okresowosc - teoria - E-SGH
Transkrypt
okresowosc - teoria - E-SGH
ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Szereg czasowy – zbiór wartosci badanej cechy lub wartosci badanego zjawiska zaobserwowanych w róznych momentach czasu uporzadkowany chronologicznie. Skladniki szeregu czasowego: 1. tendencja rozwojowa (trend) 2. wahania okresowa 3. wahania koniunkturalne 4. wahania przypadkowe Najprostsza metoda analizy szeregów czasowych jest wyrównywanie szeregu prowadzace do wyeliminowania z szeregu wahan przypadkowych a przy odpowiednim postepowaniu okresowych. Mozna takze dokonac pomiaru wahan okresowych poprzez porównanie pierwotnego szeregu czasowego z szeregiem wyrównanym (wskazniki okresowosci). WYRÓWNYWANIE SZEREGU CZASOWEGO Jedna z metod wyrównywania szeregu czasowego jest obliczenie srednich ruchomych i zastapienie nimi pierwotnych wyrazów szeregu czasowego. Srednie ruchome mozna policzyc na podstawie: 1) nieparzystej liczby podokresów w pelnym cyklu wahan: q 1 yt = ∑y 2 q + 1 r =− q t + r (t = q + 1, q + 2,..., n − q ) (dla q=1 otrzymujemy wzór na srednie ruchome trzyokresowe, dla q=2 wzór na srednie ruchome pieciookresowe, itd.). Szereg zlozony z tak obliczonych srednich ruchomych jest krótszy od pierwotnego szeregu o 2q wyrazów. 2) parzystej liczby podokresów w pelnym cyklu wahan tzw. srednie ruchome scentrowane (np. wahania pólroczne, kwartalne, miesieczne) q −1 1 1 1 yt = y + y + y t −q ∑ t+r t +q 2q 2 2 r =− q (t = q + 1, q + 2,..., n − q ) Przyklad: 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Czas szereg niewyrównany srednie ruchome 3-okresowe srednie ruchome 5-okresowe POMIAR WAHAN OKRESOWYCH: Pomiaru wahan okresowych dokonuje sie za pomoca wskazników okresowosci. Sposób konstrukcji wskazników zalezy od tego, czy w badanym szeregu wystepuje trend oraz czy wahania okresowe nakladaja sie na trend w sposób addytywny czy multiplikatywny. Szereg czasowy addytywny – szereg czasowy, którego poszczególne elementy sumuja sie a funkcja trendu jest liniowa. Wahania okresowe cechuje tu w przyblizeniu stala amplituda wahan. Szereg czasowy multiplikatywny – szereg czasowy, którego poszczególne elementy nakladaja sie na trend w sposób mnoznikowy a funkcja trendu jest nieliniowa. Amplituda wahan okresowych jest tu proporcjonalna do poziomu zjawiska. Wskazniki wahan okresowych dla szeregu czasowego bez trendu Wielkosc wahan okresla sie porównujac srednie wartosci badanej zmiennej obliczone dla poszczególnych podokresów cyklu ze srednia wartoscia tej zmiennej obliczona na podstawie wszystkich obserwacji. 1. multiplikatywne yi (i=1,2,...,d) y Oi = gdzie: n – liczba elementów szeregu czasowego d – liczba podokresów i – numer podokresu w cyklu Ni – zbiór numerów obserwacji, które dotycza i-tego podokresu w cyklu 1 yi = ∑ yt (i ) - srednia wartosc badanej zmiennej w i-tym podokresie cyklu ni t∈N i 1 n y = ∑ yt - srednia z calego szeregu czasowego. n t =1 Interpretacja Oi : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym podokresie cyklu jest o (O i-1)100% wyzsza / nizsza od sredniego poziomu zjawiska w calym okresie. Zachodza równosci: d ∑ (O − 1) ⋅ 100% = 0 i i =1 d ∑O i =1 i =d 2. addytywne Si = y i − y (i=1,2,...,d) Interpretacja Si : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym podokresie cyklu jest o Si wyzsza / nizsza od sredniego poziomu zjawiska w calym okresie d Zachodzi równosc: ∑S i=1 i =0 Wskazniki wahan okresowych dla szeregu czasowego z trendem W tym przypadku wielkosc wahan okresla sie porównujac pierwotny szereg czasowy z szeregiem wyrównanym. Dlatego najpierw nalezy wyrównac szereg. 1. multiplikatywne a) najpierw obliczamy srednie ruchome yt b) nastepnie obliczamy indywidualne wskazniki okresowosci c) d) yt yt yt 1 nastepnie obliczmy surowe wskazniki okresowosci Oi ' = ∑ ni − 1 t∈Ni yt (i=1,2,...d); suma surowych wskazników okresowych najczesciej nie jest równa liczbie podokresów w cyklu, dlatego wskazniki nalezy oczyscic: d oczyszczone wskazniki okresowosci: Oi = Oi '⋅ d (i=1,2,...,d) O ' ∑ i i =1 d Zachodzi równosc: ∑O i =1 i =d Interpretacja Oi : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym podokresie cyklu jest o (O i-1)100% wyzsza / nizsza niz wynikaloby to z trendu. 2. addytywne Si ' = 1 ∑ ( yt − yt ) (i=1,2,...,d) – nieoczyszczone ni − 1 t∈Ni 1 d S i = Si '− ∑ Si ' (i=1,2,...,d) – oczyszczone d i =1 Interpretacja Si : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym podokresie cyklu jest o Si wyzsza / nizsza niz wynikaloby to z trendu. d Zachodzi równosc: ∑S i =1 i =0 Wskazniki okresowe sa obliczane w celu: 1) pomiaru wahan okresowych 2) eliminacji wahan okresowych z szeregu czasowego 3) prognozowania zjawiska dla przyszlych okresów ELIMINACJA WAHAN OKRESOWYCH ZA POMOCA WSKAZNIKÓW OKRESOWOSCI: a) w przypadku wahan multiplikatywnych procedura ta polega na dzieleniu wyrazów pierwotnego szeregu czasowego przez odpowiadajace im wskazniki Oi: y% t = yt dla t ∈ N i Oi b) w przypadku wahan addytywnych procedura ta polega na odejmowaniu od wyrazów pierwotnego szeregu czasowego odpowiadajace im wskazniki Si : y% t = y t − Si dla t ∈ N i Szereg czasowy o elementach y% t okreslony jest tylko przez trend i wahania przypadkowe. Na jego podstawie mozna oszacowac za pomoca MNK parametry funkcji trendu. PROGNOZWANIE ZJAWISKA: a) w przypadku wahan multiplikatywnych: yTP = yˆT ⋅ Oi dla T ∈ Ni gdzie yˆ T jest wartoscia oszacowanej funkcji trendu dla t=T. b) w przypadku wahan addytywnych: yTP = yˆT + Si dla T ∈ Ni