numeryczne rozwiązywanie równań uderzenia hydraulicznego

NUMERYCZNE ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ UDERZENIA
HYDRAULICZNEGO – PORÓWNANIE METOD
Paweł Kowalski
Politechnika Gdańska
opiekun naukowy
prof. dr hab. inż. Romuald Szymkiewicz
Wydział Budownictwa Wodnego
i Inżynierii Środowiska
Katedra Hydrauliki i Hydrologii
1. STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono analizę zjawiska uderzenia hydraulicznego w prostym rurociągu, o
stałej średnicy w przypadku nagłego zamknięcia zaworu. Równania uderzenia hydraulicznego
rozwiązano trzema metodami: metodą charakterystyk, metodą różnic skończonych (czteropunktowy
schemat różnicowy) i zmodyfikowaną metodę elementów skończonych. Otrzymane wyniki symulacji
numerycznych wymienionymi metodami porównano z wynikami pomiarów.
2. WSTĘP
2.1. Zjawisko uderzenia hydraulicznego
Pod pojęciem uderzenia hydraulicznego rozumiemy gwałtowne zmiany ciśnienia w
przewodzie pod ciśnieniem, spowodowane szybkimi w czasie zmianami prędkości przepływu
cieczy.
W aspekcie fizycznym przepływy występujące w postaci uderzenia hydraulicznego są przepływami
nieustalonymi wywołanymi bezwładnością masy cieczy poruszającej się w rurociągu, której
prędkość przepływu uległa zmianie. Oznacza to, że zarówno średnia prędkość w dowolnym
przekroju rurociągu jak i ciśnienie są funkcjami czasu. Gwałtowna zmiana prędkości i strumienia
objętości przepływającej cieczy powoduje miejscową zmianę udziałów energii kinetycznej i
potencjalnej w energii całkowitej, wyrażającej się wzrostem lub spadkiem ciśnienia w strumieniu. W
warunkach bardzo szybkiego wyhamowania prędkości strumienia następuje gwałtowny spadek
energii kinetycznej, co powoduje nagły wzrost energii potencjalnej, uzewnętrzniający się dużym
przyrostem ciśnienia. Na przebieg zjawiska uderzenia hydraulicznego znaczny wpływ wywiera
ściśliwość cieczy oraz sprężystość ścianek rurociągu. W skrajnych przypadkach gwałtowny przyrost
ciśnienia może wywoływać przekroczenie wartości krytycznych naprężeń rozrywających w
ściankach rurociągu.
W układzie grawitacyjnym przedstawionym na rysunku 1, woda ze zbiornika, w którym panuje
stałe ciśnienie, przepływa przez przewód ze stałą prędkością U0.
H0
U0
L
Rys. 1. Schemat rurociągu prostego
Zakłada się, że ciecz rzeczywista jest ściśliwa, a przewód zawsze charakteryzuje się pewną
sprężystością, niezależnie od materiału z którego jest wykonany. Płynąca przez przewód masa cieczy z
chwilą zamknięcia zasuwy, wskutek ściśliwości, nie zostaje od razu zahamowana. W pierwszej fazie
zahamowaniu ulegają cząstki bezpośrednio uderzające o zasuwę. Z czasem zostają zahamowane
cząstki wody znajdujące się dalej od zasuwy, które naciskają w trakcie hamowania na cząstki już
zahamowane. Energia kinetyczna płynącej wody zmienia się na potencjalną, dając tym samym przyrost
wysokości ciśnienia. Wzrost ciśnienia w przewodzie spowodowany opisanym, stopniowym
zatrzymywaniem się cieczy rozprzestrzenia się wzdłuż osi przewodu z dużą prędkością, powodując
przyrost ciśnienia w cieczy oraz rozszerzenie rurociągu i możliwość wzrostu jego objętości. W cieczy
powstaje powierzchnia nieciągłości ciśnienia i prędkości, rozdzielająca część, w której panują jeszcze
niezmienione warunki ruchu ustalonego. Powierzchnia ta, nazywana falą uderzeniową, przemieszcza
się w przewodzie z prędkością [5, 8, 9, 11]:
c
1
d 
1
 

 K E e 
(1)
gdzie: c – prędkość fali uderzeniowej [m/s], ρ – gęstość cieczy [kg/m3], K – moduł sprężystości
cieczy [Pa], E – moduł sprężystości ścian przewodu – moduł Younga [Pa], e – grubość ścianki
przewodu [m], d – średnica wewnętrzna przewodu [m].
Z chwilą gdy zostanie wyhamowana ostatnia warstwa cieczy, ciśnienie przy zasuwie osiągnie
wartość maksymalną. Ponieważ ciśnienie w zbiorniku będzie wówczas niższe od ciśnienia przy
zasuwie, ciecz zacznie przepływać do zbiornika z prędkością U0. W rezultacie nastąpi obniżenie
ciśnienia przy zasuwie. Ten spadek ciśnienia przenoszący się od warstwy do warstwy w kierunku
zasuwy, nazywamy powrotną lub odbitą falą uderzeniową. Czas przebiegu dodatniej i odbitej fali
uderzeniowej czyli jej okres jest równy:
T  2L / c
(2)
gdzie: L – długość przewodu [m].
p
p 0+ p
p0
p 0- p
T
T
t0+2 T
t0
t
Rys. 2. Teoretyczny () i rzeczywisty (  ) przebieg zmian ciśnienia przy zaworze [5]
Spadek ciśnienia powoduje powtórną zmianę kierunku przepływu i cykl się powtarza. Na skutek straty
energii spowodowanej tarciem cieczy o ścianki przewodu dla cieczy rzeczywistej drugi maksymalny
przyrost ciśnienia jest mniejszy niż w cyklu pierwszym. Oscylacje ciśnienia stopniowo zanikają.
Powyższe uwagi potwierdzają wyniki eksperymentu fizycznego. W stanowisku badawczym,
którego schemat przedstawiono na rysunku 1, zastosowano wykonany ze stali, prosty rurociąg o
długości L = 25,1 m, stałej średnicy wewnętrznej d = 42 mm i grubości ścianek e = 3 mm.
Pomierzona w warunkach laboratoryjnych chropowatość bezwzględna k = 0,08 mm. Na końcu
rurociągu umieszczono zawór zamykający przepływ.
H [m H2O]
100
80
60
40
20
0
-20
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Rys. 3. Przebieg zmian wysokości ciśnienia w przekroju położonym przy zaworze
2.25
t [s]
W warunkach ruchu ustalonego prędkość średnia wynosi Up = 0,455 m/s, a ciśnienie w
początkowym przekroju obliczeniowym H(x = 0, t = 0) = H0 = 45 m. Prędkość fali ciśnienia
wynosi c = 1280 m/s. Pomierzone w trakcie eksperymentu ciśnienie w przekroju położonym przy
zaworze, dla pierwszych 2,25 sekund po całkowitym zamknięciu przepływu, przedstawiano na
rysunku 3.
3. OPIS MATEMATYCZNY
3.1. Układ równań uderzenia hydraulicznego
Opis zjawiska uderzenia hydraulicznego, którego parametry hydrauliczne zmieniają się zgodnie
z warunkami rzeczywistymi w sposób ciągły, przy uwzględnieniu strat hydraulicznych, otrzymuje się z
zasad zachowania pędu i masy [8]. Pierwsza z nich prowadzi do równania dynamicznego:
U
U
H
f 2
U
g

