WRAiT lista 13 16 I 2014
Transkrypt
WRAiT lista 13 16 I 2014
WRAiT Zad. 1 Oblicz całk˛e Zad. 2 Niech ∫ [0,10] lista 13 16 I 2014 x3 dµ jeśli dµ (x) = fn (x) = Oblicz limn→∞ Zad. 3 ∫ R fn dλ oraz ∫ R ∑∞ 1 k=1 k2 { 0 1 n dδk (x). |x| > n, |x| 6 n limn→∞ fn dλ. Podaj przykład ciagów ˛ funkcji borelowskich fn : R → R takich, że ∫ ∫ ∫ ∫ lim inf fn dλ < lim inf fn dλ, lim inf fn dλ > lim inf fn dλ, n→∞ R n→∞ n→∞ R n→∞ R ∫ ∫R ∫ ∫ lim sup fn dλ > lim sup fn dλ, lim sup fn dλ < lim sup fn dλ. n→∞ R R n→∞ n→∞ Zad. 4 Oblicz całki ∫ 1. [0,1] x2 dλ 2. ∫ Q R R n→∞ x2 dλ. Niech f : [0, 1] → R b˛edzie dana wzorem: { 1 x ∈ [0, 1] \ Q f(x) = 0 x ∈ [0, 1] ∩ Q ∫ Pokaż, że f nie jest całkowalna w sensie Riemanna oraz oblicz [0,1] f dλ. Zad. 5 Zad. 6 Załó ∫ żmy, że ∫f : R → R jest całkowalna (w sensie Lebesgue’a). Pokaż, że jeśli |f| jest całkowalna oraz f dλ 6 |f| dλ. Zad. f : R → R, g : R → R sa˛ całkowalne (w sensie Lebesgue’a). Pokaż, że jeśli f 6 g, ∫ 7 Funkcje ∫ to f dλ 6 g dλ. Zad. 8 Pokaż, że ∫ ∫ ∫ a f + b g dλ = a f dλ + b g dλ, dla wszystkich a, b ∈ R, f i g całkowalnych. ∫ Zad. 9 Oblicz (0,1) f dλ, jeśli { x jeśli x ∈ Q 1. f(x) = 0 w innym wypadku. { 2. f(x) = x2 0 ∫ Niech C b˛edzie zbiorem Cantora. Oblicz (0,1) f dλ, jeśli 1 { sin πx jeśli x ∈ [0, 2 ] \ C ex 2. f(x) = 1. f(x) = cos πx jeśli x ∈ [ 12 , 1] \ C 2 ex 2 x jeśli x ∈ C jeśli x ∈ (0, 1) \ Q w innym wypadku. Zad. 10 jeśli x ∈ (0, 1) \ C jeśli x ∈ C.