prostoliniowy stałe przyspieszenie

Wykład 2
"Cała nauka to fizyka, reszta to zbieranie znaczków"
Sir Ernest Rutherford
Powyższy cytat wyraża pewien fakt. Fizyka nie zajmuje się zbieraniem suchych
faktów (owych znaczków) - jest nauką, której celem jest poznawanie
fundamentalnych praw przyrody.
1. Wielkości fizyczne
Wielkość fizyczna, fizyczna właściwość ciała lub zjawiska, którą można
odróżnić od innych właściwości (jakościowo) oraz określić ilościowo.
Podział wielkości:
a) skalarne: masa, droga, czas,
b) wektorowe: prędkość, siła, pęd, natężenie pola elektrycznego;
c) tensorowe: podatność elektryczna, podatność elektryczna, sprężystość,
polaryzacja
a) skalar
masa, czas, ładunek, itp . [m] = [kg], [t]=[s], [d]=[m],
Przykład: droga – s w ruchu 1D.
s = v t;
droga wyrażana w metrach, kilometrach, milach etc. Droga jest równa
iloczynowi prędkości i czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym!
Prędkość = droga/czas (jednostka pochodne)
v = s/t
[v] = [km/h, km/s, m/s, itd.]
b) wektory: prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, natężenie pola
magnetycznego, elektrycznego, etc. Większość wielkości fizycznych to wektory!
Niezbędna znajomość rachunku wektorowego.
Przykład: prędkość w ruchu 3D
r
v = [v x , v y , v z ] = [v1 , v2 , v3 ] = {vi } i = 1,2,3
1
c) Tensor
Rys. 1 Tensor naprężeń w ciele stałym
Tensor naprężeń:
 σ x τ xy τ xz 


σ ij = τ xy σ y τ yz  = {τ i j } i, j = x, y, z = 1,2,3
τ

 xz τ yz σ z 
gdzie
σ x ,σ y ,σ z - składowe normalne;
τ xy ,τ xz ,τ yz - składowe ścinające.
Tensor naprężeń opisują dwa indeksy: i, j.
Tensor naprężeń jest macierzą rzędu drugiego, albo tensorem rzędu drugiego.
Prawo Hooka:
F
∆l
= E⋅
S
l
lub
σ = Eε
gdzie σ =
F
∆l
naprężenie, ε =
odkształcenie (względne)
S
l
Skalar, wektor, tensor – to są wszystko tensory rzędu odpowiednio: 0, 1, 2 .
Skalar jest tensorem rzędu zerowego lub liczbą zerowymiarową.
2
Wektor – tensor jednowymiarowy. Tensor może mieć 2, 3 4, …n, wymiarów.
Wszystkie wielkości fizyczne to tensory.
4. Układ jednostek
Układ SI – miłościwie nam panujący dzięki Francuzom i ich manii zwalczania
wpływów anglosaskich. Układ SI zawiera:
•
•
•
•
7 jednostek podstawowych:
o metr - m - podstawowa jednostka długości,
o kilogram - kg (oryginalnie graw - G) - podstawowa jednostka masy,
o sekunda - s - podstawowa jednostka czasu,
o amper - A - podstawowa jednostka natężenia prądu elektrycznego,
o kelwin - K - podstawowa jednostka temperatury,
o mol - mol - podstawowa jednostka liczności materii,
o kandela - cd - podstawowa jednostka światłości, natężenia światła,
2 jednostki uzupełniające:
o radian - rad - jednostka miary kąta płaskiego,
o steradian - sr - jednostka miary kąta bryłowego,
jednostki pochodne, spójne z jednostkami podstawowymi i
uzupełniającymi,
przedrostki SI.
Jednostki pochodne:
a) siła [N]=kg m/s2 niuton;
b) ciśnienie [Pa]= kg /(ms2)
Pascal;
c) ładunek elektryczny [C]=1As Coulomb;
i wiele innych.
Kinematyka
1. Wektory
Wektor – uporządkowana para punktów.
Trzy wielkości, charakteryzujące wektor:
• Zwrot
• kierunek
• Wartość (długość – moduł wektora)
Rodzaje wektorów:
r
a) swobodne; a
b) w układzie współrzędnych (3D).
