Treść wykładu

Transkrypt

Treść wykładu

Definicja całki podwójnej
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Zastosowania całki podwójnej
Definicja całki potrójnej
Treść wykładu
Definicja całki podwójnej.
Zamiana zmiennych w całce podwójnej.
Zastosowania całki podwójnej.
Definicja całki potrójnej.
Całka podwójna
Definicja całki podwójnej po prostokącie
Definicja
Podziałem prostokąta
R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}
(inaczej: R = [a, b] × [c, d])
Całka podwójna
Definicja
R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}
nazywamy zbiór P złożony z prostokątów R1 , R2 , . . . , Rn które
całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza.
Całka podwójna
Definicja
R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}
Niechq
∆xk , ∆yk będą długościami boków prostokąta Rk ,
dk = (∆xk )2 + (∆yk )2 jego przekątną.
Całka podwójna
Definicja
R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}
Niechq
Średnicą podziału P nazywamy liczbę:
δ(P) = max{dk : 1 ¬ k ¬ n}.
Całka podwójna
Definicja
R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}
Niechq
Średnicą podziału P nazywamy liczbę:
δ(P) = max{dk : 1 ¬ k ¬ n}.
Niech (ξk , ηk ) będzie dowolnie wybranym punktem prostokąta Rk .
Całka podwójna
Definicja (suma całkowa funkcji po prostokącie)
Niech funkcja f (x, y ) będzie ograniczona na prostokącie R oraz
niech P będzie podziałem tego prostokąta.
Całka podwójna
Sumą całkową funkcji f nazywamy liczbę
n
X
f (ξk , ηk )∆xk ∆yk .
k=1
Całka podwójna
Sumą całkową funkcji f nazywamy liczbę
n
X
f (ξk , ηk )∆xk ∆yk .
k=1
Pojedyncze składniki powyższej sumy są objętościami
prostopadłościanów, których podstawami są prostokąty Rk , a
wysokościami f (ξk , ηk ).
Całka podwójna
Rozpatrując ciąg podziałów (Pn ) i przechodząc do granicy
dochodzimy do pojęcia całki:
Całka podwójna
Definicja (całka podwójna funkcji po prostokącie)
Niech funkcja f (x, y ) będzie ograniczona na prostokącie R. Całkę
podwójną funkcji f po prostokącie R określamy wzorem
n
X
ZZ
f (x, y ) dx dy =
lim
δ(P)→0
R
f (ξk , ηk )∆xk ∆yk ,
k=1
o ile ta granica jest właściwa.
Całka podwójna
n
X
ZZ
f (x, y ) dx dy =
lim
δ(P)→0
R
k=1
Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja jest całkowalna.
Całka podwójna
n
X
ZZ
f (x, y ) dx dy =
lim
δ(P)→0
R
k=1
Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja jest całkowalna.
Każda funkcja ciągła jest całkowalna.
Całka podwójna
Interpretacja geometryczna
Składnik f (ξk , ηk )∆xk ∆yk sumy całkowej można interpretować
jako objętość prostopadłościanu, którego podstawa jest
prostokątem o wymiarach ∆xk , ∆yk a wysokością jest f (ξk , ηk ).
Całka podwójna
Suma całkowa jest zatem przybliżeniem objętości bryły
ograniczonej prostokątem R, powierzchnią z = f (x, y ) i ścianami
bocznymi równoległymi do osi Oz.
Całka podwójna
Suma całkowa jest zatem przybliżeniem objętości bryły
ograniczonej prostokątem R, powierzchnią z = f (x, y ) i ścianami
bocznymi równoległymi do osi Oz.
Całka, jako granica tych sum, jest (dokładną) objętością tej bryły.
Całka podwójna
Twierdzenie (własności całki)
1
f (x, y ) = 0 ⇒
RR
f (x, y ) dx dy = 0;
R
Całka podwójna
1
f (x, y ) = 0 ⇒
RR
f (x, y ) dx dy = 0;
R
2
RR
(f (x, y ) + g (x, y )) dx dy =
RRR
R
f (x, y ) dx dy +
RR
g (x, y ) dx dy ;
R
Całka podwójna
1
f (x, y ) = 0 ⇒
RR
f (x, y ) dx dy = 0;
R
2
RR
(f (x, y ) + g (x, y )) dx dy =
RRR
R
3
f (x, y ) dx dy +
RR
g (x, y ) dx dy ;
R
jeżeli
R = R1 ∪ R2 iRR
R1 ∩ R2 = ∅, to RR
RR
f (x, y ) dx dy = f (x, y ) dx dy + f (x, y ) dx dy ;
R
R1
R2
Całka podwójna
1
f (x, y ) = 0 ⇒
RR
f (x, y ) dx dy = 0;
R
2
RR
(f (x, y ) + g (x, y )) dx dy =
RRR
R
f (x, y ) dx dy +
RR
g (x, y ) dx dy ;
R
3
jeżeli
R = R1 ∪ R2 iRR
R1 ∩ R2 = ∅, to RR
RR
f (x, y ) dx dy = f (x, y ) dx dy + f (x, y ) dx dy ;
R
R1
4
RR
cf (x, y ) dx dy = c
R
R2
RR
f (x, y ) dx dy .
R
Całka podwójna
Twierdzenie (obliczanie całki podwójnej)
Jeżeli R = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} jest prostokątem, to
ZZ
f (x, y ) dx dy =
R
Całka podwójna
ZZ
R


