy wektorami, elementy ciała F — skalarami,
działanie + nazywamy dodawaniem wektorów, a działanie · nosi miano mnożenia wektora przez skalar.
Gdy chcemy posłużyć się tylko nazwą zbioru wektorów do oznaczenia przestrzeni liniowej, a mogą zachodzić wątpliwości nad jakim ciałem ją rozpatrujemy, piszemy VF .
Przestrzeń liniową nazywamy inaczej przestrzenią wektorową.
Warunki (V1)–(V4) mówią, że (V, +) jest grupą abelową. Stosowanie
tych samych symboli na oznaczenie działań w ciele i działań na wektorach nie
prowadzi do braku jednoznaczności, gdyż działania dodawania i mnożenia
w ciele przekształcają F × F w F , podczas gdy dodawanie wektorów działa
z V × V do V , a mnożenie wektora przez skalar z F × V w V .
Przykład 5.2 0◦ Rozważając w jednoelementowym zbiorze V = {v} jedyne możliwe działanie jako dodawanie oraz dla dowolnego ciała F mnożenie
dane wzorem F × V 3 (a, v) 7→ v ∈ V otrzymujemy jednoelementową przestrzeń liniową, zwaną przestrzenią zerową.
1◦ W zbiorze F n = F
× .{z
. . × F} = {(x1 , . . . , xn ) ; x1 ∈ F, . . . , xn ∈ F }
|
n
wprowadzamy działania + i · wzorami
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
a · (x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn )
1
dla (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ F n , a ∈ F .
Otrzymujemy w ten sposób przestrzeń (F n , F, +, ·), którą nazywamy n–
wymiarową przestrzenią współrzędnych.
Szczególnymi (i naistotniejszymi dla nas) przypadkami będą n–wymiarowa
rzeczywista przestrzeń współrzędnych Rn oraz n–wymiarowa zespolona przestrzeń współrzędnych Cn .
2◦ Rozważmy ciało F , niepusty zbiór X oraz zbiór F(X; F ) wszystkich
funkcji działających z X w F . Określając działania
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(a · f )(x) = af (x)
dla x ∈ X
dla x ∈ X,
gdzie f, g ∈ F(X; F ) i a ∈ F , otrzymujemy przestrzeń liniową nad ciałem F
— przestrzeń funkcji z X o wartościach w F .
3◦ Działania dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określone
w F(X; F ) dają w szczególnych przypadkach przestrzenie liniowe: przestrzeń
ciągową F ∞ , gdy X = N, przestrzeń wielomianów F [x] oraz przestrzeń C(I)
funkcji ciągłych na przedziale I ⊂ R.
Przestrzeń F n jest po prostu przestrzenią F({1, . . . , n}; F ).
4◦ Jeżeli V1 i V2 są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F ,
to zbiór V1 × V2 z działaniami
(u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 )
a · (v1 , v2 ) = (av1 , av2 ),
gdzie u1 , v1 ∈ V1 , u2 , v2 ∈ V2 , a ∈ F , jest przestrzenią liniową nazywaną
produktem (kartezjańskim) przestrzeni V1 i V2 .
Analogicznie możemy określić przestrzeń liniową V1 × . . . × Vn dla przestrzeni liniowych V1 , . . . , Vn nad tym samym ciałem F .
5◦ Jeżeli dysponujemy przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych,
to jest ona także przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, gdyż w
definicji w odniesieniu do skalarów występują tylko kwantyfikatory ogólne.
Na odwrót, jeżeli V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, to możemy z niej otrzymać przestrzeń zespoloną biorąc zbiór W =
V × V i działania
(u, u0 ) + (v, v 0 ) = (u + u0 , v + v 0 )
(x + yi) · (v, v 0 ) = (x · v − y · v 0 , x · v 0 + y · v),
gdzie u, u0 , v, v 0 ∈ V , x + yi ∈ C.
Tak uzyskaną zespoloną przestrzeń liniową nazywamy kompleksyfikacją
przestrzeni V .
Stwierdzenie 5.3 W przestrzeni liniowej istnieje dobrze określone odejmowanie wektorów.
2
Dowód: Wystarczy do grupy (V, +) zastosować stw. 2.8. Wówczas pisać
będziemy u − v na oznaczenie jedynego rozwiązania równania v + x = u.
Stwierdzenie 5.4 w przestrzeni liniowej (V, F, +, ·) zachodzą, dla v ∈ V
oraz a ∈ F , następujące warunki:
1. a · v = θ ⇐⇒ a = 0 lub v = θ
2. (−1) · v = −v
Dowód:
Niech v ∈ V , a ∈ F .
V2
V6
1. a · θ = a · (θ + θ) = a · θ + a · θ, skąd na mocy prawa skreśleń (stw.
2.7) otrzymujemy, że a · θ = θ.
V8
V6
V8
Ponadto v + 0 · v = 1 · v + 0 · v = (1 + 0) · v = 1 · v = v i ponownie
zastosowane prawo skreśleń w (V, +) (stw. 2.7) daje 0 · v = θ.
Na odwrót, załóżmy, że a · v = θ oraz a 6= 0. Wówczas mnożymy
równość stronami przez a−1 otrzymując na mocy (V8) i części ”wtedy”
równość v = a−1 θ = θ.
V8
V6
V8
2. v + (−1) · v = = 1 · v + (−1) · v = (1 + (−1)) · v = 0 · v = θ, skąd
−v = (−1) · v.
Definicja 5.5 Niech I, X będą zbiorami, X 6= ∅. Układem elementów ze
zbioru X indeksowanym zbiorem I nazywamy funkcję działającą ze zbioru
I w zbiór X.
Jeżeli wartość tej funkcji dla argumentu i ∈ I oznaczamy przez xi , to
rozważany układ zapisujemy jako (xi )i∈I . Jeżeli I = {1, . . . , n} dla pewnego
n ∈ N, piszemy po prostu (x1 , . . . , xn ). Analogiczną konwencję stosujemy
stosujemy dla innych zbiorów skończonych.
Zbiór elementów układu ze zbioru X indeksowanego zbiorem I ma na
ogół mniej elementów niż zbiór I, np. układ (u, v, u) (trójelementowy) zawiera tylko elementy u, v.
Definicja 5.6 Niech (vi )i∈I będzie układem wektorów z przestrzeni liniowej
VF , zaś (ai )i∈I — układem skalarów z ciała F takim, że prawie wszystkie z
nich są równe 0.
Kombinacją liniową układu (vi ) o współczynnikach (ai ) nazywamy wektor
n
X
i∈I
ai · vi =
X
aij · vij = ai1 · vi1 + . . . + ain · vin ,
j=1
gdzie {i1 , . . . , in } = {i ∈ I ; ai 6= 0}.
3
Kombinacją liniową układu pustego (gdy I = ∅) nazywamy wektor zerowy.
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych układu (vi )i∈I oznaczamy przez
lin (vi )i∈I i nazywamy przestrzenią generowaną przez układ (vi )i∈I .
Kombinacją liniową skończonego układu wektorów (v1 , . . . , vn ) z przestrzeni liniowej VF o współczynnikach a1 , . . . , an ∈ F jest wektor
n
X
ai · vi = a1 · v1 + . . . + an · vn
i=1
W przestrzeni liniowej nie da się na ogół określić kombinacji liniowej o
nieskończonej liczbie współczynników różnych od zera.
4