random(Staszic)

C
HB′
HB
HA
H
HA′
F
M
random(Staszic)
O
A
Niech moc, cyrkiel i linijka b¦d¡ z Tob¡.
B
HC
HC′
1. Rozwi¡» w liczbach caªkowitych dodatnich
2. Suma dodatnich liczb rzeczywistych
x, y, z
a1 , · · · , an
równanie
wynosi
1.
x! + y! = z!.
Udowodnij, »e
a21
a22
a2n
1
+
+ ··· +
>
a1 + a2
a2 + a3
an + a1
2
3. Funkcja
f :R→R
dla dowolnego
x∈R
speªnia równo±ci:
f (x) = f (2x) = f (1 − x).
Dowie±¢, »e
4. Niech
n
f
jest okresowa.
b¦dzie liczb¡ naturaln¡,
zapisu binarnego
5.
n!.
Wykaza¢, »e
q liczb¡ jedynek
n = p + q.
w jej zapisie binarnym, a
p
liczb¡ zer na ko«cu
To chyba byªo.
Dany jest trójk¡t
ABC
w którym
rzutem prostok¡tnym punktu
proste
AE
i
CM
D
AC = BC . Punkt D jest ±rodkiem boku AB , a punkt E jest
BC . Punkt M jest ±rodkiem odcinka DE . Dowie±¢, »e
na prost¡
s¡ prostopadªe.
6. Okr¡g o ±rodku
±rodki
I jest wpisany w trójk¡t ABC
odcinków BC i AA0 s¡ wspóªliniowe z I .
7. Wyka», »e równanie Fermata
xn + y n = z n
i styczny do boku
nie ma rozwi¡za« w
BC
w punkcie
x, y, z ∈ Z+ ,
gdy
A0 .
Wykaza¢, »e
x<n
(oczywi±cie
n ∈ N).
8. Rozwi¡» nast¦puj¡cy ukªad równa« w liczbach rzeczywistych:
 2
 x + 1 = 2y
y 2 + 1 = 2z
 2
z + 1 = 2x
9.
I to chyba te».
W ka»de pole niesko«czonej szachownicy wpisano liczb¦ caªkowit¡ dodatni¡ w taki sposób, »e dowolna liczba jest ±redni¡ harmoniczn¡ liczb s¡siaduj¡cych z ni¡. Udowodnij, »e wszystkie te liczby
s¡ parami równe.