Matematyka Dyskretna

Matematyka Dyskretna
przykładowe zadania na egzamin
Jacek Cichoń
11 czerwca, 2014
Zadanie 1a. Jaka jest moc zbioru
{(A, B, C) ∈ P ([n])3 : A = B ∩ C} ,
gdzie [n] = {1, 2, . . . , n}?
Zadanie 1b. Jaka jest moc zbioru {k ∈ [10000] : 6|k ∨ 15|k}?
Zadanie 2a. Wyznacz zwartą postać sumy
Zadanie 2b.Wyznacz zwartą postać sumy
2 n
k=0 k k .
Pn
n
k(k
+
1)
.
k=0
k
Pn
Zadanie 3a. Ile jest permutacji zbioru [n] rozkładających się na dwa
cykle?
Zadanie 3b. Niech n ­ 3. Ile jest permutacji π zbioru [n] takich, że
π(1) < π(2) < π(3)
Zadanie 3a. Ile jest surjekcji ze zbioru [5] na zbiór [3]?
Zadanie 3b. Ile jest odwzorowań monotonicznych ze zbioru [5] w zbiór
[10]?
Zadanie 4a. Ile różnych cykli długości 6 można utworzyć z trzech różnych
elementów?
Zadanie 4b. Niech Cn oznacza n-tą liczbę Catalana. Oblicz limn→∞ CCn +1
.
n
Zadanie 4c. Ile jest mutlizbiorów rozmiaru 20 utworzonych z trzech różnych elementów rozmiaru 2?
Zadanie 5a. Wyznacz funkcję tworząca ciągu (n · 2n )n∈N .
x
n
Zadanie 5b. Niech f (x) = 1−2x
2 . Wyznacz [x ]f (x).
Zadanie 5b. Ile jest drzew trójkowych (w tych drzewach każdy element
ma 0 lub trzy nastepniki) o n węzłach?