Zb Zd
 f (x, y ) dy  dx =
f (x, y ) dx dy =
a
c
Całka podwójna
ZZ
R




Zb Zd
Zd Zb
 f (x, y ) dy  dx =
 f (x, y ) dx  dy .
f (x, y ) dx dy =
a
c
c
Całka podwójna
a
ZZ




Zb Zd
Zd Zb
 f (x, y ) dy  dx =
 f (x, y ) dx  dy .
f (x, y ) dx dy =
R
a
c
c
a
Całki występujące w twierdzeniu nazywamy całkami iterowanymi
Iteracja (łac. iteratio — powtarzanie) —- czynność powtarzania tej samej
instrukcji.
Całka podwójna
ZZ




Zb Zd
Zd Zb
 f (x, y ) dy  dx =
 f (x, y ) dx  dy .
f (x, y ) dx dy =
a
R
c
c
a
Całki występujące w twierdzeniu nazywamy całkami iterowanymi
Iteracja (łac. iteratio — powtarzanie) —- czynność powtarzania tej samej
instrukcji.
Ponieważ zapis jest nieco kłopotliwy, będziemy dalej pisali krócej:
Zb
Zd
dx
a
Zd
f (x, y ) dy ,
c
Zb
dy
c
f (x, y ) dx.
a
Całka podwójna
Przykłady. Obliczyć całki
1.
R2
R3
dx (x + xy 2 ) dy ;
1
2.
R3
0
0
3.
RR
R
4.
RR
R
R2
dy (x + xy 2 ) dx;
1
sin(x + y ) dx dy , R = [− π4 , π4 ] × [0, π4 ];
√
xy
x 2 +y 2 +1
dx dy , R = [0, 1] × [0, 1].
Całka podwójna
Całka podwójna po obszarze normalnym
Definicja
Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy obszar
określony nierównościami
a ¬ x ¬ b,
g (x) ¬ y ¬ h(x),
dla pewnych stałych a, b i funkcji g (x), h(x).
Całka podwójna
Całka podwójna po obszarze normalnym
Definicja
Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy obszar
określony nierównościami
a ¬ x ¬ b,
g (x) ¬ y ¬ h(x),
dla pewnych stałych a, b i funkcji g (x), h(x).
Analogicznie, obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy
obszar określony nierównościami
c ¬ y ¬ d,
k(y ) ¬ x ¬ l(y ),
dla pewnych stałych c, d i funkcji k(y ), l(y ).
Całka podwójna
Definicja
Jeżeli f (x, y ) jest funkcją określoną w obszarze D normalnym
względem osi Ox, to całkę podwójną po obszarze D określamy
następująco:
Całka podwójna
Definicja
następująco:
f (x, y ) dx dy =
D
h(x)
Z
Zb
ZZ
f (x, y ) dy .
dx
a
g (x)
Całka podwójna
Definicja
następująco:
h(x)
Z
Zb
ZZ
f (x, y ) dx dy =
D
f (x, y ) dy .
dx
a
g (x)
Analogicznie, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Oy ,
to:
f (x, y ) dx dy =
D
l(y )
Z
Zd
ZZ
dy
c
f (x, y ) dx.
k(y )
Całka podwójna
Przykłady.
Obliczyć całki
RR
xy 2 dx dy , D ograniczony krzywymi y = x, y = 2 − x 2 ;
1.
D
2.
RR 2
x y dx dy , D ograniczony krzywymi y = −2, y = x1 ,
D √
y = − −x.
Całka podwójna
Definicja
Niech ∆ i D będą obszarami na płaszczyznach Ouv i Oxy
odpowiednio. Przekształceniem obszaru ∆ w obszar D nazywamy
funkcję
T : ∆ −→ D,
T (u, v ) = (x, y ),
gdzie x = ϕ(u, v ), y = ψ(u, v ).
Całka podwójna
Definicja
funkcję
T : ∆ −→ D,
T (u, v ) = (x, y ),
gdzie x = ϕ(u, v ), y = ψ(u, v ).
