Zadania z Mechaniki klasycznej Zestaw 5 — Równania Lagrange`a

Zadania z Mechaniki klasycznej
Zestaw 5 — Równania Lagrange’a II rodzaju
(Wersja 01.12.2014)
1. Rozważyć układ złożony z klocka i klina (rys. 1). Klocek o masie m może ślizgać się po
powierzchni klina, a klin o masie M może ślizgać się po poziomym stole, przy czym w obu
przypadkach tarcie jest zaniedbywalne. W chwili początkowej klocek znajduje się u szczytu
klina i zarówno klocek, jak i klin spoczywają. Powierzchnia klina nachylona pod kątem α
do poziomu, a długość nachylonej powierzchni jest równa l. Zapisać równania Lagrange’a
dla tego układu i wyznaczyć na ich podstawie przyśpieszenia klocka i klina. Po jakim czasie
klocek dotrze do krawędzi klina?
2. Ciężarki o masach m1 i m2 , połączone nierozciągliwą nicią przerzuconą przez blok A, ślizgają
się po gładkich ścianach bocznych prostokątnego klina opartego na gładkiej płaszczyźnie poziomej (rys. 2). Masa klina jest równa M . Zapisać równania Lagrange’a dla tego układu i
wyznaczyć na ich podstawie przyśpieszenia ciężarków i klina. Znaleźć odległość, o jaką przesunie się klin po płaszczyźnie poziomej, gdy masa m1 zsunie się na wysokość o h mniejszą od
swojej wysokości początkowej. Jeden z kątów klina jest równy α. Masy nici i bloku zaniedbać.
3. Ruchy cząstki o masie m ograniczone są w taki sposób, że może się ona poruszać bez tarcia po powierzchni walca o promieniu R, określonym równaniem ρ = R we współrzędnych
walcowych (ρ, ϕ, z) (rys. 3). Na cząstkę działa siła F = −kr, skierowana w stronę początku
układu współrzędnych. Przyjmując z i ϕ za współrzędne uogólnione, wyprowadzić i rozwiązać
równania Lagrange’a. Opisać ruch cząstki. Pominąć wpływ pola grawitacyjnego.
4. Dwa ciężarki o masach m1 i m2 połączone są nieważką linką o długości l, która przechodzi
przez otwór w beztarciowym poziomym stole (rys. 4). Pierwszy ciężarek ślizga się po stole,
natomiast drugi zwisa pod stołem i porusza się w górę lub w dół po poziomej linii. Zakładając,
że linka jest cały czas naprężona, podaj lagranżjan dla układu i zapisz równania Lagrange’a.
Rozwiąż te równania.
5. Rura AB obraca się ze stałą prędkością kątową wokół pionowej osi CD, tworząc z nią stały
kąt α (rys. 5). W rurze znajduje się kulka o masie m. Zbadać charakter ruchu kulki, jeżeli jej
prędkość początkowa jest równa zeru, a początkowa odległość od punktu O jest równa a.
6. Układ mechaniczny (rys. 6) obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół osi AB. Ciało
o masie m2 może przesuwać się wzdłuż pionowej osi AB. Znaleźć funkcję Lagrange’a tego
układu i położenie równowagi (określić ich rodzaj). Przyjąć, że pręty są nieważkie.
7. Koralik o masie m (umieszczony w stałym, pionowym polu grawitacyjnym) jest nawleczony
na beztarciową pętle z drutu w kształcie okręgu o promieniu R. Pętla leży w płaszczyźnie
pionowej i wiruje ze stałą prędkością kątową ω wokół pionowej średnicy (rys. 7). Położenie
koralika na pętli jest określone przez kąt θ mierzony od najniższego położenia na pętli. Podaj
wyrażenie dla lagranżjanu tego układu jako funkcji współrzędnej uogólnionej θ i znajdź równanie ruchu koralika. Wyznacz położenia równowagi koralika względem pętli, przedyskutuj
ich trwałość.