U 0
t
x
x 2d
(3)
zaś druga – do równania ciągłości:
H
H c 2 U
U

0
t
x
g x
(4)
gdzie: x – położenie, t – czas, U – prędkość, H – ciśnienie piezometryczne w rurociągu, f –
współczynnik oporów na długości, d – średnica rurociągu, g – przyspieszenie ziemskie, c –
prędkość fali ciśnienia, którą oblicza się zgodnie z zależnością (1).
Powyższe równania otrzymano przy założeniu, że: rurociąg jest zawsze napełniony cieczą i
znajduje się pod ciśnieniem przewyższającym prężność pary; rozkład ciśnienia i prędkości w
przekroju poprzecznym jest jednostajny; istnieje wpływ ściśliwości cieczy, sprężystości materiału,
straty hydrauliczne spowodowane tarciem cieczy oblicza się jak w ruchu ustalonym [8].
3.2. Warunki początkowo-brzegowe
Równania (3) i (4) tworzą układ równań różniczkowych cząstkowych typu hiperbolicznego.
Układ ten można rozwiązać dla zadanych warunków granicznych – początkowych i brzegowych.
Warunkiem początkowym jest informacja o prędkości i wysokości ciśnienia na całej długości
przewodu L w chwili t = 0, czyli
U(x, t = 0) = Up(x)
i
H(x, t = 0) = Hp(x)
dla
0xL
gdzie Up(x) i Hp(x) znane funkcje.
Natomiast warunkiem brzegowym są informacje o przebiegu zmian wysokości ciśnienia w czasie
na początku przewodu i prędkości przepływu na końcu przewodu, a mianowicie
H(x = 0, t) = H0(t)
i
U(x = L, t) = UL(t)
t0
dla
Warunkiem początkowym w wykonanym doświadczeniu jest prędkość Up = 0,455 m/s,
czyli U(x, t = 0) = 0,455 m/s i wysokość ciśnienia w pierwszym przekroju obliczeniowym H(x = 0,
t = 0) = H0 = 45 m. W kolejnych przekrojach obliczeniowych wysokości ciśnienia wyznaczono z
równania Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej [7].
W przypadku instalacji schematycznie przedstawionej na rysunku 1, warunkiem brzegowym na
początku rurociągu jest stały poziom zwierciadła w zbiorniku H(x = 0, t) = H0(t) = 45 m, natomiast
na końcu rurociągu przyjęto natychmiastowe całkowite zamknięcie przepływu, czyli U(x = L, t) =
UL(t) = 0 m/s.
4. NUMERYCZNE ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ UDERZENIA
HYDRAULICZNEGO
4.1. Metoda charakterystyk
Metoda charakterystyk jest klasyczną metodą numerycznego rozwiązania układu równań (3) i (4).
Najczęściej stosowanym wariantem tej metody jest przypadek, w którym wykorzystuje się stałą
siatkę węzłów jak na rysunku 4. Rozwiązanie równań uderzenia hydraulicznego tą wersją metody
charakterystyk po raz pierwszy zaproponowali w 1962 roku Streeter i Lai [8]. Jest ona również
przedstawiona w [3, 9, 11, 12].
x
t
x
C
n+1
_
C+
t
R
n
j 1
S
j
j +1
x
Rys. 4. Siatka węzłów z przecinającymi się charakterystykami [11]
Przy założeniu liniowości charakterystyk i przyjęciu, że prędkości przepływu w punktach R i S
nieznacznie różnią się od prędkości w węźle (j, n), nieznane wartości funkcji H i U na poziomie
czasu n+1 wylicza się następująco:
n
U
n 1
j
1
g
 U R  U S  
H R  H S    f U U  t
2
2c
 2d
j
H nj 1 
c
U R  U S   1  H R  H S 
2g
2
(5)
(6)
dla j = 2, 3, …, M–1
gdzie: M – liczba węzłów obliczeniowych.
przy czym:
t
 t n

U R  U nj 1 
U j  c   U nj1 U nj  c
x
 x





(7)




(8)




(9)

