Mocne Prawo Wielkich Liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne Fakt

Projekt pn. "IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK"
realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - statystyka i prawdopodobie«stwo do przedmiotu: Metody i modele probabilistyczne
I rok II st. informatyka
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
Mocne Prawo Wielkich Liczb,
Centralne Twierdzenie Graniczne
Denicja 1.
Ci¡g
{Xn }n∈N
zmiennych losowych jest zbie»ny do zmiennej losowej
a) prawie na pewno (prawie wsz¦dzie,
P -prawie
X:
wsz¦dzie), je»eli
P ( lim Xn = X) = 1,
n−→∞
ozn.
p.n.
P −p.w.
p.w.
Xn −→ X , Xn −→ X , Xn −→ X .
b) wedªug prawdopodobie«stwa, je»eli
∀ε>0
ozn.
lim P (|Xn − X| > ε) = 0,
n−→∞
lim P (|Xn − X| < ε) = 1
n−→∞
P
Xn −→ X .
c) wedªug rozkªadu (sªabo zbie»ny), je»eli ci¡g dystrybuant
{FXn }n∈N jest zbie»ny do dystrybuanty FX rozkªadu zmiennej losowej X , przy n −→ ∞, w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci
d
D
dystrybuanty granicznej FX . Ozn. Xn −→ X , Xn −→ X .
Fakt 1.
Zale»no±ci mi¦dzy rodzajami zbie»no±ci zmiennych losowych s¡ nast¦puj¡ce:
p.n.
Xn −→ X
Fakt 2.
Je»eli ci¡g
{Xn }n∈N
=⇒
P
Xn −→ X
=⇒
D
Xn −→ X.
zbiega wg rozkªadu do staªej, to zbiega równie» wg praw-
dopodobie«stwa do tej samej staªej.
Fakt 3.
Je»eli
D
Xn −→ X
i
D
Yn −→ c,
to
D
Xn + Yn −→ X + c
Mocne Prawo Wielkich Liczb (MPWL)
Niech
oraz
X1 , X2 , . . .
D
Xn Yn −→ cX .
b¦dzie ci¡giem parami
niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Je»eli
X1 + . . . + Xn n→∞
−→ EX1 ,
n
Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG)
P -prawie
Niech
E|X1 | < ∞,
to
wsz¦dzie.
X1 , X2 , . . .
b¦dzie ci¡giem nieza-
le»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie ze sko«czon¡ warto±ci¡ oczekiwan¡
i sko«czon¡, dodatni¡ wariancj¡. Wówczas
X1 + . . . + Xn − nEX1 D
√
−→ X ∼ N (0, 1).
nV arX1
Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
Wniosek (Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a) Niech Sn oznacza liczb¦ sukcesów w
schemacie
czeniu
n prób Bernoullego z prawdopodobie«stwem sukcesu w pojedynczym do±wiadrównym p (zatem Sn ∼ B(n, p)). Je»eli V arSn = npq > 9 gdzie q = 1 − p,
to
Sn − np D
−→ X ∼ N (0, 1),
√
npq
zatem
gdzie
Sn − np
n→∞
≤ b −→ Φ(b) − Φ(a),
P a≤ √
npq
Φ(t)
jest dystrybuant¡ standardowego rozkªadu normalnego.
Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego