poznać, zrozumieć - Sklep WSiP

LICEUM
I TECHNIKUM
zakres podstawowy
Matematyka
poznać, zrozumieć
od
ZGODNY
Z WYMAGANIAMI 2015
Podręcznik, klasa
Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty
i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego
do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej,
dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Tomasza Karpowicza.
Zakres kształcenia: podstawowy
Etap edukacyjny: IV
Typ szkoły: szkoły ponadgimnazjalne
Rok dopuszczenia: 2012/2014
Numer ewidencyjny w wykazie wspólny dla tradycyjnej i elektronicznej formy podręcznika:
540/1/2012/2014
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o.
Warszawa 2012
Wydanie II (2015)
ISBN 978-83-02-15133-0
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Aneta Juchimiuk (redaktor koordynator, redaktor merytoryczny),
Agnieszka Trzpil-Gajek (redaktor merytoryczny), Ewa Kowalik (współpraca redakcyjna)
Konsultacje naukowe: Leon Gulgowski
Redakcja językowa: Milena Schefs
Redakcja techniczna: Janina Soboń
Projekt okładki: Paweł Rafa
Projekt stron działowych: Joanna Plakiewicz
Projekt graficzny: Katarzyna Trzeszczkowska
Opracowanie graficzne: Joanna Plakiewicz
Opracowanie kartograficzne: Jerzy Domosud
Fotoedycja: Ignacy Składowski
Skład i łamanie, rysunki: MathMaster Studio
Zalecane wymagania systemowe i sprzętowe
Podręcznik elektroniczny w formacie PDF otwierany na komputerach PC i MAC wymaga zainstalowania
bezpłatnego programu Adobe Reader (http://get.adobe.com/reader/); otwierany na tabletach i telefonach
z systemem Apple iOS wymaga zainstalowania bezpłatnego programu iBooks (do pobrania ze sklepu
App Store); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Android wymaga zainstalowania bezpłatnego
programu Adobe Reader (do pobrania z Google Play).
Pomoc techniczna: [email protected]
Materiały, do których masz dostęp, nie mogą być rozpowszechniane publicznie, nie mogą być przedmiotem
dalszego obrotu. Rozporządzanie ich opracowaniem wymaga uzyskania zgody.
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne spółka z ograniczoną odpowiedzialnością
00-807 Warszawa, Al. Jerozolimskie 96
Tel.: 22 576 25 00
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują.
Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej
w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło.
A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki
SPIS TREŚCI
O podręczniku .................................................................................................................
6
1. Z b i ó r l i c z b r z e c z yw is tych
i j ego p o d z bi o r y ...........................................................................
11
Język matematyki ...................................................................................................
Zbiory i działania na zbiorach ................................................................................
Liczby naturalne i liczby całkowite .........................................................................
Liczby wymierne i liczby niewymierne ...................................................................
Liczby rzeczywiste ..................................................................................................
Potęga o wykładniku całkowitym. Notacja wykładnicza ..........................................
Wzory skróconego mnożenia .................................................................................
Pierwiastek dowolnego stopnia ..............................................................................
Potęga o wykładniku wymiernym ..........................................................................
Procenty .................................................................................................................
Przedziały liczbowe ................................................................................................
Wartość bezwzględna .............................................................................................
Błąd przybliżenia ....................................................................................................
Pojęcie logarytmu...................................................................................................
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
12
19
24
30
36
40
46
50
56
62
68
73
79
83
89
2. Funkcja
i j ej w ł a sn o śc i ................................................................................
91
Pojęcie funkcji. Sposoby opisywania funkcji ..........................................................
Wykres funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji ................................................
Wzór funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji....................................................
Monotoniczność funkcji .........................................................................................
Odczytywanie własności funkcji z wykresu ............................................................
Rysowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach ..........................................
Zastosowanie wiadomości o funkcjach w zadaniach praktycznych ........................
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
92
101
107
112
118
125
130
138
3. Funkcja liniowa ......................................................................
141
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3.1
3.2
Proporcjonalność prosta ......................................................................................... 142
Funkcja liniowa i jej własności ............................................................................... 146
SPIS TREŚCI
3.3
Równoległość i prostopadłość prostych ..................................................................
Zastosowanie funkcji liniowej do opisywania zjawisk z życia codziennego ...........
Równania liniowe...................................................................................................
Nierówności liniowe ...............................................................................................
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi ..............................................
Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem układów równań liniowych ......
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
155
163
166
171
181
188
191
4. Prz e ksz t a ł c a n i e
w y k re só w fu n kc j i ........................................................................
193
Symetria względem osi układu współrzędnych ......................................................
Symetria względem początku układu współrzędnych ............................................
4.3 Przesunięcia wykresu funkcji równolegle do osi x i do osi y ..................................
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
194
199
204
210
5. Funkcja
k wa d r a t o w a .......................................................................................
213
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4.1
4.2
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
6.1
6.2
Funkcja f(x) = ax2, a z0 ..........................................................................................
Przesunięcia wykresu funkcji f(x) = ax2, a z0 ..........................................................
Postać ogólna i postać kanoniczna funkcji kwadratowej.........................................
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa
funkcji kwadratowej ...............................................................................................
Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej
w przedziale domkniętym......................................................................................
Zastosowanie własności funkcji kwadratowej ........................................................
Funkcja kwadratowa w zadaniach optymalizacyjnych ............................................
Równania kwadratowe ...........................................................................................
Nierówności kwadratowe .......................................................................................
Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności kwadratowych .............
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
214
219
223
6. Trygonometria ..........................................................................
259
228
235
238
242
245
250
254
257
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ........................ 260
Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0° do 180° w układzie
współrzędnych....................................................................................................... 267
SPIS TREŚCI
6.3
Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach
od 0° do 180° ...........................................................................................................
6.4 Podstawowe tożsamości trygonometryczne ............................................................
6.5 Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest wartość sinusa
lub cosinusa kąta ....................................................................................................
6.6 Zastosowanie trygonometrii ...................................................................................
A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu.................................................
Ban k z a d a ń ........................................................................................
274
279
284
288
293
295
Wartości funkcji trygonometrycznych.............................................................................. 324
O d p o w i e d z i .......................................................................................
325
Indeks .............................................................................................................................. 342
O podręczniku
Pamiętaj, Matematyka. Poznać, zrozumieć. Klasa 1 jest podręcznikiem wieloletnim,
dlatego zakazane jest pisanie po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Podręcznik został podzielony na sześć rozdziałów tematycznych.
Na jego końcu zamieszczono odpowiedzi do większości znajdujących się w nim zadań.
Odsyłacz do
Banku zadań
Strona działowa
z wymaganiami
szczegółowymi
z podstawy
programowej
dla zakresu
podstawowego
A gdyby sprawdzian był teraz?
Zestawy krótkich zadań
zamkniętych i otwartych,
sprawdzających opanowanie
wiadomości z danego tematu
A gdyby matura
była teraz?
Zestawy zadań
skonstruowanych
na wzór zadań
maturalnych, oparte
na materiale
danego działu
A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
ZESTAW – poziom podstawowy
Zadanie 1. (1 p.)
Dana jest funkcja f(x) = x2 + x − 12. Wówczas
A. funkcja nie ma miejsc zerowych.
B. funkcja jest rosnąca w przedziale 1; +∞).
C. zbiorem wartości funkcji jest zbiór −12; +∞).
D. funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziale (−4; 3).
Zadanie 2. (1 p.)
Do wykresu funkcji f(x) = x2 − 3x + 1 należy punkt
3
5
3 1
,−
B. (−3, 1)
C. − ,
A.
D. (1, 2)
Zadanie 3. (1 p.)
Zbiorem wartości funkcji f(x) = −2(x + 1)2 + 1 jest zbiór
A. 1; +∞)
B. (−∞; −2
C. (−∞; 1
D. −2; 1
2
Temat lekcji
4
2
2
Zadanie 4. (1 p.)
Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: x = −3 oraz x = 2. Funkcję f możemy
zapisać za pomocą wzoru
B. f(x) = x2 − x + 6
A. f(x) = x2 + x − 6
C. f(x) = x2 + 2x − 3
D. f(x) = x2 − 3x + 2
Zadanie 5. (1 p.)
Równanie x2 − 7x + 12 = 0
A. ma jedno rozwiąz
rozwiązanie.
wiązanie
a e.
C.. ma ddwa
C
wa rrozwiązania
o ązan
ozwi
ą iaa dod
ddodatnie.
B. nie ma rozwiązań.
D. ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Zadanie
p.)
Zaadanie 6. ((33 p.
p
.)