  H U
t n
t


U S  U nj  1 
U j  c   U nj1 U nj  c
x
 x

t
 t n

H R  H nj 1 
U j  c   H nj1 U nj  c
x
 x

t n

H S  H nj  1 
Uj c
 x
n
j 1

n
j
c
 xt
(10)
a t jest krokiem czasowym.
W równaniu (5) zamiast wyrażenia U2 wprowadzono UU, co zapewnia automatyczne
uwzględnienie w trakcie obliczeń znaku siły tarcia, która działa zawsze w kierunku przeciwnym do
kierunku przepływu.
Równania (5) i (6) umożliwiają obliczenie przybliżonych wartości prędkości U i ciśnienia H we
wszystkich węzłach wewnętrznych na poziomie czasowym n+1, natomiast w węzłach brzegowych,
tj. na początku i na końcu rurociągu zadane są warunki brzegowe. W węzłach j = 1 oraz j = M
znana jest jedna funkcja określona przez warunek brzegowy H1 oraz UM. Do obliczenia
brakujących wartości U1 i HM w tych węzłach, na następnym poziomie czasowym wykorzystuje się
równania charakterystyk:
 na brzegu lewym
 na brzegu prawym
n 1
U1
H
n 1
M
 US 


n
g
 f

n
H1  H S   U U  t
2c
 2d
1


(11)
n
c
 cf

 H R  U Mn  U R  
U 2  t
g
 2 gd
M
(12)
Występujące w równaniach wartości UR, HR, US, i HS obliczane są zgodnie ze wzorami (7) – (10).
Podane powyżej zależności pozwalają obliczyć wszystkie wartości węzłowe U i H na kolejnym
poziomie czasu.
4.2. Metoda różnic skończonych – niejawny czteropunktowy schemat różnicowy
Obszar rozwiązania 0  x  L i t  0 zastępujemy obszarem dyskretnym. Wybierzmy jedno
dowolne oczko tej siatki, jak na rysunku 5, utworzone przez węzły (j, n), (j + 1, n), (j + 1, n + 1) oraz
(j, n + 1). Wewnątrz oczka wybieramy dowolny punkt P, w którym wykonamy aproksymacje
pochodnych. Położenie punktu P jest zmienne. Jego lokalizacja zdefiniowana jest przez dwa
parametry:  i .
x
t
x
(1- )x
n+1
(1 )t
P
t
t
n
j
j +1
x
Rys. 5. Fragment siatki węzłów stosowanej dla schematu czteropunktowego niejawnego [9]
Po zastosowaniu formuł aproksymujących opisanych szczegółowo np. w [11] otrzymamy z
równania (3):

U nj1  U nj
U nj11  U nj1 


 (1   )
 U p  (1  )


t
t

x

x


n
n
n 1
n 1

H j 1  H j
H j 1  H j   f 2 
 U   0
 g  (1   )


  2d

x

x
P


U nj 1  U nj
U nj11  U nj1
(13)
Podobnie wykonujemy aproksymację równania ciągłości (4):

H nj1  H nj
H nj11  H nj 1 



 (1   )
 U P  (1   )


t
t

x

x


U n  U nj
U n1  U nj1 
c2 
0
  (1   ) j 1
  j 1

g
x
x

H nj1  H nj
H nj11  H nj1
(14)
W obu powyższych równaniach P oznacza aproksymację funkcji lub wyrażenia arytmetycznego w
punkcie P. Zatem:
U P   [U nj 1  (1   )U nj ]  (1   )[U nj11  (1   )U jN1
(15)
n
  f 2  n 1
 f 2
 f 2 
 U      U   (1   ) U   
 2d
P
j
 2d
 j 
  2d
n
  f 2  n 1
 f 2 
 (1  )   U   (1  ) U  
 j 1
 2d
 j 1 
  2 d
(16)
n 1
W równaniach (13) i (14) nieznane są wartości ciśnienia Hjn+1 oraz H j 1 i prędkość przepływu
n 1
Ujn+1 oraz U j 1 , czyli wartości na następnym poziomie czasowym n + 1.
Jeśli M jest liczbą przekrojów obliczeniowych na długości L analizowanego odcinka przewodu, to
pisząc dla każdego oczka siatki różnicowej analogiczny zestaw dwóch równań, otrzymamy układ 2
(M – 1) równań. W równaniach tych występuje 2M węzłowych wartości funkcji H i U. Brakujące
dwa równania znane są z zadanych warunków brzegowych.
Otrzymany w wyniku aproksymacji układ równań nieliniowych, po wprowadzeniu warunków
brzegowych można zapisać w postaci wektorowej
F(Y) = 0
(17)
gdzie: Y = [H1, U1, ..., Hj, Uj, ... HM, UM]T jest wektorem niewiadomych, F = [F1, F2, ..., Fj, Fj+1, ...,
F2M–1, F2M]T jest wektorem równań.
Kolejne równania wektora F mają postać:
F1 ( H 1n 1 ,U1n 1 )  H1n 1  H 0 (t )  0

