Równościowo definiowalne klasy odwzorowań

Równościowo definiowalne klasy odwzorowań
Wśród wszystkich odwzorowań pomiędzy R-modułami moŜna wyróŜnić takie, które są scharakteryzowane
przez pewne warunki typu równości. Dla przykładu odwzorowania liniowe są tymi, które spełniają równości
f(rx)=rf(x), r∈R, f(x+y)=f(x)+f(y),
gdzie x,y są dowolnymi elementami dziedziny f. RozwaŜa się takŜe odwzorowania kwadratowe, które są
scharakteryzowane przy pomocy następujących warunków:
(1) f(rx)=r2f(x), r∈R,
(2) funkcja dwóch zmiennych ∆2f określona wzorem (∆2f)(x,y)=f(x+y)−f(x)−f(y) jest dwuliniowa.
Ostatni warunek (dzięki symetrii ∆2f) moŜna rozpisać jako koniunkcję dwóch warunków:
(2a) (f(rx+y)−rf(x+y))−(f(rx)−rf(x))−(f(y)−rf(y))=0,
(2b) (∆3f)(x,y,z)=f(x+y+z)−f(x+y)−f(y+z)−f(x+z)+f(x)+f(y)+f(z)=0.
Uogólnieniem obu powyŜszych typów odwzorowań są tak zwane m-odwzorowania (określone i badane
w [1]), zadane przy pomocy warunków:
(A1) f(rx)=rmf(x), r∈R,
(A2) funkcja m zmiennych ∆mf (określona analogicznie do ∆2f i ∆3f) jest m-liniowa.
Warunek (2) moŜna, jak poprzednio, rozpisać na dwa warunki, z których drugi mówi, Ŝe ∆m+1f=0. Widać
teŜ, Ŝe odwzorowania kwadratowe to 2-odwzorowania, a liniowe to 1-odwzorowania, przy czym warunek
addytywności oznacza, Ŝe ∆2f =0.
Wszystkie odwzorowania wyznaczone przez wielomiany jednorodne stopnia m są m-odwzorowaniami,
jednak, w przeciwieństwie do przypadków m=1 i m=2, na ogół nie na odwrót. Oznacza to, Ŝe przy m>2
potrzebne są dodatkowe warunki. Jak pokazują powyŜsze przykłady, warunki te powinny mieć postać
Σj rj (Σk sjkxk) = 0,
gdzie j, k przebiegają skończone zbiory indeksów, rj, sjk ∈ R oraz xk są dowolnymi elementami dziedziny
odwzorowania f. Przy tym wygodnie jest zakładać, Ŝe rj, sjk są ustalone dla kaŜdej równości. Jeśli natomiast są
one traktowane jako dodatkowe zmienne przebiegające pierścień R, to tak rozumianą równość nazywamy
ścisłą.
MoŜemy teraz określić równościowo definiowalną klasę odwzorowań między modułami jako klasę
takich odwzorowań, które spełniają pewien układ równości powyŜszego typu. Jeśli równości te są ścisłe, to
klasę takŜe nazywamy ścisłą.
Klasa Homm odwzorowań pochodzących od wielomianów jednorodnych stopnia m na ogół nie jest
równościowo definiowalna. Winę za to ponosi fakt, Ŝe z reguły wielomiany i odwzorowania wielomianowe nie
są tym samym. Istnieje jednak najmniejsza klasa równościowo definiowalna ED(Homm) zawierająca Homm,
która w pewnym określonym sensie jest jej dostatecznie bliska. Inną sprawą jest kwestia, czy ta klasa jest
ścisła, czy teŜ nie. Okazuje się, Ŝe jest tak dokładnie wtedy, gdy m≤5. W czym przejawiać się moŜe
"nieścisłość" równości dla m>5, pozostaje na razie zagadką.
Jedną z równości, którą spełniają odwzorowania klasy Homm, jest tak zwany warunek regularności:
(A) (∆m−1f)(rx,sy,)−r(∆m−1f)(x,sy,)−s(∆m−1f)(rx,y,)+rs(∆m−1f)(x,y,)=0,
gdzie  zastępuje pozostałe zmienne. W związku z tym m-odwzorowania spełniające dodatkowo ten warunek
nazywamy regularnymi.
W przypadku m=3 pokazuje się, Ŝe klasa ED(Hom3) jest identyczna z klasą regularnych 3-odwzorowań,
a zatem składa się z dokładnie tych odwzorowań, które spełniają warunki (A1), (A2) i (A). W przypadku m=4
potrzebne są jeszcze trzy dodatkowe ścisłe równości:
(B1) (∆2f)(rx,sy)−r(∆2f)(x,sy)−s(∆2f)(rx,y)+rs(∆2f)(x,y)−(s−s2)[r]=0,
(B2) (∆2f)(rsx,y)−r(∆2f)(sx,y)−s3(∆2f)(rx,y)+rs3(∆2f)(x,y)+(s2−s3)[r]=0,
(B3) 3(∆2f)(rx,y)−3r(∆2f)(x,y)+(1-r)(∆3f)(rx,x,y)+[r]=0,
gdzie [r] jest skrótem pewnego wyraŜenia zaleŜnego od r,f,x,y, skomplikowanej postaci, ale o bardzo dobrych
własnościach, analogicznych do własności elementów r−r2 pierścienia R. Przypadek m=5 (czyli ostatni ścisły)
jest obecnie badany. Do tej pory zostały znalezione wszystkie te dodatkowe równości, które zaleŜą od ∆3f; są
one w pewnej mierze podobne do powyŜszych.
[1] M. Ferrero, A. Micali, Sur les n-applications, Bull. Soc. Math. France Mém. 59 (1979), 33-53
[2] A. Prószyński, Equationally definable functors and polynomial mappings, J. Pure Appl. Algebra 56 (1989), 59-84
[3] A. Prószyński, Forms and mappings. III: Regular m-applications, Comment. Math. 28 (1989), 305-330
[4] A. Prószyński, Forms and mappings. IV: Degree 4, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 37 (1989), 270-278
[5] A. Prószyński, Odwzorowania wyŜszych stopni, Wyd. Uczelniane WSP, Bydgoszcz 1987