T=2 I Mgd , I=Io Md2

Kazimierz Pater, Nr indeksu: 999999
Wydział: Podstawowych Problemów Fizyki
Kierunek: Fizyka
Data: 99.99.9999
Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej i sprawdzenie tw. Steinera
Nr kat. ćwicz: 1
1.Wstęp teoretyczny
Bryłą sztywną nazywamy rozciągłe ciało, w którym podczas ruchu nie obserwuje się
względnych przemieszczeń poszczególnych jego fragmentów. W opisach ruchu postępowego
zakładamy, że masa bryły skupiona jest w środku masy. Wektor położenia rC środka masy bryły
definiowany jest wzorem:
rC =
∫ r dm
,
M
gdzie całkowanie przeprowadza się po całej masie bryły M.
Jeżeli bryłę sztywną o masie M zawiesimy na osi położonej o d powyżej środka masy bryły,
a następnie na chwilę wyprowadzimy ją z położenia równowagi trwałej, to bryła ta zacznie drgać
harmonicznie, a okres jej drgań T wyrazi się wzorem:

T =2 
I
 ,
Mgd
gdzie g – przyspieszenie ziemskie, a I jest momentem bezwładności bryły dla osi odległej o d od
środka masy bryły.
Moment bezwładności dla osi przechodzących przez środek masy Io jest najmniejszy
spośród wszystkich momentów I wziętych dla osi równoległych do tej dla której podajemy Io.
I = I oMd 2 ,
gdzie M jest masą bryły, a I jest momentem bezwładności dla osi odległej o d od osi dla której
moment bezwładnosci wynosi Io. Powyższe równanie stanowi treść twierdzenia Steinera.
Kazimierz Pater, Nr indeksu: 999999
Wydział: Podstawowych Problemów Fizyki
Kierunek: Fizyka
Data: 99.99.9999
Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej i sprawdzenie tw. Steinera
Nr kat. ćwicz: 1
2.Protokół pomiarowy
Bryła 1 – tarcza o średnicy 120.1 mm zmierzonej suwmiarką z niepewnością 0.1 mm o masie 998 g
zważona z niepewnością 1 g.
Tab.1- Pomiary odległości i czasu dla bryły 1
Nr
Podwojona
Niepewność D [mm]
odległość od osi
Czas 100 pełnych
Niepewność* t [s]
drgań t [min:sek]
obrotu D [mm]
1
99.1
0.1
1:35.86
0.10
2
48.2
0.1
1:48.74
0.10
3
58.4
0.1
1:38.26
*uwzgledniam czas reakcji przy włączaniu i wyłączaniu stopera
0.10
Bryła 2 - ........
3.Obliczenie momentu bezwładności
Z teorii wynika że moment bezwładności względem osi d przedstawia się wzorem:
I =(T/4π)2 Mgd
Tab.2 Wyniki obliczeń odległości d i okresu T i momentu bezwładności dla bryły 1
d
∆d
T
∆T
I
∆I
[m]
[m]
[sek]
[s]
[x 10-3 kgm2]
[x 10-3 kgm2]
1
0.0496
0.0001
0.636
0.006
4.96
0.09
2
0.0241
0.0001
0.649
0.006
2.93
0.06
3
0.0292
0.0001
0.638
0.006
2.50
0.05
Nr
Przykład obliczeń dla punktu 1:
d=D/2 = (0.0991m)/2 = 0.0496m, ∆d = ∆D = 0.0001m,
T=t/100=635.86sek/100=0.635886sek = 0.636sek
∆T= T((∆t/t)2+(∆N/N)2)1/2 = 0.635886sek((0.10sek/6358.86sek )2+(1/100) 2)1/2 = 0.06sek
I= (T/4π)2 Mgd=4.963 x 10-3 kgm2 = 4.96 x 10-3 kgm2
∆Ι = I(2(∆Τ/T)2+(∆d/d)2+(∆M/M)2)1/2 = 4.96x10-3kgm2 (2(0.006sek/0.636sek)2 +
+(0.0001m/0.0496m)2 + (0.001kg/0.998kg)2)1/2 = 0.094x10-3kgm2 = 0.09x10-3kgm2
Uwaga: Przy obliczaniu niepewności okresu drgań przyjęto, że niepewność ilości okresów ∆N
wynosi 1, a to dla tego, że przy odliczaniu wymaganych 100 drgań łatwo o pomyłkę.
