Konkurs Matematyczny - Koło Naukowe Dydaktyków Matematyki

Koło Naukowe Dydaktyków Matematyki „AlfaBeta”
oraz Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie
Konkurs Matematyczny
ZESTAW ZADAŃ - ETAP DRUGI
7 marca 2016
Arkusz zawiera 10 stron (ła̧cznie z ta̧ strona̧) i 15 zadań. Sprawdź, czy arkusz jest kompletny.
Ewentualne braki zgłoś przewodnicza̧cemu komisji.
INSTRUKCJA
Uzupełnij wszystkie wymagane informacje na tej stronie i umieść swoje inicjały na górze każdej
strony.
Zestaw składa siȩ z dwóch czȩści. Czȩść I zawiera 10 zadań zamkniȩtych jednokrotnego wyboru.
Wybór poprawnej odpowiedzi polega na zakreśleniu pola z odpowiedzia̧ na karcie odpowiedzi.
Staraj siȩ nie popełniać błȩdów przy zaznaczaniu odpowiedzi. Jeśli siȩ pomylisz, błȩdne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz inna̧ odpowiedź.
Za każde poprawnie rozwia̧zane zadanie zamkniȩte przyznawany jest 1 pkt.
Czȩść II zawiera 5 zadań otwartych. Rozwia̧zania wpisuje siȩ w miejscu przygotowanym pod
zadaniami.
Rozwia̧zania powinny być czytelne, a sposób rozwia̧zania dokładnie i precyzyjnie
opisany. Do zadań otwartych należy doła̧czyć odpowiedzi.
UWAGA!
Czas przeznaczony na rozwia̧zanie wszystkich zadań to 60 minut.
Nie wolno korzystać z ksia̧żek, notatek, telefonów komórkowych i innych urza̧dzeń służa̧cych
do komunikowania siȩ na odległość, ani kalkulatora naukowego. Posiadanie wyżej wymienionych bȩdzie skutkowało dyskwalifikacja̧.
Arkusz konkursowy wypełniamy długopisem
Dane uczestnika:
Imiȩ i nazwisko:
Klasa:
Szkoła:
Konkurs matematyczny
Etap II
Pytania jednokrotnego wyboru
1. Duży sześcian o wymiarach 13 × 13 × 13 został utworzony z małych sześcianików o
wymiarach 1 × 1 × 1. Duży sześcian został pomalowany. Ile małych sześcianików ma
pomalowane dokładnie dwie ściany?
A. 169
B. 132
C. 144
D. 123
2. Bronek chce narysować dwa okrȩgi styczne o promieniach odpowiednio 18cm i 10cm.
Może to zrobić na dwa sposoby.
Jaka jest odległość pomiȩdzy środkami okrȩgów w każdym z tych sposobów?
A. 8 cm i 14 cm
B. 8 cm i 28 cm
C. 28 cm i 4 cm
D. 28 cm i 10 cm
3. Różnica pomiȩdzy najwiȩksza̧ liczba̧ trzycyfrowa̧, a najmniejsza̧ liczba̧ trzycyfrowa̧,
w których cyfry nie powtarzaja̧ siȩ wynosi:
A. 885
B. 876
C. 786
D. 678
4. Jedna z przeka̧tnych wieloka̧ta, którego obwód wynosi 38 cm, dzieli ten wieloka̧t
na dwa wieloka̧ty o obwodach odpowiednio 25 cm i 43 cm.
Jaka jest długość tej przeka̧tnej?
A. 10 cm
B. 15 cm
C. 20 cm
D. Obliczenie długości nie jest możliwe
5. Suma ka̧tów zewnȩtrznych w każdy trójka̧cie wynosi:
A. 720◦
B. 360◦
C. 180◦
D. 900◦
3
6. Elastyczna piłka wypuszczona z pewnej wysokości odbija siȩ na wysokość 10
wysokości pocza̧tkowej. Jaka̧ wysokość osia̧gnie piłka po pia̧tym odbiciu, jeśli została
wypuszczona na wysokości 15m?
A. 0,03m
B. 0,03645m
C. 3,645m
Strona 2 z 10
D. 1,215m
Konkurs matematyczny
Etap II
7. Ile jest równa wartość poniższego iloczynu?
1
1
1
1
1+
· 1+
· 1+
· ... · 1 +
2
3
4
2015
A. 2016
B. 2015
8. Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie
x, y różnych od zera?
A. 2
C. 1007
D. 1008
x
y
+
dla dowolnych liczb rzeczywistych
|x| |y|
B. 3
C. 4
D. nieskończenie wiele
9. Zaznaczono na osi liczbowej liczby 2016 i 6102. Która z podanych liczb jest jednakowo
od nich odległa?
A. 2043
10. Liczba
B. 2044
!2015
√
29 + 5
·
2
C. 4059
D. 4060
!2015
√
29 − 5
2
równa jest:
A. 1
B.
√ !2015
29
2
C.
Strona 3 z 10
292015 − 1
2
D. 22015
Konkurs matematyczny
Etap II
Zadania otwarte
11. (4 pkt) O ile procent zwiȩkszy siȩ pole kwadratu, jeśli jego obwód zwiȩkszymy o 70%?
Strona 4 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
12. (4 pkt) Oblicz pole trójka̧ta ABC, który jest widoczny na rysunku.
Przyjmujemy, że jednostka̧ pola jest 1 kratka.
B
C
A
Strona 5 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
13. (5 pkt) Janek pracował w czasie wakacji w sklepie rowerowym 14 dni roboczych.
Jego wynagrodzenie dzienne wynosiło 55zł. Dodatkowo otrzymywał 5,50zł za każdy
sprzedany produkt, którego cena była wyższa niż 30 zł.
(a) Napisz równanie, która opisuje dochód Janka.
(b) Oblicz, ile Janek zarobił, jeśli wiemy, że sprzedał 12 produktów, których cena
była wyższa niż 30zł.
(c) Oblicz, ile Janek musiałby sprzedać produktów o cenie wyższej niż 30zł, żeby
zarobił nie mniej, niż 1287 zł.
Rozwia̧zanie
Strona 6 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
14. (5 pkt) Dwaj kierowcy wyjechali jednocześnie z tego samego miejsca. Jeden z nich jedzie na północ z prȩdkościa̧ 55 kilometrów na godzinȩ, zaś drugi na zachód z prȩdkościa̧
48 kilometrów na godzinȩ. Przyjmujemy, że ziemia jest płaska.
Po jakim czasie odległość miȩdzy nimi bȩdzie wynosiła 36,5 km?
Rozwia̧zanie
Strona 7 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
15. (10 pkt)
(a) Pokaż, że (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab.
(b) Wykorzystuja̧c powyższy wzór, znajdź możliwe pary liczb rzeczywistych (a, b)
takie, że a + b = 9, ab = 18
Rozwia̧zanie
Strona 8 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
Karta odpowiedzi
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Dane uczestnika:
Imiȩ i nazwisko:
Klasa:
Szkoła:
Strona 9 z 10
Konkurs matematyczny
Etap II
BRUDNOPIS
Strona 10 z 10