1 Wartosc bezwzgledna, parzystosc, nieparzystosc

1
Wartość bezwzglȩdna, parzystość, nieparzystość funkcji,
funkcja liniowa, uklady równań liniowych.
Przygotowala Izabela Wardach
1
Definicja:
(
x
dla x ≥ 0
−x dla x < 0
|x| =
(1)
Wlaściwości:
|x| ≤ a
x ∈ h−a, ai
a≥0
dla
(x ≤ a) ∧ (x ≥ −a)
|x| ≥ a
a≥0
dla
x ∈ (−∞, −ai ∪ ha, ∞)
(x ≤ −a) ∨ (x ≥ a)
(2)
(3)
(4)
(5)
|a| · |b| = |a · b|
(6)
| − a| = |a|
(7)
|a| a =
|b| b dla
|b| =
6 0
(8)
Parzystość funkcji w zbiorze D:
dla każdego
x∈D
[−x ∈ D ∧ f (−x) = f (x)]
(9)
uwaga: oś OY jest osia̧ symetrii wykresu funkcji
Nieparzystość funkcji w zbiorze D:
dla każdego
x∈D
[−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x)]
(10)
uwaga: pocza̧tek ukladu wspólrzȩdnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji
Funkcja liniowa:
y = ax + b,
x∈R
x0 = −b/a,
a 6= 0
(11)
Wlasności:
miejsce zerowe
punkt przeciȩcia z osia̧ OY
y0 = b
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyklady, WNT, Warszawa 1994.
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
a>0
a<0
a=0
funkcja rosna̧ca,
funkcja maleja̧ca,
funkcja stala.
Równanie liniowe z jedna̧ niewiadoma̧ (równanie I-go stopnia):
ax + b = 0,
a 6= 0
x0 = −b/a,
a 6= 0
(12)
ma dokadnie jeden pierwiastek
Nierównaności liniowe z jedna̧ niewiadoma̧ (nierówności I-go stopnia):
ax + b < 0,
ax + b > 0,
ax + b ≤ 0,
ax + b ≥ 0,
a 6= 0
(13)
zbiorem rozwia̧zań takich nierówności jest jeden z przedzialów:
b
b
b
b
(−∞; − ), (− ; +∞), (−∞; − i, h− , +∞)
a
a
a
a
(14)
Uklad dwoćh równań liniowych (I-go stopnia) z dwoma niewiadomymi x i y:
(
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
(15)
Rozwia̧zania:
1. metoda algebraiczna (podstawiania, przeciwnych wspólczynników)
(a) jedno rozwia̧zanie
x = x0 , y = y0
równania badanego ukladu sa̧ wzajemnie niezależne - uklad jest oznaczony
(b) brak rozwia̧zania
np. sprzeczność lewej i prawej strony któregokolwiek równania; równania badanego
ukladu sa̧ wzajemnie sprzeczne - uklad jest sprzeczny
(c) nieskończenie wiele rozwia̧zań
zero”tożsamościowe - równania badanego ukladu sa̧ wzajemnie zależne - uklad
”
jest nieoznaczony
2. metoda graficzna (przedstawienie badanych równań na plaszczyźnie OXY w postaci
funkcji:
(
y1 = f (x)
(16)
y2 = g(x)
2
(a) jedno rozwia̧zanie
x = x0 , y = y0
wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinaja̧ siȩ w jednym punkcie x = x0 , y = y0 - uklad
jest oznaczony
(b) brak rozwia̧zania
wykresy funkcji f(x) i g(x) to proste równolegle - uklad jest sprzeczny
(c) nieskończenie wiele rozwia̧zań
wykresy funkcji f(x) i g(x) pokrywaja̧ siȩ - uklad jest nieoznaczony
3. metoda wyznaczników Cramera:
a
W = 1
a2
b1
b2
c
Wx = 1
c2
= a1 b2 − a2 b1
b1
b2
(a) jedno rozwia̧zanie
W 6= 0 ⇒ x =
Wx
,
W
y=
Wy
W
uklad jest oznaczony
(b) brak rozwia̧zania
W = 0 ∧ Wx 6= 0 ∨ Wy 6= 0
uklad jest sprzeczny
(c) nieskończenie wiele rozwia̧zań
W = 0 ∧ Wx = Wy = 0
uklad jest nieoznaczony
3
a
Wy = 1
a2
c1
c2
(17)