Ćw. 2

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Laboratorium
BŁĘDY W POMIARACH
BEZPOŚREDNICH
Instrukcja do ćwiczenia nr 2
Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery
Wrocław, listopad 2010 r.
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Ćwiczenie laboratoryjne nr 2
BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
1.CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki
przewodu.
2.WSTĘP [1,2,3]
Metoda pomiarowa bezpośrednia to metoda, w której wartość wielkości mierzonej
otrzymuje się bezpośrednio, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na
zależnościach funkcyjnych wielkości mierzonej [1]. Przykłady: pomiar temperatury, ciśnienia
statycznego płynącego gazu w rurociągu, pomiar wilgotności powietrza atmosferycznego,
pomiar ciśnienia barometrycznego, pomiar długości za pomocą suwmiarki.
Wynik pomiaru bezpośredniego, dla serii pomiarów x1,x2…xN tej samej wielkości
fizycznej, można przedstawić za pomocą ogólnego równania [1]:
X=(�
Xs + ΣP) ± U(X)
(1)
N
∑
xi
gdzie: �
Xs - średni wynik surowy , bez korekcji błędu systematycznego �
Xs = i=1
,
N
Σ𝑃- suma poprawek kompensujących wyznaczalne błędy systematyczne,
U(X)- niepewność rozszerzona pomiaru wielkości X.
Niepewność rozszerzoną pomiaru wielkości X wyraża równanie:
U(X) = k ∙ u(X)
(2)
� + Pw + Prw + Pws
X=W
(3)
w którym:
k - współczynnik rozszerzenia, który dla rozkładu normalnego przyjmuje najczęściej wartość
z przedziału k ∈ < 2, 3 >,
u(X) – niepewność standardowa złożona wielkości X.
Uwzględniając istotne źródła niepewności równanie (1) można przedstawić w postaci [1]:
gdzie:
� -średnia wskazań przyrządu,
•W
• PW – poprawka wskazania przyrządu
• Prw – poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu
• Pws- poprawka związana z warunkami środowiskowymi
Niepewność standardową złożoną wyznacza się z równania:
∂X 2
∂X
2
∂X
2
∂X
2
� ) + � � u2 (Pw ) + �
u(X) = ��∂W
� u2 (W
� u2 (Prw ) + �∂P � u2 (Pws )
���
∂P
∂P
(4)
� ) + u2 (Pw ) + u2 (Prw ) + u2 (Pws )
u(X) = �u2 (W
(5)
w
Po przekształceniach otrzymamy:
w którym:
� )- niepewność wskazania
• u(W
• u(PW)- niepewność poprawki wskazania
rw
ws
2
• u(Prw)- niepewność rozdzielczości przyrządu
• u(Pws)- niepewność związana z warunkami środowiskowymi
3.OBLICZENIA SKŁADOWYCH NIEPEWNOŚCI RÓWNANIA (5) [1]
� ) – niepewność tą oblicza się najczęściej z rozrzutu wyników wskazania, metodą typu A,
u(𝐖
z równania:
��� 2
∑N
i=1(wi −W )
�) = �
u(W
(6)
N(N−1)
gdzie: wi- pojedyncze wskazanie przyrządu
N- liczba pomiarów
u(Pw) - korzysta się z tablic poprawek lub krzywej kalibracji; jeżeli nie dysponujemy
poprawkami wskazań przyjmuje się , że poprawka wynosi Pw = 0, a niepewność tej poprawki
wyznacza się metodą typu B znając błąd graniczny Δg.
Zakładając, że błędy graniczne mają rozkład prostokątny jak na rysunku 1, to odchylenie
standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B wynosi:
f(Δ)
1/(2 Δg)
-Δg
Rys 1. Rozkład jednostajny błędów granicznych
uB =
∆g
+Δg
(7)
√3
u(Prw)- przyjmuje się, że poprawka wynosi 0, a błędy rozdzielczości mają rozkład jak na
rysunku 2.
f(d)
1/d
0
d
Rys.2. Rozkład jednostajny błędów rozdzielczości
Odchylenie standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B
wynosi:
uB =
d
√12
(8)
3
u(Pws) - jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka
temperaturowa to można ja wyznaczyć z następującego równania [1]:
Pws = Wαδt
(9)
u(Pws ) = Wαu(δt)
(10)
gdzie: W- wskazanie przyrządu
α - usredniony wspólczynnik rozszerzalności cieplnej
δt - różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu
Niepewność poprawki temperatury wyznacza równanie [1]:
4. ULTRADŹWIĘKOWY POMIAR GRUBOŚCI ŚCIANKI PRZEWODU
Grubość ścianki przewodu g wyznaczana jest z równania (11) poprzez pomiar czasu
przejścia τ echa podłużnej fali ultradźwiękowej od czujnika do tylnej ścianki przewodu i z
powrotem. Do wyznaczenia grubości ścianki potrzebna jest również znajomość prędkości fali
podłużnej c w danym materiale. Dla podstawowych materiałów przedstawia je tabela 1.
g=c∙τ/2
(11)
czujnik
ultradźwiękowy
g
τ
warstwa
sprzęgająca
c
Rys.1. Sposób wyznaczenia grubości ścianki przewodu
Tabela 1. Prędkość podłużnej fali ultradźwiękowej w wybranych materiałach
Prędkość podłużnej
Rodzaj materiału
fali ultradźwiękowej
polietylen
c =2000 m/s
szkło organiczne
c = 2720 m/s
mosiądz
c= 4450 m/s
miedź
c= 4700 m/s
nikiel
c= 5630 m/s
stal
c= 5940 m/s
aluminium
c= 6260 m/s
4
Rysunek 1. Przedstawia zdjęcie grubościomierza ultradźwiękowego.