Przykłady. Narysować obrazy T (∆), gdy
1. T (u, v ) = (u + v , u − v ), ∆ = {(u, v ) : 0 ¬ u ¬ 1, 2 ¬ v ¬ 4};
Całka podwójna
Definicja
funkcję
T : ∆ −→ D,
T (u, v ) = (x, y ),
gdzie x = ϕ(u, v ), y = ψ(u, v ).
Przykłady. Narysować obrazy T (∆), gdy
1. T (u, v ) = (u + v , u − v ), ∆ = {(u, v ) : 0 ¬ u ¬ 1, 2 ¬ v ¬ 4};
2. T (u, v ) = (u cos v , u sin v ),
∆ = {(u, v ) : 0 ¬ u ¬ 2, 0 ¬ v ¬ π2 }.
Całka podwójna
Definicja
Jakobianem przekształcenia T (u, v ) = (ϕ(u, v ), ψ(u, v ))
nazywamy funkcję:
∂ϕ (u, v )
∂u
J(u, v ) = ∂ψ
∂u (u, v )
∂ϕ
∂v (u, v )
∂ψ
∂v (u, v )
Całka podwójna
Definicja
Jakobianem przekształcenia T (u, v ) = (ϕ(u, v ), ψ(u, v ))
nazywamy funkcję:
∂ϕ (u, v )
∂u
J(u, v ) = ∂ψ
∂u (u, v )
∂ϕ
∂v (u, v )
∂ψ
∂v (u, v )
Inne oznaczenia jakobianu:
∂(ϕ, ψ)
∂(u, v )
lub
D(ϕ, ψ)
D(u, v )
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
T : ∆ → D, T (u, v ) = (ϕ(u, v ), ψ(u, v )) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru ∆ na wnętrze
obszaru D;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
obszaru D;
2
funkcje ϕ, ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
obszaru D;
2
3
funkcja f (x, y ) jest ciągła na D;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
obszaru D;
2
3
4
jakobian J(u, v ) jest różny od 0 wewnątrz obszaru ∆,
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
obszaru D;
2
3
4
jakobian J(u, v ) jest różny od 0 wewnątrz obszaru ∆,
to
ZZ
ZZ
f (x, y ) dx dy =
D
f (ϕ(u, v ), ψ(u, v ))|J(u, v )| du dv .
∆
Całka podwójna
Najczęściej stosujemy zamianę na współrzędne biegunowe, czyli:
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.
Całka podwójna
Wtedy:
J(ρ, ϕ) = ∂x
∂ρ
∂y
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
cos ϕ −ρ sin ϕ
=
sin ϕ ρ cos ϕ
Całka podwójna
= ρ,
Wtedy:
J(ρ, ϕ) = ∂x
∂ρ
∂y
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
cos ϕ −ρ sin ϕ
=
sin ϕ ρ cos ϕ
a więc
ZZ
f (x, y ) dx dy =
D
Całka podwójna
= ρ,
Wtedy:
J(ρ, ϕ) = ∂x
∂ρ
∂y
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
cos ϕ −ρ sin ϕ
=
sin ϕ ρ cos ϕ
= ρ,
a więc
ZZ
ZZ
f (x, y ) dx dy =
D
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ dϕ.
∆
Całka podwójna
Przykłady.
Obliczyć całki zamieniając współrzędne na biegunowe:
RR
1.
ln(1 + x 2 + y 2 ) dx dy , gdy D jest określony warunkami
D
x 2 + y 2 ¬ 1, x 0, y 0.
Odp.: π4 (2 ln 2 − 1).
2.
RR p
R 2 − x 2 − y 2 dx dy , D: x 2 + y 2 ¬ R 2 .
D
Odp.: 23 πR 3 (objętość półkuli).
3.
RR p
R 2 − x 2 − y 2 dx dy , D: x 2 + y 2 − Rx ¬ 0, y 0.
D
Odp.:
R3 π
3 2
−
2
3
.
Całka podwójna
Pole obszaru D obliczamy ze wzoru:
ZZ
P=
ZZ
dx dy =
D
ρ dρ dϕ,