4a. Sprawdzenie tw. Steinera (sposób I).
Według wzoru podręcznikowego moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi
przechodzącej przez jej geometryczny środek prostopadle do płaskiej powierzchni tarczy wynosi:
Io= MR2/2
co dla zmierzonych wartości dla bryły 1 daje Io= (1.796 ±0.003 )x10-3kgm2.
Z tw. Steinera wynika że moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
bryły przedstawia się wzorem:
Io = I - Md2
Tab.3.Wyniki obliczeń Io dla bryły 1
Nr
∆( Md2)
Md2
-3
2
∆Ιο
Io
-3
2
[x 10 kgm ]
[x 10-3 kgm2]
[x 10 kgm ]
[x 10-3 kgm2]
1
2.455
0.007
2.51
0.05
2
0.851
0.006
2.098
0.05
3
0.580
0.006
1.935
0.04
Przykład obliczeń dla punktu 1:
Md2 = 0.998kg(0.0496m)2 = 2.455 x 10-3 kgm2,
∆(Μd2) = 2.455 x 10-3 kgm2((∆Μ/M)2+2(∆d/d)2)1/2 =
2.455 x 10-3 kgm2((1g/998g)2+2(0.1mm/49.6mm)2)1/2 = 0.007 x 10-3 kgm2
Io = I – Md2 = 4.96 x 10-3 kgm2 – 2.455 x 10-3 kgm2 = 2.51 x 10-3 kgm2
∆(Ιο) = Io ((∆(Μd2)/(Μd2))2+(∆Ι/I)2)1/2 =
2.51 x 10-3 kgm2 ((0.007x 10-3 kgm2 /2.455x 10-3 kgm2 )2+(0.09x 10-3 kgm2/4.96x 10-3 kgm2)2)1/2 =
0.046 x 10-3 kgm2 = 0.05 x 10-3 kgm2
4b. Sprawdzenie tw. Steinera (sposób II).
Z twierdzenia Steinera wynika, że moment bezwładności zależy liniowo od wielkości x= Md2.
Poniższy wykres przedstawia tę zależność dla bryły 1 gdzie na osi pionowej przedstawiono
wyznaczone doświadczalnie wartości momentów bezwładności (krzyżyki), a także regresję liniową
danych.
0.006
−3
5.036×10
0.0054
0.0048
0.0042
I /kg/m^2
0.0036
Ii
0.003
yy j
0.0024
0.0018
0.0012
6 .10
4
0
0
0 2.5 .10
4
5 .10
4
7.5 .10
4
0.001 0.00125 0.0015 0.00175 0.002 0.00225 0.0025
−3
xi , xx j
2.500×10
Md^2 /kgm^2
dane
regresja liniowa
Fig.1. Zależność momentu bezwładności od Md2 dla bryły 1 (krzyżyki), interpolacja liniowa
danych (linia ciągła).
5. Wnioski
1.Niepewność względna wyznaczonych momentów bezwładności ∆Ι/Ι wynosi około 2%, na co
wpływa przede wszystkim niepewność pomiaru okresu drgań wahadła. Ponieważ okres wystepuje
w kwadracie w wyrażeniu na moment bezwładności, niepewność ∆Τ/Τ równą około 1%
podwajamy w wyrażeniu na niepewność I.
2. Obliczone w punkcie 4a wartości Io różnią się znacznie od siebie (poza przedziały niepewności)
i są większe od wartości obliczonej z wzoru podręcznikowego. Nie daje to podstaw do
potwierdzenia tw. Steinera. Wnioskować natomiast można, że Io rośnie wraz z odległością d, co
jest sprzeczne z tw. Steinera.
3.Odczytana z wykresu (Fig.1.) wartość 1.804x10-3kgm2 jaką prosta regresji odcina na osi pionowej
(tj. wyraz wolny zależności liniowej) odpowiada warości Io wyznaczonej uprzednio z niepewnością
nie większą niż (1.804 - 1.796)x10-3kgm2 = 0.008x10-3kgm2, co uzasadnia słuszność twierdzenia
Steinera w postaci: I = Io +Md2.
U W A G A !!!
Jak widać wnioski 2 i 3 są sprzeczne, co pozostawiam bez wyjaśnienia. Ten kto sprzeczność
wyjaśni dostanie ciasteczko ;-).