F2 j ( H nj1 , U nj 1 , H nj11 , Q nj11 )  0 
 ( j  1,2,, M  1)
F2 j 1 ( H nj1 ,U nj1 , H nj11 , Q nj11 )  0

F2M ( H Mn1 ,U Mn 1 )  U Mn 1  U L ( t )  0
(18)
Pierwsze i ostatnie równanie wynika z zadanych warunków brzegowych. Pozostałe równania są
równaniami (13) i (14) zapisanymi odpowiednio dla kolejnych oczek siatki. W każdym równaniu
występują co najwyżej cztery niewiadome. Do rozwiązania układu (17) zastosowano metodę
Newtona.
4.3. Metoda elementów skończonych
Przewód o długości L, jak na rysunku 1, dzielimy na M – 1 odcinków i otrzymujemy M węzłów
obliczeniowych. Każdy odcinek jest długości x (j = 1, 2, ..., M – 1). Rozwiązanie równań
uderzenia hydraulicznego powinno spełniać warunek
L
M 1
0
j 1
 N( fa ,) dx 
 N ( f
a
,) dx  0
(19)
gdzie: N = [N1(x) N2(x), ..., NM(x)]T – wektor funkcji brzegowych lub funkcji kształtu,  
symboliczne reprezentacje układu równań uderzenia hydraulicznego, fa  aproksymacja dowolnej
funkcji występującej w równaniach układu.
Zależność ta wyraża całkowity błąd ważony w obszarze rozwiązania 0, L spowodowany
aproksymacją funkcji występujących w równaniach problemu. Dla równań (3) i (4) warunek (19)
przyjmie postać:
M 1 x j  1
 
j 1
xj
U
H
f 2
 U
N
U
g

U dx  0
x
x 2 d
 t

M 1 x j 1
 
j 1
xj
2
 H
H c U 
 dx  0
N 
U

x
g x 
 t
(20)
(21)
Modyfikacja metody polega na zmianie standardowego sposobu obliczania powyższych całek.
Szczegóły podejścia przedstawiono w [10, 11]. Rezultatem całkowania jest układ równań
różniczkowych zwyczajnych, który uzupełniony warunkami brzegowymi ma postać:
S
dF
 AF  0
dt
gdzie: F = [U1(t), H1(t), U2(t), H2(t), ..., UM(t), HM(t)]T ,
T
dF  dU1 dH1
dU dH 

,
, , M , M  , S – macierz stała, A – macierz zmienna.
dt  dt dt
dt
dt 
(22)
Do rozwiązania układu (22) zastosujemy schemat różnicowy o postaci
Ft  t  Ft  t ((1   )F't F't  t )
(23)
gdzie: F  = d F /dt– wektor pochodnych, t – krok całkowania,  – parametr wagowy z przedziału
0, 1.
W efekcie po odpowiednich przekształceniach otrzymamy
(S  tA t  t )Ft  t  (S  t (1   ) A t )Ft  0
(24)
W powyższym układzie wektor Ft+t reprezentuje nieznane wartości węzłowe prędkości i
wysokości ciśnienia na następnym poziomie czasowym. Układ ten jest nieliniowy, a jego macierz
jest pasmowa, okołoprzekątniowa, zawierająca 7 niezerowych przekątnych. Do jego rozwiązania,
podobnie jak w przypadku metody różnic skończonych, zastosowano metodę Newtona.
5. WYNIKI OBLICZEŃ
Opisane w poprzednim rozdziale metody zastosowano do rozwiązania układu równań (3) i (4)
opisującego uderzenie hydrauliczne. Obliczenia wykonano dla identycznych warunków [4]:
długość rurociągu L = 25,1 m, średnica wewnętrzna przewodu D = 42 mm, grubość ścianek e = 3
mm, współczynnik chropowatości k = 0,08 mm, prędkość średnia w ruchu ustalonym U0 = 0,455
m/s, prędkość fali uderzeniowej c = 1280 m/s, wysokość ciśnienia w zbiorniku H0 = 45 m H2O,
moduł sprężystości ścian przewodu stalowego E = 2·1011 Pa, współczynnik ściśliwości cieczy K =
2·109 Pa, gęstość cieczy ρ = 998,2 kg/m3. Wartość współczynnika oporów na długości,
wyznaczono ze wzoru Nikuradse’go [5]:
f 
1