3
r
a = [a x , a y , a z ]
Działania na wektorach:
1. Mnożenie przez liczbę,
r
c⋅a
r r r r
2. Dodawanie (odejmowanie) wektorów a + b , a − b
Rys. 3 Graficzne dodawanie wektorów
Na rys. 3 przedstawiono graficznie reguły dodawania wektorów swobodnych.
Zaznaczono sumę: a+b, oraz róznice: a-b, b-a.
3. Mnożenie wektorów;
a) Skalarne;
b) Wektorowe;
Iloczyn skalarny wektorów
r r
r r
a ⋅ b = a⋅ b ⋅ cos ∠(a , b )
r r
a ⋅ b = a xbx + a y by + a z bz
Własności
a) Przemienny
b) równy zero dla wektorów prostopadłych
Iloczyn wektorowy
Własności wektora (do wyznaczenia)
a) kierunek (prostopadły do obu wektorów)
b) zwrot (reguła prawej dłoni lub śruby prawoskrętnej)
c) wartość, długość wektora
4
r r
r r
a×b = a⋅ b ⋅ sin ∠(a , b )
r r
a × b = eˆx (a y bz − a z by ) + eˆ y (a z bx − a xbz ) + eˆz (a xby − a y bx )
Własności iloczynu wektorowego pokazano na rys. 4.
Rys. 4 Iloczyn wektorowy
Własności iloczynu wektorowego:
r r
r r
a) nieprzemienny a×b = −b × a
b) równy zera dla wektorów równoległych
c) pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na tych wektorach
4. Normalizacja wektora
Wektor jednostkowy, normalizacja wektora
Rys. 5 Normalizacja wektora
5
Wektor i wersor.
r
a (t ) = a (t )⋅ aˆ (t )
aˆ (t ) = 1
Pochodna wektora
Jeżeli wektor zmienia się (nie jest stały) np. w funkcji czasu, można policzyć
pochodną tego wektora względem czasu.
r
r dr
;
v=
dt
r
r dv
;
a=
dt
Użyteczne tożsamości wektorowe:
r r r
r r r r r r
(a × b ) × c = (a ⋅ c ) ⋅ b − (b ⋅ c ) ⋅ a
r r r
r r r r r r
a × (b × c ) = (a ⋅ c ) ⋅ b − (b ⋅ a ) ⋅ c
r r r
r r r
r r r
a ⋅ (b × c ) = c ⋅ (a × b ) = b ⋅ (c × a )
2. Ruch prostoliniowy 1D
Tor – linia prosta, prędkość stała.
Rys. 6 Ruch jednostajny, prostoliniowy
Znane wzory na ruch jednostajny prostoliniowy:
6
s = v ⋅ t;
∆s
∆v = ;
∆t prędkość średnia i średnie przyspieszenie
∆v
∆a =
;
∆t
Ruch jednostajnie przyśpieszony (1D)
Przyśpieszenie stałe, tor – linia prosta.
v = v0 ± at ;
1
x = v0 t ± at 2
2
i
v 2 = v 02 + 2a s
równanie Torricellego
Zadanie:
1. Rzut pionowy. Znaleźć równania ruchu dla rzutu pionowego.
3. Ruch punktu materialnego.
Ruch 3D. Układ odniesienia jest nieruchomy. Jego położenie nie zmienia się,
układ ani się nie przesuwa ani się nie obraca.
Rys. 7 Położenie punktu – wektor wodzący
7
v
r = [ x, y , z ]
r
v = [v x , v y , v z ]
r
a = [a x , a y , a z ]
Wektor wodzący:
r
r = eˆx x + eˆy y + eˆz z
gdzie wersory są zdefiniowane następująco:
eˆx = [1,0,0], eˆy = [0,1,0], eˆz = [0,0,1]
Wersory spełniają warunek (sprawdzić!):
eˆx ⋅ eˆy = 0
eˆx × eˆ y = eˆz
Prędkość (pochodna wektora):
r
r dr
r
v=
; v = [v x , v y , vz ]
dt
vx =
dz
dy
dx
; vy =
; vz =
dt
dt
dt
Przyśpieszenie:
r
r dv
r
; a = [a x , a y , a z ]
a=
dt
d vy d 2 y
d vx d 2 x
d vz d 2 z
ax =
= 2 ; ay =
= 2 ; az =
= 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Zadanie:
1. Rzut ukośny. Znaleźć równania ruchu i równie toru dla rzutu ukośnego.
8
Ruch krzywoliniowy
Ruch 3D. Przypadek ogólny. Układ odniesienia nie jest nieruchomy. Jego
położenie zmienia się, układ może się obracać. Rozkładamy wektor wodzący na
funkcję skalarną i wersor (rys. 2).
r
r (t ) = rˆ(t )⋅ r (t ) = eˆr (t ) ⋅r (t )
Policzyć prędkość i przyśpieszenie.
