Lista przygotowawcza 2

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. INF, PPT.
Lista przygotowawcza do kolokwium nr 2
2015/16
1. Obliczyć wartość oczekiwana̧ ilości skladowych w grafie losowym G(3, 1/3).
2. Rzucamy kostka̧, a potem moneta̧. Jeśli wypadnie orzel wygrywamy podwojona̧ ilość oczek (w zlotówkach). Jeśli wypadnie reszka wygrywamy po prostu
ilość oczek z rzutu kostka̧. Obliczyć EX, gdzie X jest zmienna̧ losowa̧ opisuja̧ca̧
tȩ grȩ. Narysować z zaznaczeniem ważnych tu wartości wykres dystrybuanty
FX .
3. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na odcinku [−1, 1]. Narysować z
zaznaczeniem ważnych tu wartości wykres gȩstości fX . Obliczyć EX 2 .
4. Udowodnić, że jeśli dystrybuanta zmiennej losowej X ma wykres cia̧gly, to
P [X = t] = 0 dla każdego t ∈ R.
5. Zmienna losowa X ma gȩstość dana̧ wzorem
fX (x) =
1 1
.
π 1 + x2
Obliczyć wartość oczekiwana̧ EX oraz EX 3 .
6. Funkcja fX (t) = 21 e−|t| jest gȩstościa̧ zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantȩ FX tej samej zmiennej losowej X.
7. Funkcja
FX (t) =


1 t
3e ,
2
1
3t + 3,

1,
jeśli t ≤ 0,
jeśli 0 < t ≤ 1,
jeśli t > 1
jest dystrybuanta̧ zmiennej losowej X. Obliczyć EX, EX 2 , i P [− 12 < X < 21 ].
8. Wyznaczyć tak stala̧ c, aby funkcja
3
ct , jeśli 0 ≤ t ≤ 1,
f (t) =
0,
jeśli t < 0 lub t > 1
byla gȩstościa̧ pewnej zmiennej losowej X, tzn. f = fX .
9. Rzucamy z rozkladem jednostajnym strzalkȩ na odcinek [0, 2]. Wbija siȩ
ona w punkt t. Nastȩpnie rzucamy moneta̧. Jeśli wypadnie reszka zostawiamy
strzalkȩ tam, gdzie byla. Jeśli wypadnie orzel, a strzalka byla w odcinku [0, 1]
(tzn. t ∈ [0, 1]), zamieniamy polożenie strzalki na nowe t + 1. Jeśli t ∈ (1, 2), też
zostawiamy strzalkȩ na miejscu. Ostateczne polożenie strzalki oznaczamy przez
X. Podać dystrybuantȩ zmiennej losowej X i obliczyć jej wartość oczekiwana̧
EX.
1