Zestaw zadan nr. 4

Kraków 15.10.2006
Teoretyczne Podstawy Informatyki
( http://th-www.if.uj.edu.pl/ erichter/dydaktyka/TPI-2006 )
Zestaw zadań nr. 4
• Zadanie 1
P
1
Pokaż przez indukcje matematyczna‘, że n+1
k=1 k = 2 n(n + 1)
• Zadanie 2
Pokaż przez indukcje‘ matematyczna‘ że rozwia‘zaniem równania rekurencyjnego
T (n) = 2T (n/2) + n
jest T (n) = O(nlogn).
• Zadanie 3
Metoda iterowania rekutencji nie wymaga odgadywania odpowiedzi. Glówna‘ idea‘ jest
rozwijanie (iterowanie) rekurencji i wyrażanie jej jako sumy skladników zależnych tylko od
n warunków brzegowych. Naste‘ pnie moga‘ być użyte techniki sumowania do oszacowania
rozwia‘zań.
Pokaż metoda‘ iterowania rekurencji, że rozwia‘zaniem równiania rekurencyjnego
T (n) = 3T (n/4) + n
jest T (n) = O(n).
• Zadanie 4
Drzewo rekursji pozwala w dogodny sposób ilustrować rozwijanie rekurencji, jak również
ulatwia stosowanie aparatu algebraicznego sluża‘cego do rozwia‘zania tej rekurencji. Narysuj drzewo rekursji dla równania T (n) = 2T (n/2) + n2
• Zadanie 5
Ile czasu wymaga sortowanie? Czy potrafisz wykazać że algorytmy sortuja‘ce musza‘
dzialać przynajmniej w czasie n log(n) chyba że wykazuja‘ pewne specjalne wlaściwości
sortowanych elementów.
• Zadanie 6
Podaj liczbe‘ anagramów naste‘ puja‘cych slów: error, street, allele, mississippi.
1