Aby rozwi¡za¢ równanie postaci (1) gdzie A to macierz nieosobliwa

Aby rozwi¡za¢ równanie postaci
(1)
AX = B,
gdzie
A
to macierz nieosobliwa
n × n,
mno»nym z lewej przez macierz odwrotn¡ do
A,
czyli
A−1 .
A−1 AX = A−1 B.
Poniewa»
A−1 A = I
(macierz jednostkowa
n × n),
za±
IX = X ,
otrzymujemy wzór na rozwi¡zanie:
X = A−1 B.
Aby rozwi¡za¢ równanie postaci
(2)
Y A = C,
mno»nym przez
A−1
z prawej strony, otrzymuj¡c
Y AA−1 = CA−1 .
Poniewa»
AA−1 = I,
za±
YI=Y,
otrzymujemy wzór na rozwi¡zanie:
Y = CA−1 .
Oba powy»sze przypadki typy równa« prze¢wiczyli±my rozwi¡zuj¡c zad. 4 z zestawu 4. Mo»emy te»
zetn¡¢ si¦ z równaniami typu
(3)
AX + λX = B,
λ ∈ R
gdzie
to pewien skalar (liczba). Aby rozwi¡za¢ takie równanie zauwa»my, »e
X = IX
(macierz
jednostkowa jest elementem neutralnym dla operacji mno»enia macierzy), a mno»enie macierzy jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Dzi¦ki temu mo»emy równanie (3) przeksztaªci¢ do postaci
(A + λI)X = B,
czyli
DX = B,
gdzie
D = A + λI.1
Jest to wi¦c równanie tego samego typu co (1), i rozwi¡zujemy go analogicznie.
Analogicznie mo»emy sprowadzi¢ równanie postaci
(4)
Y C + λY = C
(gdzie
λ ∈ R)
do postaci
Y E = C,
gdzie
E = C + λI,
czyli takiej samej jak w równaniu (2)
1 Zapis D = A + λI
oznacza, »e pozadiagonalne elementy macierzy
natomiast aby otrzyma¢ elementy diagonalne macierzy
doda¢ liczb¦
D
D
s¡ równe odpowiednim elementom macierzy
nale»y do odpowiednich elementów diagonalnych macierzy
λ.
1
A;
A