1. Prędkość
r
r d r d (eˆr (t ) ⋅r (t ))
d eˆ
dr
=
v=
= eˆr
+r r
dt
dt
dt
dt
gdzie êr wersor wektora
r
r.
Zadanie: wykazać, że pochodne wektora jednostkowego spełniają związek
(pochodna wektora):
dϕ
d eˆr
= eˆϕ
dt
dt
d eˆϕ
dϕ
dt
= −eˆr
dt
gdzie:
eˆr ⋅ eˆϕ = 0
Wersory eˆr , eˆϕ są prostopadłe względem siebie.
Prędkość:
r
dϕ
dr
d eˆ
dr
v = eˆr
+ r r = eˆr
+ reˆϕ
= eˆr r& + reˆϕϕ& = eˆr r& + reˆϕ ω
dt
dt
dt
dt
Wektor prędkości ma składowe:
9
r  dr dϕ   dr
  dr 
ω
=
⋅
r
v =  ,r
,
 =  dt , v 
dt   dt
 dt
gdzie
r
dϕ
ω=
dt
r
prędkość kątowa, patrz rysunek poniżej
Rys. 8 Prędkość kątowa
Związek między prędkością liniową a kątową:
v r r
v =ω×r
W przypadku gdy wektor prędkości kątowej i wodzący są prostopadłe
otrzymujemy związek;
v =ω ⋅r
Prędkość ma dwie składowe: radialną i styczną (rys. 9).
10
Rys. 9 Prędkość, składowa styczna i radialna
a) składowa styczna prędkości
vs = ωr
iloczyn promienia i prędkości kątowej,
b)
dr
vr =
dt
równa zmianie promienia (w czasie)
2. Przyśpieszenie:
Przyśpieszenie wyznaczymy zgodnie z definicją przyspieszenia: różniczkując
wzór na pochodną.
r
r dv
a=
= eˆr (&r& − rω 2 ) + eˆϕ (2ωr& + rω& )
dt
Wektor przyspieszenia ma dwie składowe, styczną i radialną:
r
a = [&r& − rω 2 , 2ωr& + rω& ]
11
Zadanie: sprawdzić powyższy wzór!
Rys. 10 Przyśpieszenie: składowa styczna i radialna przyśpieszenia
a) składowa styczna przyśpieszenia:
as = 2ωr& + rω& = 2ω ⋅ r& + r ⋅ ε
gdzie ε jest przyśpieszeniem kątowym. Przyśpieszenie kątowe (jego wartość)
definiujemy jako:
d ω d 2ϕ
= 2;
ε=
dt
dt
b) składowa normalna (radialna) przyśpieszenia,
an = &r& − rω 2
Przejdźmy do głębszego wglądu w powyższe wzory, na przykładach ze szkoły
średniej. Interpretacja poszczególnych wyrażeń.
Przykłady.
1. Ruch po okręgu ze stalą prędkości liniową:
12
Ciało porusza się po okręgu ze stała prędkością liniową i prędkością kątową.
Okrąg to krzywa o stałym promieniu. Oznacza to, że nie ma zmian długości
promienia.
r = const; r& = 0
ω = const; ω& = 0
Ruch po okręgu ilustruje poniższy rysunek.
Rys. 11 Ruch po okręgu ze stała prędkością
Równanie ruchu (zakładając początek ruchu na osi X):
x(t ) = r cos(ω t )
y (t ) = r sin(ω t )
Prędkość w ruchu po okręgu ze stała prędkością:
r  dr dϕ 
v =  ,r
= [0, rω ]

dt
dt


A prędkość (długość wektora) jest równa:
13
v = vr2 + vs2 = rω
Z równań ruchu otrzymujemy:
dx
= − rω sin(ω t )
dt
dx
= rω cos(ω t )
vy =
dt
vx =
v = v x2 + v 2y = rω
Prędkość będzie miała tylko składową styczną. Zgodność rezultatów.
