Zestaw

Mechanika kwantowa, FTiMS PG, semestr05
Zestaw 3
1. Stosujac
˛ metod˛e separacji zmiennych, rozwiaż
˛ równanie Schrödingera dla czastki
˛
swobodnej. Co można
powiedzieć o energii takiej czastki
˛
(czy widmo energii jest ciagłe,
˛
czy dyskretne)?
dla czastki
˛
swobodnej. Czy jest funkcja˛
(b) Wyznacz g˛estość pradu
˛prawdopodobieństwa
. Czy uzyskane rozwiazanie
!
może zatem reprezentować fizyczny
(c) Pokaż, że
˛
stan czastki?
˛
Dlaczego?
2. Prosz˛e pokazać, że funkcja "$#
&%')(+* , -.0/2135476980:;% < *>?= @AB DC % ,E*EF;GHJI;'LK
jest rozwiazaniem
˛
jednowymiarowego równania
( M ONQP )
"$# Schrödingera
W
"
#
R ?T= S S ' &%U')(V* D?= C A S S A A &%U')(X%
(a) Wyznacz g˛estość prawdopodobieństwa
czasu?
a nast˛epnie pokazać, że ogólne rozwiazanie
˛
powyższego równania zapisać można w postaci pakietu
falowego, tj. jako superpozycj˛e fal płaskich
"W#
#
Z
&%U')(+* Y [ @ , @ (9-.0/21354&6980:L%
4Y
X
^
]
gdzie \
jest tzw. profilem paczki falowej.
3. Prosz˛e pokazać, że równanie Schrödingera zachowuje warunek unormowania funkcji falowej, tzn. że
dla funkcji falowej spełniajacej
˛ równanie Schrödingera
"$#
R ?= S S ' &%')(+* D?= C A
"$#
wyrażenie
b [ dc &%U')(;c A
AS "$# &%U')(&_a` # 9( "$# &%L')(L%
SA
jest stałe w czasie.
\ X]^ paczki falowej
"W#
#
Z
[
@
&%U')(+* Y , @ (9- .0/21354&6980: %
4Y
przedstawić można jako transformat˛e Fouriera paczki falowej !
w chwili eQP , tzn.
#
"$#
Z
, @ (+* Df g Y [ - 4&.h13 &%Li(LK
4Y
!
równania Schrödingera można
5. Stosujac
˛ metod˛e separacji zmiennych, ogólna˛ postać rozwiazania
˛
zapisać w postaci
"W#
# # #
&%U')(j*lk 9(nm ')( *lk 9(o-p4J.rqs8ntvu %
gdzie w jest stała˛ separacji i jest interpretowana jako energia układu fizycznego. Pokaż, że dla rozwiaza
˛ ń
normowalnych do jedności (a wi˛ec majacych
˛
interpretacj˛e fizyczna),
˛ konieczne jest by wyx{z .
Wskazówka: Wystarczy zapisać | w postaci |~}l|Od€‚Lƒ , gdzie ƒ…„† , a nast˛
epnie pokazać, że dla spełnienia
warunku ‡jˆŠ‰Œ‹ TŽ)‰W‘‘’“‹ ”•}—– konieczne jest by ƒ™˜›š .
4. Prosz˛e pokazać, że profil
(1)
1
œ
6. Dana jest czastka
˛
o masie
#
poruszajaca
˛ si˛e w polu siły o potencjale opisanym wzorem
` 9(+*  i5%Q%QŸ•ž¡žB i5 i5%%U¢¢£0£%
(a) Pokaż, że w obszarze w którym M ¤O funkcja falowa jest równa zero, tzn. ¥ ¤OQP
(b) Wyznacz dozwolone energie w H oraz funkcje falowe H !
d ¥H ¤‘¦ H omawianej czastki
˛
(c) Unormuj funkcje ¥ H
¤ sa˛ naprzemiennie parzyste i nieparzyste wzgl˛edem środka studni po§
¥
H
(d) Pokaż, że rozwiazania
˛
tencjału M ¤
«
(e) Pokaż, że rozwiazania
˛
sa˛ wzajemnie ortogonalne, tzn. H C ¨ P dla œ
© ª . Co można
powiedzieć o widmie energii (zdegenerowane/niezdegenerowane)?
7. Rozwiaż
˛ równanie Schrodingera dla czastki
˛
w nieskończonej studni potencjału, przyjmujac,
˛ że w ¬P .
Pokaż, że nie ma akceptowalnych fizycznie rozwiazań
˛
takiego zagadnienia, ponieważ funkcja falowa
b˛edaca
˛ rozwiazaniem
˛
równania, nie spełnia postawionych warunków brzegowych (jakich?).
8. Rozpatrz czastk˛
˛ e o masie
œ
#
` 9(+*  i5%Ql% Ÿ•ž¡ž B ¢ ¢ B B %L%L¢ ¢ B B £0£0% K
, poruszajac
˛ a˛ si˛e w polu siły o potencjale opisanym wzorem
wH
¥§H ¤
Wyznacz poziomy energetyczne
oraz unormowane funkcje falowe
czastki.
˛
Czy dozwolone
poziomy energetyczne uzyskane w tym przypadku różnia˛ si˛e od dozwolonych poziomów energetycznych
uzyskanych w zadaniu (6b)? Z czego to wynika?
#
9. Wyznacz poziomy energetyczne czastki
˛
o masie
œ
i5 %Q`±p•%²° c c“¢ °³B ¢ % B %
i5%Q•´µ¢ B K
poruszajacej
˛ si˛e w polu siły o potencjale
` 9(+* ® ¯­
Od czego i w jaki sposób zależy liczba poziomów energetycznych czastki
˛
w takiej studni potencjału?
¦
oraz odbicia
¦
i odbicia
#
10. Wyznacz współczynniki przejścia
¶
czastki
˛
od prostokatnego
˛
progu potencjału
` 9(V*  i5` %Q±5%QŸ•°a·ai5%i5K
Rozpatrz dwa przypadki
w¹¸¨MWi ,
(b) w¹º¨M i .
(a)
˛
od prostokatnej
˛
bariery potencjału
# ¶ cz® ¯ astki
` 9(V* ­ i55i`%Q%Q±5%lTTŸ°µ´µž¡i5¢ %K i5%¢£0%
 4À  :‘Å 4ÁÆ K Dla jakich
Á
¿
Pokaż, że minimalna wartość współczynnika przejścia jest równa m7» .r¼ *¾½ f _ Ã q^/2qÄ
¿
wartości Ç wartość ¦ jest maksymalna?
W zadaniu rozpatrz tylko sytuacj˛e gdy w¹¸¨Mi .
12. Wykaż, że współczynniki odbicia
schodkowych M i M # dla dwóch prostych potencjałów
#
f
5
i
l
%
•
µ
°
5
i
%
`
5
±
l
%
•
µ
°
5
i
%
` Æ 9(È*  `±5%¨Ÿ´³i5% % ` A 9(s*  i5%QŸ´³i5%
sa˛ równe.
Przyjmij, że czastka
˛
została wyemitowana przez źródło znajdujace
˛ si˛e w {ÊÉj , a jej energia w spełnia
nierówność w¬¸lM^i .
11. Wyznacz współczynniki przejścia
2