Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 6., grupa A.

Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 6., grupa A.
31.01.2017
Imi¦ i nazwisko
......................................................................................................
Zadanie 1. Znajd¹ bijekcj¦ mi¦dzy par¡ zbiorów:
R i (−1, 1).
f : R → (−1, 1) jest f (x) = π2 arctg x (bo arctg x jest bijekcj¡ z R na − π2 , π2 ).
Uwaga! Nie mo»emy wzi¡¢ funkcji f (x) = sin x. Nawet je±li w punktach, w których sinus osi¡ga warto±ci −1 i 1, zadamy
inn¡ warto±¢, np. 0, to funkcja b¦dzie na zbiór (−1, 1), ale nie b¦dzie ró»nowarto±ciowa, czyli nie b¦dzie bijekcj¡.
Rozwi¡zanie. Przykªadem bijekcji
Zadanie 2. Znajd¹ moc zbioru funkcji
Rozwi¡zanie. Skoro
|R| = c i |N| = ℵ0 ,
f : R → N.
to
Wynik przedstaw w formie
ℵc0 = 2c
i tyle jest funkcji z
R
w
lub 2 do odpowiedniej pot¦gi.
|{f : R → N}| = ℵc0 .
2c ¬ ℵc0 ¬ cc = 2ℵ0
Czyli
ℵ0 , c,
c
= 2ℵ0 ·c = 2c
N.
Uwaga! Powy»sze nierówno±ci s¡ nieostre (bo ostatecznie wnioskujemy, »e wsz¦dzie tam s¡ równo±ci). Zatem pisanie
ostrych nierówno±ci jest niepotrzebne i bª¦dne zarazem.
Zadanie 3. Czy jest zbiorem przeliczalnym zbiór funkcji kwadratowych o wspóªczynnikach wymiernych?
Rozwi¡zanie. Nasze funkcje s¡ dane wzorem
Wspóªczynniki
f (x) = ax2 + bx + c.
a, b i c maj¡ by¢ wymierne, wi¦c ka»dy z nich mo»emy wybra¢ na ℵ0
sposobów (bo zbiór liczb wymiernych
jest przeliczalny).
Zatem trójk¦ liczb wymiernych mo»emy wybra¢ na
ℵ0 · ℵ0 · ℵ0 = ℵ0
sposobów. Ka»dej funkcji odpowiada inna trójka
wspóªczynników, zatem funkcji jest tyle, ile trójek, czyli przeliczalnie wiele.
Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 6., grupa B.
31.01.2017
Imi¦ i nazwisko
......................................................................................................
Zadanie 1. Znajd¹ bijekcj¦ mi¦dzy par¡ zbiorów:
Rozwi¡zanie. Przykªadem bijekcji
f : R → (0, 1)
Zadanie 2. Znajd¹ moc zbioru funkcji
Rozwi¡zanie. Skoro
|R| = c,
to
R i (0, 1).
jest
f : R → R.
f (x) =
cc = 2c
x
(bo arcctg
Wynik przedstaw w formie
x
ℵ0 , c,
jest bijekcj¡ z
R
na
(0, π)).
lub 2 do odpowiedniej pot¦gi.
|{f : R → R}| = cc .
cc = 2ℵ0
Czyli
1
arcctg
π
i tyle jest funkcji z
R
w
c
= 2ℵ0 ·c = 2c
R.
Zadanie 3. Czy jest zbiorem przeliczalnym zbiór okr¦gów o ±rodku w punkcie kratowym i promieniu wymiernym?
ℵ0 (bo punktów kratowych jest przeliczalnie wiele). Podobnie promie«
ℵ0 sposobów, bo tyle jest liczb wymiernych dodatnich.
jest ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 , czyli przeliczalnie wiele.
Rozwi¡zanie. Dost¦pnych ±rodków okr¦gów mamy
mo»emy wybra¢ na
Zatem okr¦gów