Przyśpieszenie będzie równe:
r
v2
2
2
a = [&r& − rω , 2ωr& + rω& ] = [− rω ,0] = [− ,0]
r
v2
a = a + a = rω =
r
2
r
2
s
2
Albo z równań ruchu:
dv x
= − rω 2 cos(ω t )
dt
dv
a y = y = − rω 2 sin(ω t )
dt
ax =
a = a x2 + a 2y = rω 2
Podobnie otrzymujemy pełną zgodność wyników na przyspieszenie.
Składowa styczna przyśpieszenia jest równa zero. Ale składowa radialna jest
różna od zera. W ruchu po okręgu ze stałą prędkością kątową na ciało działa
stałe przyspieszenie skierowane wzdłuż promienia. Jest to przyśpieszenie
dośrodkowe (składowa radialna przyśpieszenia)
ar = ados
v2
=− ;
r
14
2. Ruch po okręgu ze zmienną prędkości liniową
Załóżmy że ciało porusza się po okręgu, ale jego prędkość liniowa (i tym
samym kątowa) ulega zmianie. Pojawi się dodatkowa składowa przyśpieszenia:
przyśpieszenie styczne.
Rys. 12 Ruch [o okręgu ze zmienną prędkością
Dla ruchu po okręgu ze zmienną prędkością liniową (kątową) otrzymamy
następujące przyśpieszenie:
r
v2 d v
a = [− , ]
r dt
Przyśpieszenie będzie miało niezerowe składowe normalne (radialne) i styczne.
Wartość wektora przyśpieszenia, przyśpieszenie będzie miało wartość:
2
 v2   d v 
a =   +  
 r   dt 
2
Tyle wyniesie całkowite przyśpieszenie ciała.
15
Jeżeli promień dąży do nieskończoności r → ∞ , wówczas znika składowa
radialna przyśpieszania. Jednie dla toru – linii prostej, znika składowa radialna
przyśpieszenia!
Jeżeli jeszcze dodatkowo ciało będzie się poruszać po linii prostej ze stałą
prędkością, wówczas i składowa styczna przyśpieszenia będzie równa zero.
Otrzymamy przypadek ruchu jednostajnie prostoliniowego. Tylko i wyłącznie
dla ruchu jednostajnie prostoliniowego przyśpieszanie jest równe zero!
Warunki na ruch jednostajnie przyspieszony:
a) tor – linia prosta, krzywizna nieskończona;
b) prędkość stała.
Praktycznie takiego ruchu nie ma. W przypadku każdego innego ruchu po
każdej innej krzywej (nie będącej linią prostą) mamy ruch przyśpieszony, gdzie
przyśpieszenie jest różne od zera.
W szczególności każdy ruch krzywoliniowy, czyli taki, którego torem nie jest
linia prosta, jest ruchem przyśpieszonym.
2. Przyśpieszenie Coriolisa.
Wróćmy do wzoru na przyśpieszanie (w ruchu krzywoliniowym),
r
a = [&r& − rω 2 , 2ωr& + rω& ]
wstępuje w nim jeden szczególny czynnik, nosi on nazwę przyśpieszenia
Coriolisa.
ac = 2ω r& = 2ω v
Dokładna definicja przyśpieszenia Coriolisa (wektor!) jest następująca:
r
r r
ac = 2v × ω
lub po pomnożeniu przez masę ciała otrzymamy siłę Coriolisa:
r
r r
Fc = 2mv × ω
Działająca na ciało o masie m, poruszające się z prędkością v w układzie
współrzędnych obracającym się z prędkością kątową ω.
16
Rys. 13 Siła Coriolisa.
Znaczenie przyśpieszenia Coriolisa. Przyśpieszenie Coriolisa występuję
wszędzie tam, gdzie mamy niezerową prędkość kątową i niezerową prędkość.
Gdzie możemy siłę (przyśpieszanie) Coriolisa zaobserwować w naturze?
Na Ziemi. Ziemia jest planetą wirującą ze stała prędkością kątową. Na każde
ciała poruszające się ze pewną prędkością względem ziemi, będzie działać siła
Coriolisa, tym większa im szybciej to ciało się porusza. Siła Coriolisa niezbędna
przy sterowaniu pociskami, rakietami, samolotami. Przykład praktyczny poniżej.
Rys. 13 Zdjęcie satelitarne.eden z huraganów nad zatoką Meksykańską.
Tajfuny, tornada, huragany, cyklony, czyli tzw. burze wirowe: objaw i widoczny
skutek istnienia i działania siły Coriolisa.
17