8. Koralik o masie m ślizga się bez tarcia po drucie wygiętym w kształcie paraboli, który wiruje
ze stałą prędkością kątową ω wokół osi pionowej (rys. 8). Podaj lagranżjan dla koralika.
Znajdź równanie ruchu i określ czy istnieją jakieś położenia równowagi (jeśli tak to jakie?).
9. Wahadło matematyczne płaskie (o masie M i długości L) jest zawieszone na wózku (o masie
m), do którego z kolei jest przyczepiona sprężyna o współczynniku sprężystości k (rys. 9).
Podaj lagranżjan dla tego układu, wyrażając go przez dwie współrzędne uogólnione x i φ,
gdzie x jest wychyleniem sprężyny z położenia równowagi. Znajdź równania Lagrange’a.
Uprość te równania dla przypadku, gdy zarówno x, jak i φ są małe.
1
10. Na rysunku 10 pokazano wahadło matematyczne płaskie (ciężarek o masie m, na bezmasowym pręcie o długości l), którego punkt zaczepienia P jest zamocowany do krawędzi koła (o
środku O i promieniu R), które obraca się ze stałą prędkością kątową ω. W chwili t = 0 punkt
P znajduje się na tej samej wysokości co punkt O, na prawo od niego. Podaj lagranżjan tego
układu i znajdź równanie ruchu dla kąta φ.
11. Wyznaczyć ruch punktu materialnego w polu siły ciężkości, mogącego poruszać się po pionowym łuku cykloidy.
x = Rϕ + R sin ϕ,
y = R − R cos ϕ.
12. Wyprowadzić równania Lagrange’a dla płaskiego wahadła matematycznego, którego
(a) punkt zaczepienia wykonuje poziome drgania opisywane równaniem x0 (t) = A cos(ω0 t).
(b) punkt zaczepienia wykonuje pionowe drgania opisywane równaniem y0 (t) = A cos(ω0 t).
Spróbować dokonać linearyzacji otrzymanych równań.
13. Wyprowadzić równania Lagrange’a dla układu dwóch płaskich wahadeł matematycznych
o masach m1 i m2 oraz długościach l1 i l2 , jeżeli punkt zawieszenia wahadła pierwszego
jest nieruchomy, a punktem zaczepienia wahadła drugiego jest punkt materialny m1 (rys.
11). Zlinearyzować otrzymane równania. Rozwiązać zlinearyzowane równania w przypadku
m1 = m2 = m, l1 = l2 = l.
14. Wyprowadzić równania Lagrange’a dla dwóch mas m1 i m2 zawieszonych jedna nad drugą na
sprężynach o stałych sprężystości k1 i k2 i długościach swobodnych a1 i a2 . Układ znajduje
się w jednorodnym polu grawitacyjnym. Rozwiązać otrzymane równania w przypadku, gdy
m1 = m2 = m, k1 = k2 = k, a1 = a2 = a.
15. Napisać równanie ruchu dla układu, którego funkcja Lagrange’a ma postać
L(ẋ, x, t) =
1 αt 2
e (ẋ − ω 2 x2 ).
2
16. Pokazać, że dodanie do funkcji Lagrange’a pochodnej zupełnej po czasie pewnej funkcji
F (qi , t), nie zmienia postaci równań Lagrange’a. Innymi słowy funkcje Lagrange’a
L0 (q˙1 , q˙2 , ..., q˙i , ..., q˙n , q1 , q2 , ..., qi , ...., qn , t) = L(q˙1 , q˙2 , ..., q˙i , ..., q˙n , q1 , q2 , ..., qi , ...., qn , t)+
i
L(q˙1 , q˙2 , ..., q˙i , ..., q˙n , q1 , q2 , ..., qi , ...., qn , t)
prowadzą do tych samych równań Lagrange’a.
2
d
F (qi , t)
dt