Naa rysunku
przedstawiono
wykres funkcji kwadratowej f
rrysunkuu ppr
rze
zzed
eddsstaw
ed
wionno w
oraz
oora
raz
az wykres
az
wykr
w
ykkrres
es ffunkcji
unk
uun
nnkkcji lliniowej
iniow
wej g. Podaj:
a) współrzędne
wykresów funkcji f i g,
współrzęddn
dne punktów
punktów wspólnych
wsp
b) rozwiązan
nie nni
ni
ieróównoości g(x) 3,
rozwiązanie
nierówności
y = g(x)
y = f(x)
c) rozwiązan
nniie nni
ierów
wnoości g(x) f(x).
rozwiązanie
nierówności
Zadanie 7. (33 p.)
p.
p.)
Na rysunku przedstawiono
pprrzedstawiiono wykres funkcji kwadratowej
y = f(x)
f x). Odc
f(
Odczytaj
cczzy
zzyt
yyttaj
aj w
współrzędne
spółłrzęd punktów przecięcia wykresu
funkcji
j z osiami
osiaami
am
am
mii uukładu
kładu w
wspó
współrzędnych. Zapisz wzór tej funkcjii w pos
taci ogólnej.
oogggóólnej.
ogó
postaci
y = f(x)
257
Definicje,
które trzeba znać
Rozwiązane
przykłady
W podręczniku wprowadzono następujące wyróżnienia:
Treści nauczania – wymagania szczegółowe – przed każdym rozdziałem podręcznika
zamieszczamy wykaz umiejętności zgodny z nową podstawą programową.
Definicja
Twierdzenie
– definicje.
– twierdzenia.
– ważne informacje do zapamiętania.
– treści rozszerzające zakres podstawowy. O ich realizacji decyduje nauczyciel.
– wskazane użycie kalkulatora.
C I E K AW O S T K A
– interesujące wiadomości.
ZADANIA
– zestaw zadań do każdego tematu.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
– zestaw krótkich zadań sprawdzających opanowanie wiadomości z danego tematu.
PROJEKT
– praca długoterminowa.
BANK ZADAŃ z. 273–278 » » » – odsyłacz do Banku zadań.
A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
– zadania skonstruowane na wzór zadań maturalnych, oparte na materiale danego działu.
BANK ZADAŃ
– zbiór dodatkowych zadań, umożliwiających
utrwalenie zdobytych wiadomości i umiejętności.
Matematyka jest królową wszystkich nauk,
jej ulubieńcem jest prawda,
a prostość i oczywistość jej strojem.
Jędrzej Śniadecki
Mamy nadzieję, że nasz podręcznik pomoże Wam odkryć piękno matematyki.
Staraliśmy się tak go napisać, abyście mogli dokonywać samodzielnych odkryć.
Chcielibyśmy, abyście chętnie poznawali nowe treści i korzystali z tego podręcznika bez ciągłego przypominania wiadomości poznanych wcześniej.
Każdy temat z podręcznika zawiera wiele przykładów, ćwiczeń i zadań do samodzielnego rozwiązania. Dodatkową porcję zadań zamieściliśmy w blokach A gdyby
sprawdzian był teraz?, umieszczonych na końcu każdego tematu, oraz w Banku
zadań na końcu podręcznika. Dla uczniów bardziej zainteresowanych matematyką
przygotowaliśmy projekty, czyli propozycje prac długoterminowych.
Każdy rozdział kończą zestawy zadań A gdyby matura była teraz?, przygotowujące
do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym. Zadania te treściowo odnoszą się bezpośrednio do poprzedzającego je rozdziału. Odpowiedzi do większości zadań znajdziecie na końcu podręcznika.
Autorzy
ˆ UKŁAD GALAKTYK
KWINTET STEFANA
1
Zbiór
liczb
rzeczywistych i jego podzbiory
Treści nauczania – wymagania szczegółowe:
przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach
obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych)
posługiwanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia
i stosowanie praw działań na pierwiastkach
obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań
na potęgach o wykładnikach wymiernych
wykorzystywanie podstawowych własności potęg (również w zagadnieniach
związanych z innymi dziedzinami wiedzy)
wykorzystywanie definicji logarytmu i stosowanie w obliczeniach wzorów
na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym
obliczanie błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżenia
posługiwanie się pojęciem przedziału liczbowego, zaznaczanie przedziałów
na osi liczbowej
wykonywanie obliczeń procentowych, obliczanie podatków
używanie wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2 oraz a2 – b2