∆
gdzie ∆ jest obszarem opisanym we współrzędnych biegunowych.
Całka podwójna
Pole obszaru D obliczamy ze wzoru:
ZZ
P=
ZZ
dx dy =
D
ρ dρ dϕ,
∆
gdzie ∆ jest obszarem opisanym we współrzędnych biegunowych.
Przykłady. Obliczyć pola:
1. D jest obszarem między krzywymi y = x 2 − 8x + 20, y = x + 2;
2. D jest obszarem ograniczonym lemniskatą
(x 2 + y 2 )2 = 2a2 (x 2 − y 2 ) (zamienić współrzędne na biegunowe);
3. D jest obszarem ograniczonym krzywymi x 2 + (y − 2)2 = 4,
y = x, (y ¬ x) (zamienić współrzędne na biegunowe).
Odp.: π − 2.
Całka podwójna
Objętość bryły ograniczonej obszarem D ⊂ Oxy , powierzchnią
z = f (x, y ) i prostymi równoległymi do osi Oz:
ZZ
V =
f (x, y ) dx dy .
D
Całka podwójna
Objętość bryły ograniczonej obszarem D ⊂ Oxy , powierzchnią
z = f (x, y ) i prostymi równoległymi do osi Oz:
ZZ
V =
f (x, y ) dx dy .
D
Przykłady. Obliczyć objętości brył:
1. ograniczonej płaszczyznami z = 5 − 2x − y , x = 0, y = 0,
z = 0. (odp.: 125/12)
2. ograniczonej powierzchniami z = 4 − x 2 − y 2 , z = 0. (odp.: 8π)
3. wyciętej walcem x 2 + y 2 = Rx z kuli x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ;
Odp.: 34 R 3 π2 − 23 .
4. ograniczonej stożkiem x 2 + y 2 = z 2 i paraboloidą
x 2 + y 2 = 6 − z, (z 0).
Całka podwójna
Przy pomocy całki podwójnej można obliczać również pole płata
powierzchni. Jeżeli z = f (x, y ) jest powierzchnią w przestrzeni, to
pole jej płata leżącego nad obszarem D ⊂ Oxy wyraża się wzorem
S=
ZZ q
1 + (fx0 )2 + (fy0 )2 dx dy .
D
Całka podwójna
Przy pomocy całki podwójnej można obliczać również pole płata
powierzchni. Jeżeli z = f (x, y ) jest powierzchnią w przestrzeni, to
pole jej płata leżącego nad obszarem D ⊂ Oxy wyraża się wzorem
S=
ZZ q
1 + (fx0 )2 + (fy0 )2 dx dy .
D
Przykłady. Obliczyć pole powierzchni:
1. wyciętej walcem x 2 + y 2 = Rx ze sfery x 2 + y 2 + z 2 = R 2
Odp.: S = 2R 2 (π − 2);
2. wyciętej walcem x 2 + y 2 = R 2 ze stożka y 2 + z 2 = x 2 .
Odp.: 2πR 2 .
Całka podwójna
Całka potrójna
Obszarem normalnym Ω w przestrzeni nazywamy obszar
ograniczony od dołu powierzchnią z = p(x, y ), od góry
powierzchnią z = q(x, y ), a po bokach powierzchnią walcową o
tworzących równoległych do osi Oz.
Całka podwójna
Całka potrójna
Obszarem normalnym Ω w przestrzeni nazywamy obszar
ograniczony od dołu powierzchnią z = p(x, y ), od góry
powierzchnią z = q(x, y ), a po bokach powierzchnią walcową o
tworzących równoległych do osi Oz.
Rzutem tego obszaru na płaszczyznę Oxy jest obszar płaski D.
Całka podwójna
Całka potrójna
Całkę potrójną po Ω określamy wzorem
ZZZ
f (x, y , z) dx dy dz =
Ω
Całka podwójna
Całka potrójna