 d 
1.74  2 log  
 2k  

2
(25)
Z analizy dokładności wynika, że w rozwiązaniu układu równań (3), (4) metodą charakterystyk
występuje dyfuzja numeryczna, której współczynnik jest równy [11]:
vn 
gdzie: Ca = c·x/t – liczba Couranta.
cx
1  Ca 
2
(26)
Dyfuzja numeryczna nie wystąpi w przypadku gdy Ca = 1. W tej sytuacji otrzymamy rozwiązanie
układu równań (3) i (4) o dużej dokładności.
H [m H2O]
100
80
60
40
20
0
-20
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
t [s]
Rys. 6. Dokładne rozwiązanie uzyskane metodą charakterystyk () i wynik obserwacji (·······)
Jego przykład przedstawiono na rysunku 6. Wynik ten otrzymano przy x  1 m i t = 8·10–4 s,
czyli Ca  1. Dla porównania, linią przerywaną zaznaczono wynik eksperymentu. Jak widać,
różnica pomiędzy obliczeniami a obserwacjami jest zasadnicza.
a)
H [m H2O]
100
80
60
40
20
0
-20
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
t [s]
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
t [s]
b)
H [m H2O]
100
80
60
40
20
0
-20
c)
H [m H2O]
100
80
60
40
20
0
-20
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
t [s]
Rys. 7. Porównanie wyników obserwacji (·······) z wynikami rozwiązania () metodą:
a) charakterystyk, b) różnic skończonych, c) elementów skończonych
Zauważono, że stopień zgodności obliczeń i pomiarów zależy od generowanej dyfuzji
numerycznej. Odpowiednia dyfuzja numeryczna zapewniła wyniki obliczeń numerycznych bliskie
wynikom pomiarów. Na rysunku 7a przedstawiono uzyskane rezultaty obliczeń dla x = 1 m, t =
2,5·10–4 s oraz Ca  0,3. Obliczenia testowe wykazały, że metoda różnic skończonych prowadzi do
pozytywnych rezultatów, gdy ψ = 1/2. W przypadku rozwiązywania równań uderzenia
hydraulicznego ze względu na zmienność kierunku fali ciśnienia. W tej sytuacji współczynnik
lepkości numerycznej wynosi [11]:
1