Dane Grubościomierza ultradźwiękowego
Sono M610
Zakres pomiarowy:
I od 1 do 199,9 mm
II od 2 do 199,9 mm
Błąd graniczny dla I i II zakresu :
Δg=±1% wskazania ± 0,1 mm
Zakres prędkości fali ultradźwiękowej w
badanym materiale:
c = 1000-20000 m/s
Zakres pracy głowic:
Od -10°C do +40°C
Czujnik
ultradźwiękowy
Rys.1. Grubościomierz ultradźwiękowy
5. SPOSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA
1. Wprowadzić do pamięci grubościomierza rodzaj materiału z jakiego wykonano
przewód
2. Zmierzyć 11 krotnie grubość ścianki przewodu g1…g11
3. Sprawdzić analitycznie czy któryś z otrzymanych wyników nie jest błędem
nadmiernym (omyłką)
4. Na podstawie rozrzutu wyników wyznaczyć z równania (6) metodą typu A
� = 𝑔̅ , wi=gi, u(W
� )=u(g� )
niepewność wskazania, przyjmując: 𝑊
5. Wyznaczyć z równania (7) metodą typu B niepewność poprawki wskazania u(Pw),
korzystając z danych grubościomierza zamieszczonych na rysunku 1.
6. Wyznaczyć metodą typu B z równania (8) niepewność rozdzielczości u(Prw)
przyjmując rozdzielczość przyrządu d=0,1 mm
7. Obliczyć niepewność standardową złożoną z równania (5)
8. Dobrać współczynnik rozszerzenia k
9. Zapisać poprawnie wynik pomiaru
6.PROCEDURA SPRAWDZENIA OMYŁKI [2]
Z serii otrzymanych wyników g1,g2,…g11, wątpliwy może być wynik o najmniejszej lub
największej wartości. Odrzucamy ten wynik- liczebność próby wynosi wtedy N=10.
∑N g
i
1. Liczymy wartość średnią dla N=10 g� = i=1
N
2. Obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru z równania:
1
σ = �N−1 ∑N
� )2
1 (g i − g
5
3. Wyznaczamy przedział ufności
P�g� − t qm σ < 𝑔 < g� + t qm σ� = α, przyjąć
α=0,95
4. Dla niedużej ilości pomiarów wartość współczynnika 𝑡𝑞𝑚 wyznaczyć z rozkładu
Studenta (z tabeli 2) dla parametrów:
q= 1- 𝛼 oraz m= N-1
5. Sprawdzić czy podejrzany wynik mieści się w przedziale ufności: jeżeli tak to nie
jest on omyłką, jeżeli nie to jest omyłką i należy odrzucić go w dalszej analizie
niepewności.
6. Tabela Rozkładu Studenta wg [2]
Tabela 2. Rozkład studenta [2]
m
m/q
7.POPRAWKA u(Pws)- ZWIĄZANA Z WARUNKAMI ŚRODOWISKOWYMI
Poprawkę tą należałoby uwzględnić, w przypadku gdy pomiar odbywa się w temperaturze
innej niż ta dla której przyrząd wzorcowano-20 °C±1°C. Zmienia się wtedy prędkość fali
ultradźwiękowej i mogą wystąpić błędy związane z pomiarem czasu przejścia echa. Jednak
zmiany temperatury w granicach ± kilka stopni od temperatury wzorcowania nie wpływają
znacząco na wartość prędkości fali ultradźwiękowej w danym materiale i można przyjąć iż
wynosi ona Pws =0 oraz jej niepewność u(Pws)=0.
6
8. DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k
Przyjmujemy, że dla więcej niż 3 zmiennych wchodzących w skład równania (5) wypadkowy
ich rozkład dąży do rozkładu normalnego (wg Centralnego Twierdzenia Granicznego). Zatem
dla α=0,95 k=2.
� ), a liczona z
W przypadku gdy niepewność wynikająca z rozrzutu wyników pomiarów u(W
równania (6), jest większa od niepewności związanej z rozdzielczością u(Prw) to tą ostatnią
można pominąć, ponieważ zawiera się ona w niepewności wynikającej z rozrzutu wyników.
Równanie (5) przybiera wtedy postać:
� ) + u2 (Pw )
u(X) = �u2 (W
(12)
Zawiera ono dwie składowe o rozkładach normalnym i jednostajnym. Współczynnik
rozszerzenia oblicza się wtedy [1] badając relacje miedzy odchyleniami standardowymi dla
pojedynczego pomiaru:
�)
dla rozkładu normalnego σN = √N ∙ u(W
dla rozkładu jednostajnego σJ = uB .
Jeżeli σN >σJ to współczynnik rozszerzenia przyjmuje się jak dla rozkładu normalnego tj. k= 2
dla α= 0,95 lub k=3 dla α=0,99. W przeciwnym razie k = √3 α.
i
1
Przykład tabeli pomocniczej do obliczeń niepewności
grubość ścianki gi
(𝑔𝑖 − 𝑔̅ )2
gi -g�
mm
mm
mm2
2
…
10
Σ
-
9. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE
1. Definicja metody bezpośredniej
2. Równanie na wynik pomiaru z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego skład
3. Równanie na niepewność standardową z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego
skład
4. Sposób wyznaczenia niepewności wskazania
5. Sposób wyznaczenia poprawek wchodzących w skład równania na niepewność
standardową
6. Procedura sprawdzania omyłki
7. Zasada działania grubościomierza ultradźwiękowego
7. LITERATURA
1. Jerzy Arendarski: Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006
2. Danuta Turzeniecka: Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
1977
3. John.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999
Data wykonania instrukcji:
18.10.2010
7