ZZZ
ZZ
Ω
q(x,y
Z )


D
p(x,y )
Całka podwójna

f (x, y , z) dz  .

Całka potrójna

ZZZ
ZZ
Ω
q(x,y
Z )


D
f (x, y , z) dz  .
p(x,y )
Jeśli obszar D jest normalny, np.
a ¬ x ¬ b,
g (x) ¬ y ¬ h(x),
Całka podwójna


Całka potrójna

ZZZ
ZZ
Ω
f (x, y , z) dz  .



D

q(x,y
Z )
p(x,y )
Jeśli obszar D jest normalny, np.
a ¬ x ¬ b,
g (x) ¬ y ¬ h(x),
to
Ω
h(x)
Z
Zb
ZZZ
dx
a
q(x,y
Z )
dy
g (x)
f (x, y , z) dz.
p(x,y )
Całka podwójna
Przykłady. Obliczyć całki potrójne
1.
RRR
(x + y + z) dx dy dz, Ω ograniczony płaszczyznami x = 0,
Ω
y = 0, z = 0, x = a, y = b, z = c;
2.
RRR
z dx dy dz, Ω ograniczony płaszczyznami x = 0, y = 0,
Ω
z = 0, x + y + z = 1.
Całka podwójna
Definicja
Niech Ω0 i Ω będą obszarami w przestrzeniach Ouvw i Oxyz
odpowiednio. Przekształceniem obszaru Ω0 w obszar Ω nazywamy
funkcję
T : Ω0 −→ Ω, T (u, v , w ) = (x, y , z),
gdzie
x = ϕ(u, v , w ), y = ψ(u, v , w ), z = χ(u, v , w ).
Całka podwójna
Definicja
Jakobianem przekształcenia
T (u, v , w ) = (ϕ(u, v , w ), ψ(u, v , w ), χ(u, v , w )) nazywamy
funkcję:
J(u, v , w ) = ∂ϕ
∂u (u, v , w )
∂ψ
∂u (u, v , w )
∂χ
∂u (u, v , w )
∂ϕ
∂v (u, v , w )
∂ψ
∂v (u, v , w )
∂χ
∂v (u, v , w )
Całka podwójna
∂ϕ
∂w (u, v , w )
∂ψ
∂w (u, v , w )
∂χ
∂w (u, v , w )
Zamiana zmiennych w całce potrójnej
Twierdzenie
Jeżeli
1
T : Ω0 → Ω, T (u, v , w ) = (ϕ(u, v , w ), ψ(u, v , w )χ(u, v , w ))
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru Ω0 na
wnętrze obszaru Ω;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
2
funkcje ϕ, ψ, χ mają ciągłe pochodne cząstkowe;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
2
3
funkcja f (x, y , z) jest ciągła na Ω;
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
2
3
4
jakobian J(u, v , w ) jest różny od 0 wewnątrz obszaru Ω0 ,
Całka podwójna
Twierdzenie
Jeżeli
1
2
3
4
jakobian J(u, v , w ) jest różny od 0 wewnątrz obszaru Ω0 ,
to
RRR
Ω
=
RRR
f (ϕ(u, v , w ), ψ(u, v , w ), χ(u, v , w ))|J(u, v , w )| du dv dw .
Ω0
Całka podwójna
Często stosujemy zamianę na współrzędne walcowe: punktowi P