vn    c 2 t
2

(27)
Łatwo zauważyć, że przyjmując θ = 1/2 otrzymamy zerową wartość tego współczynnika. Również
w tej metodzie konieczne było wygenerowanie dyfuzji numerycznej, aby wynik obliczeń zbliżony
był do wyników doświadczenia. Przyjęto następujące wartości parametrów: x = 1 m, t = 7·10–4
s, Ca  0,75, θ = 0,97. Pozostałe parametry dobrano eksperymentalnie porównując uzyskany wynik
z wykonanym doświadczeniem. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 7b.
W zmodyfikowanej metodzie elementów skończonych dyfuzję numeryczną definiuje
współczynnik dyfuzji νn [10] określony wzorem identycznym ze wzorem (27).
Dyfuzja numeryczna znika w przypadku, gdy θ = 1/2. Wartości θ > 1/2 generują w rozwiązaniu
dyfuzję numeryczną, która zgodnie z równaniem (27) rośnie ze wzrostem θ i t. Dobrą zgodność
rozwiązania numerycznego z doświadczeniem otrzymano dla x = 1 m, t = 7,5·10–4 s, Ca  1,0, θ
= 0,97, a więc również dzięki wystąpieniu dyfuzji numerycznej. Uzyskane wyniki ilustruje rysunek
7c.
6. WNIOSKI
Konieczność wprowadzania dyfuzji numerycznej do rozwiązania w celu otrzymania zgodności
obliczeń z doświadczeniem może sugerować, że najprawdopodobniej w trakcie przebiegu
uderzenia hydraulicznego zachodzą procesy dyssypacyjne, które nie są reprezentowane w
równaniach (3) i (4).
Analizując wyniki otrzymane przedstawionymi metodami stwierdzono, iż metoda elementów
skończonych i metoda charakterystyk dają rozwiązania bardzo zbliżone do pomiarów
eksperymentalnych na stanowisku badawczym. Algorytm metody charakterystyk, bardzo prosty i
łatwy do zaprogramowania, nie wymaga dużego nakładu pracy komputera. Poszukiwane wartości
prędkości i wysokości ciśnienia na kolejnych poziomach czasowych uzyskuje się bezpośrednio na
podstawie wartości z poprzedniego poziomu czasowego. Metoda charakterystyk staje się zawodna
w przypadku rozwiązywania równań uderzenia hydraulicznego dla rurociągu o zmiennej średnicy
lub w sieciach rurociągów. W takich sytuacjach skuteczniejsza jest metoda różnic skończonych
oraz metoda elementów skończonych. Ponieważ wyniki obliczeń na kolejnych poziomach
czasowych otrzymuje się przez rozwiązanie układu równań nieliniowych metodą iteracyjną.
Nakład pracy jest tutaj znacznie większy niż w metodzie charakterystyk. Cenną cechą
zmodyfikowanej metody elementów skończonych jest wysoka dokładność. Przez odpowiedni
dobór parametrów wagowych aproksymuje ona równania (3) i (4) z dokładnością III rzędu.
7. LITERATURA
[1] Bergan P.G., Bathe P.G., Wunderlich W. (1985): Finite Element Methods for Nonlinear
Problems. Springer-Verlag.
[2] Department of Aerospace Engineering Sciences (2003): Introduction to Finite Element
Method. University of Colorado at Boulder (ASEN 5007).
[3] Goldberg D.E., Wylie E.B. (1983): Characteristics Method Using Time-Line Interpolations.
Journal of Hydraulics Engineering, Vol 109, No 5.
[4] Mitosek M.: Dokumentacja wyników eksperymentu (rękopis autora). Warszawa: Politechnika
Warszawska 2001.
[5] Mitosek M. (2001): Mechanika płynów w inżynierii i ochronie środowiska. Warszawa:
Wydawnictwa Naukowe PWN.
[6] Niełacny M. (2002): Uderzenia Hydrauliczne. Poznań: Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej.
[7] Sawicki J.M. (1998): Przepływy ze swobodną powierzchnią. Warszawa: Wydawnictwa
Naukowe PWN
[8] Streeter V.L., Lai Ch. (1962): Water-Hammer Analysis Including Fluid Friction. Journal of
the Hydraulics Division ASCE, Vol. 88, HY3.
[9] Szymkiewicz R. (1975): Analiza uderzenia hydraulicznego w rozgałęzionej sieci rurociągów.
Archiwum Hydrotechniki, tom XXII, zeszyt 1.
[10] Szymkiewicz R. (2000): Modelowanie matematyczne przepływów w rzekach i kanałach.
Warszawa: Wydawnictwa Naukowe PWN.
[11] Szymkiewicz R. (2003): Metody numeryczne w inżynierii wodnej. Gdańsk: Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej.
[12] Wiggert D.C., Sundquist M.J. (1977): Fixed-Grid Characteristics for Pipeline Transients.
Journal of the Hydraulics Division.