Prognoza - zadania dodatkowe

Zadanie 1
Na podstawie piętnastoletnich kwartalnych obserwacji przeprowadzonych od stycznia 2000r.
do grudnia 2014r., oszacowano parametry strukturalne pewnego modelu, uzyskując:
Pˆt = 13 + 1,3K t + 2,1Rt
Wiedząc, iż zmienne objaśniające kształtują się zgodnie z następującymi modelami
cząstkowymi:
Kˆ t = 7 + 0,3Yt −1 + 0,5 X t ,
Yˆ = 20 + 0,6t + 4Z1 − 6,3Z 2 + 1,3Z 3
t
t
t
t
gdzie:
[1]
t – oznacza zmienną czasową
[2]
Z1, Z2, Z3 – oznaczają zmienne zero-jedynkowe związane odpowiednio z 1, 2 oraz 3
kwartałem, przyjmujące wartość 1 dla kwartału realizowanego w danym okresie t oraz
wartość 0 dla pozostałych kwartałów – wówczas nierealizowanych:
 wyznacz prognozę dla zmiennych Y, K, P na pierwszy kwartał 2015r., zakładając wartość
zmiennych X oraz R w okresie prognozy wynoszącą odpowiednio 20 oraz 30.
Odp.
Yˆt = 20 + 0,6 * 61 + 4 *1 − 6,3 * 0 + 1,3 * 0 = 60,6
Yˆ = 20 + 0,6 * 60 + 4 * 0 − 6,3 * 0 + 1,3 * 0 = 56
t −1
Kˆ t = 7 + 0,3 * 56 + 0,5 * 20 = 33,8
Pˆ = 13 + 1,3 * 33,8 + 2,1 * 30 = 119,94
t
Zadanie 2
Szacowano parametry strukturalne modelu
yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x 2t + ε t
uzyskując model regresji:
yˆ t = 10 + b1 x1t + b2 x 2t
wykorzystywany w prognozie. Wiedząc, iż prognoza punktowa zmiennej objaśnianej dla t=20
wynosiła 51, przy założonych wartościach zmiennych x1 oraz x 2 odpowiednio: 10 oraz 7,
natomiast prognoza dla t=24 wynosiła 63 przy wartościach zmiennych x1 oraz x 2
odpowiednio: 13 oraz 9, wyznacza prognozę zmiennej objaśnianej dla t=31, zakładając
wartości zmiennych objaśniających x1 oraz x 2 odpowiednio: 35 oraz 25.
Odp.
yˆ t = 10 + 2 x1t + 3 x 2t
Wartość prognozy: 155
Zadanie 3
Oszacowano następujący model regresji liniowej: yˆ t = −1 + 2,1x1t + 0,35 x 2t .
Wiadomo, iż w analizowanym okresie wartości zmiennej
objaśnianej kształtowały się następująco:
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
yt 8 4 4 6 2 8 2 4 2 6 0 2 2 6
Zakładając, iż zmienne objaśniające w przyszłości będą kształtowane zgodnie z następującymi modelami trendu:
xˆt1 = 0,4 + 2t
,
xˆt 2 = 1,1 + 3,5t
wyznacz prognozę punktową i przedziałową na okres T=18.
W tym celu pomocna będzie następująca informacja:
14 24 56 


X T X = 24 48 112 


56 112 288
Odp.
W celu wyznaczenia prognozy punktowej musicie Państwo najpierw wskazać na realizację wartości
zmiennych objaśniających:
xˆt1 = 0,4 + 2 * 18 = 36,4
xˆt 2 = 1,1 + 3,5 * 18 = 64,1
Dzięki temu:
yˆ T = [1 36,4
 −1 
64,1] 2,1  = 97,875
0,35
Teraz czas na standardowy błąd prognozy. Zaczynamy od oszacowania wariancji składników
losowych naszego modelu. W tym celu:
14 24 56   − 1   56 
X y = X XB = 24 48 112   2,1  = 116  ,
56 112 288 0,35 280
T
T
co pozwala nam na estymację:
18,4
≈ 1,673
11
A teraz podstawiamy właściwe dane i wyznaczamy standardowy teoretyczny błąd prognozy:
Sˆ (yˆ TP ) ≈ 17,96
co pozwala wyznaczyć przedział prognozy dla α = 0,05 , który wynosi:
sˆ 2 =
yT ∈ 58,345 ;137,405