przyporządkowujemy liczby ρ, ϕ, h, gdzie ρ, ϕ są współrzędnymi
biegunowymi rzutu punktu P na płaszczyznę Oxy , a h jest
odległością punktu P od płaszczyzny Oxy .
Całka podwójna
Mamy zatem związki:
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = h,
Całka podwójna
a więc:
cos ϕ −ρ sin ϕ 0 J(ρ, ϕ, h) = sin ϕ ρ cos ϕ 0 = ρ,
0
0
1 Całka podwójna
a więc:
ZZZ
cos ϕ −ρ sin ϕ 0 J(ρ, ϕ, h) = sin ϕ ρ cos ϕ 0 = ρ,
0
0
1 ZZZ
Ω
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, h)ρ dρ dϕ dh.
Ω0
Całka podwójna
Również często stosujemy zamianę na współrzędne sferyczne:
Całka podwójna
punktowi P przyporządkowujemy liczby r , ϕ, θ, gdzie r jest
promieniem wodzącym punktu P, tj. jego odległością od początku
układu, ϕ jest takie samo jak we współrzędnych biegunowych, a θ
−→
jest kątem jaki wektor OP tworzy z dodatnią półosią Oz.
Całka podwójna
−→
jest kątem jaki wektor OP tworzy z dodatnią półosią Oz.Zatem:
x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ.
Całka podwójna
−→
Zatem
cos ϕ sin θ
J(r , ϕ, θ) = sin ϕ sin θ
cos θ
−r sin ϕ sin θ r cos ϕ cos θ
r cos ϕ sin θ r sin ϕ cos θ
0
−r sin θ
Całka podwójna
= r 2 sin θ,
−→
Zatem
cos ϕ sin θ
J(r , ϕ, θ) = sin ϕ sin θ
cos θ
RRR
−r sin ϕ sin θ r cos ϕ cos θ
r cos ϕ sin θ r sin ϕ cos θ
0
−r sin θ
= r 2 sin θ,
Ω
=
RRR
Ω0
f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r 2 sin θ dr dϕ dθ.
Całka podwójna
Przykłady. 1. Obliczyć całkę zamieniając współrzędne na walcowe:
ZZZ
z
q
x 2 + y 2 dx dy dz.
Ω
Ω jest określony warunkami 0 ¬ x ¬ 4, 0 ¬ y ¬
0 ¬ z ¬ 2.
√
4x − x 2 ,
2. Obliczyć całkę zamieniając współrzędne na sferyczne:
ZZZ
(x 2 + y 2 ) dx dy dz.
Ω
Ω jest określony warunkami 1 ¬ x 2 + y 2 + z 2 ¬ 4, z 0.
Całka podwójna

Treść wykładu

Transkrypt

Podobne dokumenty

9. Funkcje wielu zmiennych

stała nieograniczona

Wzory na całki krzywoliniowe

Wypowiedzenia umowy ubezpieczenia OC

Zadanie dodatkowe nr 10 Analiza matematyczna

poprawne rozwiązanie zadania 2.3

Zagadnienia

Zagadnienia egzaminacyjne: semestr 2

Tematy/Zagadnienia do Ćwiczeń