Grupy homotopii i twierdzenie Whitehead`a

Grupy homotopii i twierdzenie Whitehead’a
Krzysztof Krzywdziński
Streszczenie
W niniejszym referacie wprowadzone zostaną podstawowe pojęcia
takie jak homotopijna równowazność, grupa podstawowa, wyższe grupy homotopii oraz pojęcie CW-kompleksu. Na koniec podany zostanie
jeden z fundamentalnych wyników; twierdzienie Whiteheada.
1
Wstęp
Topologia jest dziedziną matematyki zajmującą się badaniem kształtów.
Nie liczy się w niej wielkość długośća ale te cechy któe nie zmieniają się
po ”‘plastycznych deformacjach”’ takie jak np. ilość dziur. Topologia algeabraiczna stara się powiązać obiekty topologiczne z obiektami algebraicznymi (przeważnie prostszymi) i badając te drugie chce wywniskować coś o
tych pierwszych. Teoria homotopii to jeden z przykładów takich powiązań.
Badając różne sposoby ”włożenia” n-wymiarowych swer w daną przestrzeń
topologiczą otrzymujemy grupę (obiekt algebraiczny) którą nazywamy n-tą
grupą homotopii. Twierdzienie Whiteheada mówi nam że jeśli dwie specjalne przestrzenie (tzw. CW- kompleksy) mają identyczne grupy homotopii to
są one bardzo podobne kształtem (homotpijnie równoważne). Czyli badając
grupy homotopii danych przestrzeni dowiadujemy się w zasadzie wszytskiego
o tych przestrzeniach.
1
2
Homotopia
Definicja 1 (odwzorowania homotopijne)
Dwa ciągłe odwzorowania przestrzeni topologicznych f, g : X → Y nazywamy homotopijnymi, pisząc f ' g, jeśli istnieje homotopia między nimi,
tzn. ciągłe odwzorowanie h : X × [0, 1] → Y takie, że h(x, 0) = f (x) i
h(x, 1) = g(x) dla każdego x ∈ X.
Definicja 2 (homotopijna równowazność)
Odwzorowanie ciągłe nazywamy homotopijną równoważnością pomiędzy
X a Y jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie g : Y → X takie że g ◦ f ' IdX
oraz f ◦ g ' IdY . Mówimy wtedy że X i Y są homotopijnie równoważne.
Wniosek 1 Homotopijna równoważność jest relacją równoważności.
Definicja 3 Dwa zbiory są homotpijnie równoważne jeśli istnieje między nimi homotpijna równoważność/
Definicja 4 (kalsy homotopii)
Zbiór klas homotp ciągłych odwzorowań X → Y oznaczamy jako [X, Y ]
3
Grupy homotopii
Oznaczenia 1
(i) I n n-wymiarow kostka jednostkowa
(ii) ∂I n brzeg n-wymiarowej kostaki
Definicja 5 (n-ta grupa homotpii) Grupa πn (X, x0 ) to zbiór klas homotopii odwzorowań f : (I n , ∂I n ) → (X, x0 ) które spełniają warunek ft (∂I n ) =
x
0 . Działanie w tej grupie zadane jest wzorem: (f + g)(s1 , s2 , . . . , sn ) =
f (2s , s , . . . , s ),
s1 ∈ [0, 1/2]
1 2
n
g(2s1 − 1, s2 , . . . , sn ), s1 ∈ [1/2, 1]
Wniosek 2 Grupa homotopii jest niezmiennikiem homotopijnym
Jeśli X ' Y to dla każdego n πn (X) = πn (Y )
2
4
Metody obliczania grup homotopii
Przykład 1 Metody obliczania grup homotopii
(i) jeśli k < n to πk (S n ) = 0
(ii) πn (S n ) = Z
(iii) πn (X × Y, (x0 , y0 )) = πn (X, x0 ) × πn (Y, y0 );
(iiii) πi (S n )
i
1
n 1 Z
2 0
3 0
4 0
4 0
5
2
0
Z
0
0
0
3
0
Z
Z
0
0
4
0
Z2
Z2
Z
0
5
0
Z2
Z2
Z2
Z
6
0
Z12
Z12
Z2
Z2
7
0
Z2
Z2
Z × Z12
Z2
8
0
Z2
Z2
Z2 × Z2
Z24
Cw - kompleksy
Definicja 6 CW - kompleks
(i) X 0 dyskretny zbiór (0-komórki)
(ii) Indukcyjnie n-szkielet X n otrzymujemy z X n−1 poprzez przyklejanie nkomórek enα poprzez odwzorowania ψα : S n−1 → X n−1 . Czyli X n jest przestrzenią ilorazową powstałą z sumy rozłącznej X n−1 ze zbiorem dysków nwymiarowych. Jako zbiór jest to X n = X n−1 qα enα .
(iii) W przypadku skończenie wymiarowym mamy x = X n dla pewnego n <
∞. Można kontunuować nieskończenie biorąc X = ∪n X n ze słabą topologią
: A ⊂ X otwarty iff A ∩ X n jest otwarty dla każdego n.
6
Twierdzienie Whitehada
Twierdzenie 1 Twierdzienie Whitehada Jeśli odwzorowanie f : X → Y pomiędzy spójnymi CW-kompleksami indukuje izomorfizm f∗ : πn (X) → πn (Y )
dla wszystkich n to f jest homotopijną równoważnością.
3
Krzysztof Krzywdziński
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Literatura
[1] A. Hatcher, Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/ hatcher.
[2] C. Kosniowki, Wprowadzenie do topologii algebraicznej, Wydawnictwo
naukowe UAM 1999.
[3] K. Janich, Topologia, PWN 1998.
[4] E. H. Spanier Topologia Algebraiczna, PWN 1966.
4